Repères pour le professeur
Objectifs et capacités
Objectifs
- Générer une suite (formule explicite, récurrence, algorithme)
- Reconnaître et étudier une suite arithmétique ou géométrique (terme général, variations, sommes)
- Déterminer un seuil à l'aide d'un algorithme
Capacités travaillées (BO)
- Chercher, expérimenter (outils numériques)
- Modéliser une situation
- Représenter, changer de registre
- Raisonner, démontrer
- Calculer, mettre en oeuvre un algorithme
- Communiquer un résultat, expliquer une démarche
Notions et définitions
Repères historiques
- Fibonacci, *Liber abaci* (1202) : le problème des lapins
- Nicole Oresme (XIVe siècle) : sommes de termes de suites géométriques
- Intérêts composés : évolution d'un capital à taux fixe
Ressources de la séquence
Ancrage dans le programme, notions, repères, débats, bibliographie et différenciation, communs à toutes les séances.
Ancrage dans le programme officiel
Ce que dit le programme : « L'élève doit automatiser le fait qu'une évolution à taux fixe est modélisée par une suite géométrique et percevoir l'intérêt de considérer le rapport de deux termes consécutifs. » « L'étude des suites est l'occasion d'une sensibilisation à l'idée de limite. »
Capacité attendue : « Modéliser un phénomène discret à croissance linéaire par une suite arithmétique, un phénomène discret à croissance exponentielle par une suite géométrique. »
Histoire des mathématiques : « Oresme calcule des sommes de termes de suites géométriques au XIVe siècle. »
Épreuve anticipée de mathématiques (fin de 1re, note de service du 11 septembre 2026) : écrite, 2 heures, coefficient 2. « Elle entre en vigueur à compter de l'année scolaire 2026-2027, pour les épreuves présentées au titre la session 2028. » « La première partie est notée sur 6 points et la seconde partie est notée sur 14 points. » « L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé pour l'ensemble de l'épreuve. » « La maîtrise de la langue est prise en compte à hauteur de deux points sur vingt » (note de service du 11 septembre 2026 (BO) ; épreuve anticipée de mathématiques (éduscol)).
Notions : définitions rigoureuses
- Suite numérique
- Fonction définie sur ℕ : à chaque rang n on associe un terme uₙ.
- Récurrence
- Définition d'un terme à partir du précédent : uₙ₊₁ = f(uₙ).
- Suite arithmétique
- uₙ₊₁ = uₙ + r ; terme général uₙ = u₀ + nr ; croissance linéaire.
- Suite géométrique
- uₙ₊₁ = q × uₙ ; terme général uₙ = u₀ × qⁿ ; croissance ou décroissance exponentielle.
- Somme de termes
- 1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2 ; pour q ≠ 1, 1 + q + … + qⁿ = (1 − qⁿ⁺¹)/(1 − q).
- Seuil
- Premier rang à partir duquel les termes dépassent (ou passent sous) une valeur donnée.
Repères
| Date | Événement |
|---|---|
| IIIe s. av. J.-C. | Archimède encadre π à l'aide de polygones. |
| 1202 | Fibonacci, Liber abaci : la suite des lapins. |
| XIVe s. | Oresme calcule des sommes de suites géométriques. |
| XIXe s. | Cauchy et Weierstrass définissent rigoureusement la limite. |
Les historiens en débat
Les suites apparaissent bien avant d'être définies : approximations de nombres (Archimède, Héron) et problèmes de comptage (Fibonacci). Oresme étudie au XIVe siècle des sommes de termes de suites géométriques. La notion moderne de limite ne sera formalisée qu'au XIXe siècle ; en première, on en construit l'intuition par le calcul et l'algorithme de seuil. Synthèse du professeur.
Pour aller plus loin
Sources et bibliographie
- Ahmed Djebbar, Une histoire de la science arabe, Seuil, 2001.
- Jean Dieudonné (dir.), Abrégé d'histoire des mathématiques, Hermann, 1978.
- Ian Stewart, Professor Stewart's Cabinet of Mathematical Curiosities, Profile Books, 2008.
Différenciation : un rythme de travail différent
- Pour les élèves qui ont besoin de plus de temps : énoncé découpé en petites questions, rappel de cours en marge, calculatrice ou tableur autorisés pendant l'entraînement, correction pas à pas en vidéo ou en classe virtuelle.
