Version élève → Mathématiques · Lycée général · 1re · Première

Séquence 2 · Dérivation : du taux de variation au sens de variation

Comment mesurer la vitesse de variation d'une fonction en un point, et s'en servir pour étudier ses variations ?

Bonjour !

Dans cette séquence de mathématiques, tu vas chercher à répondre à la grande question écrite en haut de la page. Elle se fait en 2 séances. Pour chaque séance : lis la consigne, étudie les documents, réponds aux questions sur ta feuille ou sur l'ENT, puis recopie l'essentiel dans ton cahier. Tu peux imprimer cette page avec le bouton « Imprimer ».

À la fin, je serai capable de :

Les mots importants

taux de variation, sécantenombre dérivé f'(a), tangentefonction dérivéesigne de la dérivée et sens de variationextremum, optimisation

Ressources de la séquence

Les notions, les repères et les pistes pour aller plus loin, utiles pour toutes les séances.

Les notions à maîtriser

Taux de variation
Quotient (f(b) − f(a))/(b − a) : pente de la sécante, vitesse moyenne.
Nombre dérivé
Limite du taux de variation entre a et a + h quand h tend vers 0, noté f'(a) : pente de la tangente, vitesse instantanée.
Tangente
Droite passant par le point (a ; f(a)) de pente f'(a) : y = f(a) + f'(a)(x − a).
Fonction dérivée
Fonction x ↦ f'(x) ; (x²)' = 2x, (x³)' = 3x², (1/x)' = −1/x², (√x)' = 1/(2√x).
Signe de la dérivée
f' ≥ 0 sur un intervalle : f croissante ; f' ≤ 0 : f décroissante.
Optimisation
Recherche du maximum ou du minimum d'une grandeur modélisée par une fonction.

Repères

DateÉvénement
1637Descartes, La Géométrie : méthode des normales.
1684Leibniz publie la Nova methodus (calcul différentiel).
1687Newton, Principia.
1821Cauchy fonde l'analyse sur la notion de limite.

Pour aller plus loin

Sources et bibliographie

Mon parcours : je choisis mon rythme

Séance 1 · Du taux de variation au nombre dérivé

65 min

Séance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes avec coups de pouce.

La question du jour

Quelle est la vitesse d'un objet en chute à l'instant précis t = 1 s ?

Mon plan de travail

Le cours à lire · Taux de variation et nombre dérivé

Le taux de variation de f entre a et a + h est (f(a + h) − f(a))/h : c'est la pente de la sécante et, si f est une distance en fonction du temps, une vitesse moyenne. Quand h devient très proche de 0, ce taux se rapproche d'un nombre : le nombre dérivé f'(a), pente de la tangente et vitesse instantanée. Exemple : pour f(x) = x², (f(1 + h) − f(1))/h = (2h + h²)/h = 2 + h, qui tend vers 2 : f'(1) = 2. La tangente en a a pour équation y = f(a) + f'(a)(x − a) ; pour x² en 1 : y = 2x − 1. Pour h petit, f(a + h) ≈ f(a) + f'(a)h (approximation linéaire).

Document 1 · La chute d'une bille

Situation-problème (modèle simplifié, frottements négligés).

On lâche une bille sans vitesse initiale. La distance parcourue (en mètres) après t secondes est modélisée par d(t) = 4,9t².

Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes). Modèle de la chute libre avec g ≈ 9,8 m/s².

Activité 1 · Chercher

12 min
Essentiel

Supports : Document 1

Consigne :

Calculez.

  1. Distance parcourue après 1 s et après 2 s ?
  2. Vitesse moyenne entre 1 s et 2 s ?
  3. Vitesse moyenne entre 1 s et 1,1 s ?

Ce qui est attendu (6 pts) : Calculs

Activité 2 · Raisonner

18 min
Essentiel

Supports : Cours

Consigne :

Calculez le taux de variation de d entre 1 et 1 + h.

