Dérivation : du taux de variation au sens de variation · version prof

Repères pour le professeur

Voie · niveauLycée général · Première

DisciplineMathématiques

Programme officielProgramme de spécialité de mathématiques de 1re générale publié au BO du 2 avril 2026, en vigueur à la rentrée 2026. Épreuve anticipée de mathématiques en fin de 1re à partir de la session 2028 (note de service du 11 septembre 2026).

Place dans le programmeProgramme de spécialité de mathématiques de première générale (BO du 2 avril 2026, en vigueur à la rentrée 2026), partie « Analyse », sections « Dérivation » et « Variations et courbes représentatives des fonctions »

Durée totale2 séances + 1 évaluation ≈ 3 h 05

ModalitéEnseignement à distance : classe virtuelle + travail autonome + rendu sur l'ENT

Objectifs et capacités

Objectifs

Calculer un taux de variation, interpréter un nombre dérivé (pente, vitesse instantanée)
Déterminer l'équation d'une tangente
Étudier les variations d'une fonction à l'aide du signe de sa dérivée et résoudre un problème d'optimisation

Capacités travaillées (BO)

Chercher, expérimenter (outils numériques)
Modéliser une situation
Représenter, changer de registre
Raisonner, démontrer
Calculer, mettre en oeuvre un algorithme
Communiquer un résultat, expliquer une démarche

Notions et définitions

taux de variation, sécantenombre dérivé f'(a), tangentefonction dérivéesigne de la dérivée et sens de variationextremum, optimisation

Repères historiques

Leibniz, *Nova methodus* (1684)
Newton, *Principia* (1687)
Cauchy, *Cours d'analyse* (1821)

Ressources de la séquence

Ancrage dans le programme, notions, repères, débats, bibliographie et différenciation, communs à toutes les séances.

Ancrage dans le programme officiel

Ce que dit le programme : taux de variation et nombre dérivé gagnent à être illustrés dans des contextes variés, par exemple « en cinématique, on peut interpréter un taux de variation comme une vitesse moyenne et un nombre dérivé comme une vitesse instantanée ; »

Capacité attendue : « Interpréter le nombre dérivé en contexte : pente d'une tangente, vitesse instantanée, cout marginal, etc. »

Histoire des mathématiques : « Le développement d'un calcul des variations chez Leibniz et Newton se fonde sur l'hypothèse que les phénomènes naturels évoluent linéairement quand on leur applique des petites variations. »

Épreuve anticipée de mathématiques (fin de 1re, note de service du 11 septembre 2026) : écrite, 2 heures, coefficient 2. « Elle entre en vigueur à compter de l'année scolaire 2026-2027, pour les épreuves présentées au titre la session 2028. » « La première partie est notée sur 6 points et la seconde partie est notée sur 14 points. » « L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé pour l'ensemble de l'épreuve. » « La maîtrise de la langue est prise en compte à hauteur de deux points sur vingt » (note de service du 11 septembre 2026 (BO) ; épreuve anticipée de mathématiques (éduscol)).

Notions : définitions rigoureuses

Taux de variation: Quotient (f(b) − f(a))/(b − a) : pente de la sécante, vitesse moyenne.
Nombre dérivé: Limite du taux de variation entre a et a + h quand h tend vers 0, noté f'(a) : pente de la tangente, vitesse instantanée.
Tangente: Droite passant par le point (a ; f(a)) de pente f'(a) : y = f(a) + f'(a)(x − a).
Fonction dérivée: Fonction x ↦ f'(x) ; (x²)' = 2x, (x³)' = 3x², (1/x)' = −1/x², (√x)' = 1/(2√x).
Signe de la dérivée: f' ≥ 0 sur un intervalle : f croissante ; f' ≤ 0 : f décroissante.
Optimisation: Recherche du maximum ou du minimum d'une grandeur modélisée par une fonction.

Repères

Date	Événement
1637	Descartes, La Géométrie : méthode des normales.
1684	Leibniz publie la Nova methodus (calcul différentiel).
1687	Newton, Principia.
1821	Cauchy fonde l'analyse sur la notion de limite.