- Pour les élèves qui avancent vite : question d'approfondissement (démonstration, généralisation, programme Python à écrire), problème ouvert à rédiger et à présenter à l'oral.
Déroulé d'ensemble
| Séance | Titre | Durée | Objectif |
|---|---|---|---|
| Séance 1 | Suites arithmétiques : croissance linéaire | 65 min | reconnaître une suite arithmétique, calculer un terme et une somme |
| Séance 2 | Suites géométriques : croissance exponentielle et seuils | 65 min | modéliser une évolution à taux fixe et déterminer un seuil |
| Évaluation | Évaluation de fin de séquence (/20) | 55 min | Vérifier les acquis : connaissances, capacités, rédaction |
Chaque séance dure environ 55 minutes à distance : lancement en classe virtuelle ou par message sur l'ENT, recherche du problème (calculatrice, tableur, GeoGebra ou Python dans le navigateur), mise en commun, cours et trace écrite. Les élèves renvoient la fiche à trous et leur production par l'ENT ou en photo.
Séance 1 · Suites arithmétiques : croissance linéaire
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.
Problématique de la séance
Comment prévoir une épargne qui augmente toujours de la même somme ?
Déroulé minuté à distance
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
- 12 min → Travail autonome : Activité 1 (Chercher) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 18 min → Travail autonome : Activité 2 (Démontrer) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Modéliser) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
- 10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.
Le cours développé (récit du professeur) · Suites arithmétiques
Une suite associe à chaque entier n un nombre uₙ. On peut la définir par une formule explicite uₙ = f(n) ou par une relation de récurrence uₙ₊₁ = f(uₙ) et un premier terme. Une suite est arithmétique de raison r si l'on passe d'un terme au suivant en ajoutant r : uₙ₊₁ = uₙ + r. Alors uₙ = u₀ + nr : les points (n ; uₙ) sont alignés, c'est le lien avec les fonctions affines (croissance linéaire). Elle est croissante si r > 0, décroissante si r < 0. Somme : 1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2 (on écrit la somme dans les deux sens et on additionne). Plus généralement, une somme de termes consécutifs vaut nombre de termes × (premier + dernier)/2.
Document 1 · L'épargne de Léa
Situation-problème.
Léa ouvre un livret avec 200 €. Chaque mois, elle y ajoute 50 €. On note uₙ la somme sur le livret après n mois (u₀ = 200). On néglige les intérêts.
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · Chercher
12 minSupports : Document 1
Calculez et justifiez.
- Calculez u₁, u₂, u₃.✔ Corrigé :
250, 300, 350.
- Quelle est la nature de la suite ? Son terme général ?✔ Corrigé :
Arithmétique de raison 50 ; uₙ = 200 + 50n.
- Somme sur le livret après un an ?✔ Corrigé :
u₁₂ = 200 + 600 = 800 €.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Calculs et justification | 6 |
| Total de l'activité | 6 |
Activité 2 · Démontrer
18 minSupports : Cours
Suivez la démonstration et appliquez.
- Écrivez S = 1 + 2 + … + 100 dans les deux sens et additionnez : que vaut 2S ?✔ Corrigé :
Chaque colonne vaut 101, il y a 100 colonnes : 2S = 100 × 101, donc S = 5 050.
- Généralisez à 1 + 2 + … + n.✔ Corrigé :
2S = n(n + 1), donc S = n(n + 1)/2.
- Combien de places dans un amphithéâtre de 10 rangs, de 30 places au premier rang et 3 de plus à chaque rang ?✔ Corrigé :
Dernier rang : 30 + 9 × 3 = 57 ; somme = 10 × (30 + 57)/2 = 435.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Démonstration et application | 7 |
| Total de l'activité | 7 |
Activité 3 · Modéliser
15 minSupports : Documents et cours
Léa hésite avec une autre offre : 500 € au départ et 25 € par mois. Comparez les deux offres (tableau de valeurs à la calculatrice ou au tableur, puis calcul) et rédigez une conclusion. Pour bien commencer : Pour n mois, l'offre 1 coûte… et l'offre 2… · Les deux offres coûtent le même prix quand… · Je conseille donc à Léa…
Offre 2 : wₙ = 500 + 25n ; égalité quand 200 + 50n = 500 + 25n, soit n = 12 ; avant 12 mois l'offre 2 donne plus, après l'offre 1 ; conclusion selon la durée ; rédaction claire.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Modélisation et calcul | 5 |
| Rédaction | 2 |
| Total de l'activité | 7 |
Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)
Une suite arithmétique de raison r vérifie uₙ₊₁ = uₙ + r et uₙ = u₀ + n × r. Ses points sont alignés : la croissance est linéaire. 1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2.
