Version élève → Mathématiques · Lycée général · 1re · Première

Séquence 1 · Suites arithmétiques et géométriques : modéliser des évolutions

Comment modéliser une évolution qui se fait par étapes, et prévoir quand un seuil sera atteint ?

Bonjour !

Dans cette séquence de mathématiques, tu vas chercher à répondre à la grande question écrite en haut de la page. Elle se fait en 2 séances. Pour chaque séance : lis la consigne, étudie les documents, réponds aux questions sur ta feuille ou sur l'ENT, puis recopie l'essentiel dans ton cahier. Tu peux imprimer cette page avec le bouton « Imprimer ».

À la fin, je serai capable de :

Les mots importants

suite, terme, rang, notation uₙrelation de récurrence, formule explicitesuite arithmétique, raison rsuite géométrique, raison qsens de variation, seuil, idée de limite

Ressources de la séquence

Les notions, les repères et les pistes pour aller plus loin, utiles pour toutes les séances.

Les notions à maîtriser

Suite numérique
Fonction définie sur ℕ : à chaque rang n on associe un terme uₙ.
Récurrence
Définition d'un terme à partir du précédent : uₙ₊₁ = f(uₙ).
Suite arithmétique
uₙ₊₁ = uₙ + r ; terme général uₙ = u₀ + nr ; croissance linéaire.
Suite géométrique
uₙ₊₁ = q × uₙ ; terme général uₙ = u₀ × qⁿ ; croissance ou décroissance exponentielle.
Somme de termes
1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2 ; pour q ≠ 1, 1 + q + … + qⁿ = (1 − qⁿ⁺¹)/(1 − q).
Seuil
Premier rang à partir duquel les termes dépassent (ou passent sous) une valeur donnée.

Repères

DateÉvénement
IIIe s. av. J.-C.Archimède encadre π à l'aide de polygones.
1202Fibonacci, Liber abaci : la suite des lapins.
XIVe s.Oresme calcule des sommes de suites géométriques.
XIXe s.Cauchy et Weierstrass définissent rigoureusement la limite.

Pour aller plus loin

Sources et bibliographie

Mon parcours : je choisis mon rythme

Séance 1 · Suites arithmétiques : croissance linéaire

65 min

Séance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes avec coups de pouce.

La question du jour

Comment prévoir une épargne qui augmente toujours de la même somme ?

Mon plan de travail

Le cours à lire · Suites arithmétiques

Une suite associe à chaque entier n un nombre uₙ. On peut la définir par une formule explicite uₙ = f(n) ou par une relation de récurrence uₙ₊₁ = f(uₙ) et un premier terme. Une suite est arithmétique de raison r si l'on passe d'un terme au suivant en ajoutant r : uₙ₊₁ = uₙ + r. Alors uₙ = u₀ + nr : les points (n ; uₙ) sont alignés, c'est le lien avec les fonctions affines (croissance linéaire). Elle est croissante si r > 0, décroissante si r < 0. Somme : 1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2 (on écrit la somme dans les deux sens et on additionne). Plus généralement, une somme de termes consécutifs vaut nombre de termes × (premier + dernier)/2.

Document 1 · L'épargne de Léa

Situation-problème.

Léa ouvre un livret avec 200 €. Chaque mois, elle y ajoute 50 €. On note uₙ la somme sur le livret après n mois (u₀ = 200). On néglige les intérêts.

Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).

Activité 1 · Chercher

12 min
Essentiel

Supports : Document 1

Consigne :

Calculez et justifiez.

  1. Calculez u₁, u₂, u₃.
  2. Quelle est la nature de la suite ? Son terme général ?
  3. Somme sur le livret après un an ?

Ce qui est attendu (6 pts) : Calculs et justification

Activité 2 · Démontrer

18 min
Essentiel

Supports : Cours

Consigne :

Suivez la démonstration et appliquez.

  1. Écrivez S = 1 + 2 + … + 100 dans les deux sens et additionnez : que vaut 2S ?
  2. Généralisez à 1 + 2 + … + n.
  3. Combien de places dans un amphithéâtre de 10 rangs, de 30 places au premier rang et 3 de plus à chaque rang ?