Les historiens en débat

Le calcul différentiel naît au XVIIe siècle des problèmes de tangentes, de vitesses et d'extremums (Fermat, Descartes), puis Leibniz et Newton en font une méthode générale. Il s'appuie d'abord sur des « infiniment petits » mal définis ; Cauchy puis Weierstrass le fondent rigoureusement au XIXe siècle. En première, le nombre dérivé est introduit à partir de l'intuition de la limite du taux de variation. Synthèse du professeur.

Pour aller plus loin

Lire · programmes de mathématiques de la voie générale (éduscol).
Outil · calculatrice graphique GeoGebra : tracer une sécante et la faire tendre vers la tangente.

Sources et bibliographie

Hervé Lehning, Toutes les mathématiques du monde, Flammarion, 2017.
Jean Dieudonné (dir.), Abrégé d'histoire des mathématiques, Hermann, 1978.
Revue Repères IREM (articles sur l'enseignement de l'analyse).

Différenciation : un rythme de travail différent

Pour les élèves qui ont besoin de plus de temps : énoncé découpé en petites questions, rappel de cours en marge, calculatrice ou tableur autorisés pendant l'entraînement, correction pas à pas en vidéo ou en classe virtuelle.
Pour les élèves qui avancent vite : question d'approfondissement (démonstration, généralisation, programme Python à écrire), problème ouvert à rédiger et à présenter à l'oral.

Déroulé d'ensemble

Séance	Titre	Durée	Objectif
Séance 1	Du taux de variation au nombre dérivé	65 min	calculer un taux de variation et interpréter un nombre dérivé
Séance 2	Fonction dérivée, variations et optimisation	65 min	étudier les variations d'une fonction et résoudre un problème d'optimisation
Évaluation	Évaluation de fin de séquence (/20)	55 min	Vérifier les acquis : connaissances, capacités, rédaction

Chaque séance dure environ 55 minutes à distance : lancement en classe virtuelle ou par message sur l'ENT, recherche du problème (calculatrice, tableur, GeoGebra ou Python dans le navigateur), mise en commun, cours et trace écrite. Les élèves renvoient la fiche à trous et leur production par l'ENT ou en photo.

Séance 1 · Du taux de variation au nombre dérivé

65 min

Séance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.

Problématique de la séance

Quelle est la vitesse d'un objet en chute à l'instant précis t = 1 s ?

Déroulé minuté à distance

10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
12 min → Travail autonome : Activité 1 (Chercher) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
18 min → Travail autonome : Activité 2 (Raisonner) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Représenter) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.

Le cours développé (récit du professeur) · Taux de variation et nombre dérivé

Le taux de variation de f entre a et a + h est (f(a + h) − f(a))/h : c'est la pente de la sécante et, si f est une distance en fonction du temps, une vitesse moyenne. Quand h devient très proche de 0, ce taux se rapproche d'un nombre : le nombre dérivé f'(a), pente de la tangente et vitesse instantanée. Exemple : pour f(x) = x², (f(1 + h) − f(1))/h = (2h + h²)/h = 2 + h, qui tend vers 2 : f'(1) = 2. La tangente en a a pour équation y = f(a) + f'(a)(x − a) ; pour x² en 1 : y = 2x − 1. Pour h petit, f(a + h) ≈ f(a) + f'(a)h (approximation linéaire).

Document 1 · La chute d'une bille

Situation-problème (modèle simplifié, frottements négligés).

On lâche une bille sans vitesse initiale. La distance parcourue (en mètres) après t secondes est modélisée par d(t) = 4,9t².

Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes). Modèle de la chute libre avec g ≈ 9,8 m/s².

Activité 1 · Chercher

12 min

Essentiel

Supports : Document 1

Consigne :

Calculez.

Distance parcourue après 1 s et après 2 s ?
✔ Corrigé :
4,9 m et 19,6 m.
Vitesse moyenne entre 1 s et 2 s ?
✔ Corrigé :
(19,6 − 4,9)/1 = 14,7 m/s.
Vitesse moyenne entre 1 s et 1,1 s ?
✔ Corrigé :
(4,9 × 1,21 − 4,9)/0,1 = 10,29 m/s.