Barème récapitulatif des activités notées
| Activité | Points |
|---|---|
| Activité 1 · Chercher | 6 |
| Activité 2 · Démontrer | 7 |
| Activité 3 · Modéliser | 7 |
| Total | 20 / 20 |
Séance 2 · Suites géométriques : croissance exponentielle et seuils
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.
Problématique de la séance
Combien d'années faut-il pour doubler un capital placé à 3 % par an ?
Déroulé minuté à distance
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
- 12 min → Travail autonome : Activité 1 (Chercher) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 18 min → Travail autonome : Activité 2 (Programmer) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Démontrer) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
- 10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.
Le cours développé (récit du professeur) · Suites géométriques
Une suite est géométrique de raison q si l'on passe d'un terme au suivant en multipliant par q : uₙ₊₁ = q × uₙ. Alors uₙ = u₀ × qⁿ. Une évolution à taux fixe t se modélise par une suite géométrique de raison q = 1 + t : +3 % par an donne q = 1,03 ; −10 % donne q = 0,9. Pour reconnaître une suite géométrique, on regarde le rapport de deux termes consécutifs. Si u₀ > 0, la suite est croissante pour q > 1 et décroissante pour 0 < q < 1. Somme : pour q ≠ 1, 1 + q + … + qⁿ = (1 − qⁿ⁺¹)/(1 − q). Un algorithme de seuil (boucle « tant que ») donne le premier rang où un terme dépasse une valeur : c'est une première approche de la limite.
Document 1 · Un placement à 3 %
Situation-problème et programme Python.
Un capital de 1 000 € est placé à intérêts composés au taux de 3 % par an. On note Cₙ le capital après n années (C₀ = 1 000). Programme fourni, en Python : def seuil() ; C = 1000 ; n = 0 ; tant que C < 2000 (while), on remplace C par C × 1,03 et n par n + 1 ; on renvoie n.
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · Chercher
12 minSupports : Document 1
Calculez (calculatrice autorisée pour l'entraînement).
- Calculez C₁ et C₂.✔ Corrigé :
1 030 € ; 1 060,90 €.
- Nature de la suite et terme général ?✔ Corrigé :
Géométrique de raison 1,03 ; Cₙ = 1 000 × 1,03ⁿ.
- Valeur après 10 ans ?✔ Corrigé :
1 000 × 1,03¹⁰ ≈ 1 343,92 €.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Calculs et justification | 6 |
| Total de l'activité | 6 |
Activité 2 · Programmer
18 minSupports : Document 1
Écrivez le programme dans Basthon, exécutez-le et analysez-le.
- Que renvoie seuil() ?✔ Corrigé :
24 : le capital dépasse 2 000 € pour la première fois après 24 ans (1,03²³ ≈ 1,97 et 1,03²⁴ ≈ 2,03).
- Pourquoi une boucle « while » et non « for » ?✔ Corrigé :
On ne connaît pas à l'avance le nombre de tours : on répète tant que la condition est vraie.
- Modifiez le programme pour un taux de 6 %. Que constatez-vous ?✔ Corrigé :
On obtient 12 ans : doubler le taux divise à peu près par deux la durée de doublement.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Algorithme et interprétation | 7 |
| Total de l'activité | 7 |
Activité 3 · Démontrer
15 minSupports : Cours
Démontrez que pour q ≠ 1, S = 1 + q + … + qⁿ vérifie S − qS = 1 − qⁿ⁺¹, puis calculez 1 + 2 + 4 + … + 2¹⁰. Pour bien commencer : Je calcule qS en multipliant chaque terme par q… · En soustrayant, presque tous les termes… · Pour q = 2 et n = 10, …
S − qS : les termes intermédiaires s'annulent, reste 1 − qⁿ⁺¹ ; donc S = (1 − qⁿ⁺¹)/(1 − q). Application : (1 − 2¹¹)/(1 − 2) = 2 047. Rédaction rigoureuse.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Démonstration | 5 |
| Application | 2 |
| Total de l'activité | 7 |
Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)
Une suite géométrique de raison q vérifie uₙ₊₁ = q × uₙ et uₙ = u₀ × qⁿ. Une évolution à taux fixe se modélise par une suite géométrique. Pour trouver un seuil, on utilise une boucle tant que.