  1. Développez d(1 + h) − d(1).
  2. Simplifiez le taux de variation.
  3. Vitesse instantanée à t = 1 s ?

Ce qui est attendu (7 pts) : Calcul algébrique et limite

Activité 3 · Représenter

15 min
Travail à rendre

Supports : Cours

Consigne :

Avec GeoGebra, tracez la courbe de f(x) = x², la sécante entre les points d'abscisses 1 et 1 + h (curseur h), puis la tangente en 1. Donnez son équation et vérifiez-la par le calcul. Pour bien commencer : Quand h se rapproche de 0, la sécante… · Le coefficient directeur de la tangente est… · Par le calcul, j'obtiens…

Ce qui est attendu (7 pts) : Construction et vérification · Commentaire

Trace écrite · document à compléter (papier ou ENT)

Complète la trace écrite avec les mots de la banque, puis recopie-la dans ton cahier.

dérivéinstantanéesécantetangente

Le taux de variation de f entre a et a + h est la pente de la _______. Sa limite quand h tend vers 0 est le nombre ______ f'(a), pente de la ________. En cinématique, c'est la vitesse ___________.

Séance 2 · Fonction dérivée, variations et optimisation

65 min

Séance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes avec coups de pouce.

La question du jour

Comment trouver, sans tâtonner, le maximum d'une grandeur ?

Mon plan de travail

Le cours à lire · Signe de la dérivée et variations

Si f est dérivable sur un intervalle, sa fonction dérivée f' associe à x le nombre dérivé f'(x). Dérivées usuelles : (k)' = 0, (x)' = 1, (x²)' = 2x, (x³)' = 3x², (1/x)' = −1/x², (√x)' = 1/(2√x) ; une somme se dérive terme à terme, (ku)' = ku' et (uv)' = u'v + uv'. Théorème (admis) : si f' est positive sur un intervalle, f y est croissante ; si f' est négative, f est décroissante. On dresse le tableau de signes de f' puis le tableau de variations de f. Un extremum atteint en un point intérieur annule la dérivée (la réciproque est fausse : x³ en 0). Exemple : f(x) = x³ − 3x, f'(x) = 3(x − 1)(x + 1) ; maximum local f(−1) = 2, minimum local f(1) = −2.

Document 1 · La boîte sans couvercle

Situation-problème.

Dans une plaque carrée de carton de 30 cm de côté, on découpe aux quatre coins des carrés de côté x cm, puis on plie pour former une boîte sans couvercle. Son volume est V(x) = x(30 − 2x)², pour x compris entre 0 et 15.

Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).

Activité 1 · Chercher

12 min
Essentiel

Supports : Cours

Consigne :

Étudiez f(x) = x³ − 3x.

  1. Calculez f'(x) et factorisez.
  2. Tableau de signes de f' ?
  3. Variations et extremums locaux ?

Ce qui est attendu (6 pts) : Étude complète

Activité 2 · Modéliser

18 min
Approfondissement

Supports : Document 1

Consigne :

Étudiez le volume de la boîte.

  1. Développez V(x) et calculez V'(x).
  2. Variations de V entre 0 et 15 ?
  3. Volume maximal ?

Ce qui est attendu (7 pts) : Modélisation et étude

Activité 3 · Communiquer

15 min
Travail à rendre

Supports : Documents et cours

Consigne :

Rédigez la solution complète du problème de la boîte comme dans une copie (calculs, tableau, phrase de conclusion), puis vérifiez à la calculatrice graphique. Pour bien commencer : Le volume de la boîte s'écrit… · Le tableau de variations montre que… · La boîte de volume maximal mesure…

Ce qui est attendu (7 pts) : Rédaction mathématique · Qualité de la langue

Trace écrite · document à compléter (papier ou ENT)

Complète la trace écrite avec les mots de la banque, puis recopie-la dans ton cahier.

croissantedécroissantesignevariations

Si f' est positive sur un intervalle, f y est __________ ; si f' est négative, f est ____________. On étudie le ______ de f' pour dresser le tableau de __________.

Fiche à trous · je complète

Complète le texte avec les mots de la banque (sur papier ou dans le document de l'ENT).

croissantedérivéef'(a)sécante

Le taux de variation de f entre a et a + h est la pente de la _______.

La tangente au point d'abscisse a a pour équation y = f(a) + ______(x − a).

Si f' est positive sur un intervalle, f y est __________.

Un extremum atteint en un point intérieur annule la _______.

Ce que j'ai appris

Les 3 idées que je retiens :
Une méthode ou une formule que je veux retenir :
Ce qui reste difficile pour moi / ma question pour le professeur :