Ce qui est attendu (7 pts) : Démonstration et application

Activité 3 · Modéliser

15 min
Travail à rendre

Supports : Documents et cours

Consigne :

Léa hésite avec une autre offre : 500 € au départ et 25 € par mois. Comparez les deux offres (tableau de valeurs à la calculatrice ou au tableur, puis calcul) et rédigez une conclusion. Pour bien commencer : Pour n mois, l'offre 1 coûte… et l'offre 2… · Les deux offres coûtent le même prix quand… · Je conseille donc à Léa…

Ce qui est attendu (7 pts) : Modélisation et calcul · Rédaction

Trace écrite · document à compléter (papier ou ENT)

Complète la trace écrite avec les mots de la banque, puis recopie-la dans ton cahier.

alignéslinéairer

Une suite arithmétique de raison r vérifie uₙ₊₁ = uₙ + ______ et uₙ = u₀ + n × r. Ses points sont _______ : la croissance est ________. 1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2.

Séance 2 · Suites géométriques : croissance exponentielle et seuils

65 min

Séance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes avec coups de pouce.

La question du jour

Combien d'années faut-il pour doubler un capital placé à 3 % par an ?

Mon plan de travail

Le cours à lire · Suites géométriques

Une suite est géométrique de raison q si l'on passe d'un terme au suivant en multipliant par q : uₙ₊₁ = q × uₙ. Alors uₙ = u₀ × qⁿ. Une évolution à taux fixe t se modélise par une suite géométrique de raison q = 1 + t : +3 % par an donne q = 1,03 ; −10 % donne q = 0,9. Pour reconnaître une suite géométrique, on regarde le rapport de deux termes consécutifs. Si u₀ > 0, la suite est croissante pour q > 1 et décroissante pour 0 < q < 1. Somme : pour q ≠ 1, 1 + q + … + qⁿ = (1 − qⁿ⁺¹)/(1 − q). Un algorithme de seuil (boucle « tant que ») donne le premier rang où un terme dépasse une valeur : c'est une première approche de la limite.

Document 1 · Un placement à 3 %

Situation-problème et programme Python.

Un capital de 1 000 € est placé à intérêts composés au taux de 3 % par an. On note Cₙ le capital après n années (C₀ = 1 000). Programme fourni, en Python : def seuil() ; C = 1000 ; n = 0 ; tant que C < 2000 (while), on remplace C par C × 1,03 et n par n + 1 ; on renvoie n.

Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).

Activité 1 · Chercher

12 min
Essentiel

Supports : Document 1

Consigne :

Calculez (calculatrice autorisée pour l'entraînement).

  1. Calculez C₁ et C₂.
  2. Nature de la suite et terme général ?
  3. Valeur après 10 ans ?

Ce qui est attendu (6 pts) : Calculs et justification

Activité 2 · Programmer

18 min
Essentiel

Supports : Document 1

Consigne :

Écrivez le programme dans Basthon, exécutez-le et analysez-le.

  1. Que renvoie seuil() ?
  2. Pourquoi une boucle « while » et non « for » ?
  3. Modifiez le programme pour un taux de 6 %. Que constatez-vous ?

Ce qui est attendu (7 pts) : Algorithme et interprétation

Activité 3 · Démontrer

15 min
Travail à rendre

Supports : Cours

Consigne :

Démontrez que pour q ≠ 1, S = 1 + q + … + qⁿ vérifie S − qS = 1 − qⁿ⁺¹, puis calculez 1 + 2 + 4 + … + 2¹⁰. Pour bien commencer : Je calcule qS en multipliant chaque terme par q… · En soustrayant, presque tous les termes… · Pour q = 2 et n = 10, …

Ce qui est attendu (7 pts) : Démonstration · Application

Trace écrite · document à compléter (papier ou ENT)

Complète la trace écrite avec les mots de la banque, puis recopie-la dans ton cahier.

géométriqueqtant que

Une suite géométrique de raison q vérifie uₙ₊₁ = ______ × uₙ et uₙ = u₀ × qⁿ. Une évolution à taux fixe se modélise par une suite ___________. Pour trouver un seuil, on utilise une boucle ________.

Fiche à trous · je complète

Complète le texte avec les mots de la banque (sur papier ou dans le document de l'ENT).

2géométriqueqr

Une suite arithmétique de raison r vérifie uₙ₊₁ = uₙ + ______.

Une suite géométrique de raison q vérifie uₙ₊₁ = ______ × uₙ.

Une évolution à taux fixe est modélisée par une suite ___________.

1 + 2 + … + n = n(n + 1)/______.

Ce que j'ai appris

Les 3 idées que je retiens :
Une méthode ou une formule que je veux retenir :
Ce qui reste difficile pour moi / ma question pour le professeur :