Barème récapitulatif des activités notées
| Activité | Points |
|---|---|
| Activité 1 · Chercher | 6 |
| Activité 2 · Programmer | 7 |
| Activité 3 · Démontrer | 7 |
| Total | 20 / 20 |
Fiche à trous · corrigé
Une suite arithmétique de raison r vérifie uₙ₊₁ = uₙ + r.
Une suite géométrique de raison q vérifie uₙ₊₁ = q × uₙ.
Une évolution à taux fixe est modélisée par une suite géométrique.
1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2.
La version élève contient la même fiche avec une banque de mots (papier ou ENT).
Évaluation de fin de séquence (/20) · barème et corrigé
Évaluation sur 20 à faire en temps limité sur l'ENT ou sur papier, puis à renvoyer en photo ; le corrigé et le barème servent aussi à l'autoévaluation. En Bac Pro, elle est construite comme une situation de contrôle en cours de formation (problème contextualisé, compétences évaluées) ; en 1re générale, elle prépare à l'épreuve anticipée (automatismes sans calculatrice et exercices) ; en Terminale générale, aux exercices indépendants de l'épreuve de spécialité.
| N° | Question | Barème | Corrigé et critères |
|---|---|---|---|
| 1 | Automatismes (sans calculatrice) : 1) calculez 2⁵ ; 2) écrivez le coefficient associé à une baisse de 10 % ; 3) si u₀ = 3 et uₙ₊₁ = uₙ + 4, calculez u₃. | 6 pts | 1) 32 ; 2) 0,9 ; 3) u₁ = 7, u₂ = 11, u₃ = 15. Deux points par réponse exacte. |
| 2 | Une salle de spectacle compte 20 places au premier rang, et chaque rang a 2 places de plus que le précédent. On note uₙ le nombre de places du rang n (u₁ = 20). Exprimez uₙ en fonction de n, calculez u₁₅ et le nombre total de places des 15 premiers rangs. | 6 pts | Suite arithmétique de raison 2 : uₙ = 20 + 2(n − 1) ; u₁₅ = 48 ; somme = 15 × (20 + 48)/2 = 510 places. Justification de la nature de la suite, calculs, phrase de réponse. |
| 3 | Une ville de 10 000 habitants perd 10 % de sa population chaque année. On note vₙ la population après n années (v₀ = 10 000). Justifiez que (vₙ) est géométrique, donnez vₙ en fonction de n, calculez v₁ et v₂, donnez le sens de variation. Écrivez un algorithme qui détermine au bout de combien d'années la population passe sous 5 000 habitants. | 8 pts | vₙ₊₁ = 0,9 vₙ : géométrique de raison 0,9 ; vₙ = 10 000 × 0,9ⁿ ; v₁ = 9 000 ; v₂ = 8 100 ; décroissante car 0 < q < 1 et v₀ > 0. Algorithme : n ← 0, v ← 10 000 ; tant que v ≥ 5 000 : v ← 0,9 × v, n ← n + 1 ; afficher n (on obtient 7). Rédaction et rigueur. |
| Total | 20 pts | ||
Pistes pour un rythme de travail différent
- Laisser deux jours de plus aux élèves qui ont peu de connexion et accepter un rendu sur papier photographié.
- Proposer la fiche à trous, un énoncé découpé en petites questions et une vidéo de correction pas à pas.
- Pour les élèves rapides : une démonstration, un programme Python à écrire ou un problème ouvert à présenter à l'oral.
- Automatismes : puissances de 2 et de 10, coefficients multiplicateurs, calcul mental de sommes.
- Pour aller plus loin : la tour de Hanoï (nombre minimal de déplacements) et la suite de Syracuse en Python.