Critère de réussite	Points
Calculs	6
Total de l'activité	6

Activité 2 · Raisonner

18 min

Essentiel

Supports : Cours

Consigne :

Calculez le taux de variation de d entre 1 et 1 + h.

Développez d(1 + h) − d(1).
✔ Corrigé :
4,9(1 + 2h + h²) − 4,9 = 9,8h + 4,9h².
Simplifiez le taux de variation.
✔ Corrigé :
9,8 + 4,9h.
Vitesse instantanée à t = 1 s ?
✔ Corrigé :
Quand h tend vers 0, le taux tend vers 9,8 : d'(1) = 9,8 m/s.

Critère de réussite	Points
Calcul algébrique et limite	7
Total de l'activité	7

Activité 3 · Représenter

15 min

Travail à rendre

Supports : Cours

Consigne :

Avec GeoGebra, tracez la courbe de f(x) = x², la sécante entre les points d'abscisses 1 et 1 + h (curseur h), puis la tangente en 1. Donnez son équation et vérifiez-la par le calcul. Pour bien commencer : Quand h se rapproche de 0, la sécante… · Le coefficient directeur de la tangente est… · Par le calcul, j'obtiens…

✔ Corrigé rédigé :

Observation : la sécante tourne vers la tangente quand h tend vers 0 ; f'(1) = 2 ; y = 1 + 2(x − 1) = 2x − 1 ; capture d'écran commentée.

Critère de réussite	Points
Construction et vérification	5
Commentaire	2
Total de l'activité	7

Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)

Le taux de variation de f entre a et a + h est la pente de la sécante. Sa limite quand h tend vers 0 est le nombre dérivé f'(a), pente de la tangente. En cinématique, c'est la vitesse instantanée.

Barème récapitulatif des activités notées

Activité	Points
Activité 1 · Chercher	6
Activité 2 · Raisonner	7
Activité 3 · Représenter	7
Total	20 / 20

Séance 2 · Fonction dérivée, variations et optimisation

65 min

Séance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.

Problématique de la séance

Comment trouver, sans tâtonner, le maximum d'une grandeur ?

Déroulé minuté à distance

10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
12 min → Travail autonome : Activité 1 (Chercher) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
18 min → Travail autonome : Activité 2 (Modéliser) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Communiquer) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.

Le cours développé (récit du professeur) · Signe de la dérivée et variations

Si f est dérivable sur un intervalle, sa fonction dérivée f' associe à x le nombre dérivé f'(x). Dérivées usuelles : (k)' = 0, (x)' = 1, (x²)' = 2x, (x³)' = 3x², (1/x)' = −1/x², (√x)' = 1/(2√x) ; une somme se dérive terme à terme, (ku)' = ku' et (uv)' = u'v + uv'. Théorème (admis) : si f' est positive sur un intervalle, f y est croissante ; si f' est négative, f est décroissante. On dresse le tableau de signes de f' puis le tableau de variations de f. Un extremum atteint en un point intérieur annule la dérivée (la réciproque est fausse : x³ en 0). Exemple : f(x) = x³ − 3x, f'(x) = 3(x − 1)(x + 1) ; maximum local f(−1) = 2, minimum local f(1) = −2.

Document 1 · La boîte sans couvercle

Situation-problème.

Dans une plaque carrée de carton de 30 cm de côté, on découpe aux quatre coins des carrés de côté x cm, puis on plie pour former une boîte sans couvercle. Son volume est V(x) = x(30 − 2x)², pour x compris entre 0 et 15.

Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).

Activité 1 · Chercher

12 min

Essentiel

Supports : Cours

Consigne :

Étudiez f(x) = x³ − 3x.

Calculez f'(x) et factorisez.
✔ Corrigé :
f'(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1).
Tableau de signes de f' ?
✔ Corrigé :
Positive sur ]−∞ ; −1], négative sur [−1 ; 1], positive sur [1 ; +∞[.
Variations et extremums locaux ?
✔ Corrigé :
f croissante, décroissante, croissante ; maximum local 2 en −1, minimum local −2 en 1.

Critère de réussite	Points
Étude complète	6
Total de l'activité	6

Activité 2 · Modéliser

18 min

Approfondissement

Supports : Document 1

Consigne :

Étudiez le volume de la boîte.

Développez V(x) et calculez V'(x).
✔ Corrigé :
V(x) = 4x³ − 120x² + 900x ; V'(x) = 12x² − 240x + 900 = 12(x − 5)(x − 15).
Variations de V entre 0 et 15 ?
✔ Corrigé :
V' positive sur [0 ; 5], négative sur [5 ; 15] : V croissante puis décroissante.
Volume maximal ?
✔ Corrigé :
V(5) = 5 × 20² = 2 000 cm³, pour des carrés de 5 cm.

Critère de réussite	Points
Modélisation et étude	7
Total de l'activité	7

Activité 3 · Communiquer

15 min

Travail à rendre

Supports : Documents et cours

Consigne :

Rédigez la solution complète du problème de la boîte comme dans une copie (calculs, tableau, phrase de conclusion), puis vérifiez à la calculatrice graphique. Pour bien commencer : Le volume de la boîte s'écrit… · Le tableau de variations montre que… · La boîte de volume maximal mesure…

✔ Corrigé rédigé :

Introduction du modèle, dérivée factorisée, tableau de signes et de variations, valeur du maximum, phrase de conclusion avec unités ; vérification graphique.

Critère de réussite	Points
Rédaction mathématique	5
Qualité de la langue	2
Total de l'activité	7

Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)

Si f' est positive sur un intervalle, f y est croissante ; si f' est négative, f est décroissante. On étudie le signe de f' pour dresser le tableau de variations.

Barème récapitulatif des activités notées

Activité	Points
Activité 1 · Chercher	6
Activité 2 · Modéliser	7
Activité 3 · Communiquer	7
Total	20 / 20

Fiche à trous · corrigé

Le taux de variation de f entre a et a + h est la pente de la sécante.

La tangente au point d'abscisse a a pour équation y = f(a) + f'(a)(x − a).

Si f' est positive sur un intervalle, f y est croissante.

Un extremum atteint en un point intérieur annule la dérivée.

La version élève contient la même fiche avec une banque de mots (papier ou ENT).

Évaluation de fin de séquence (/20) · barème et corrigé

Évaluation sur 20 à faire en temps limité sur l'ENT ou sur papier, puis à renvoyer en photo ; le corrigé et le barème servent aussi à l'autoévaluation. En Bac Pro, elle est construite comme une situation de contrôle en cours de formation (problème contextualisé, compétences évaluées) ; en 1re générale, elle prépare à l'épreuve anticipée (automatismes sans calculatrice et exercices) ; en Terminale générale, aux exercices indépendants de l'épreuve de spécialité.

N°	Question	Barème	Corrigé et critères
1	Automatismes (sans calculatrice) : dérivez f(x) = x², g(x) = 3x − 5, h(x) = x³ et k(x) = 1/x.	6 pts	f'(x) = 2x ; g'(x) = 3 ; h'(x) = 3x² ; k'(x) = −1/x². 1,5 point par dérivée.
2	Soit f(x) = x² − 4x + 1. Calculez f'(x), le nombre dérivé en 3, puis l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse 3.	6 pts	f'(x) = 2x − 4 ; f'(3) = 2 ; f(3) = −2 ; tangente : y = −2 + 2(x − 3), soit y = 2x − 8. Calculs justes et formule bien utilisée.
3	Avec 20 m de clôture, on veut fermer un enclos rectangulaire le long d'un mur (3 côtés à clôturer). On note x la largeur (en m). Montrez que l'aire vaut A(x) = x(20 − 2x) pour x entre 0 et 10, étudiez les variations de A et déterminez les dimensions qui donnent l'aire maximale.	8 pts	A(x) = 20x − 2x² ; A'(x) = 20 − 4x, positive avant 5 et négative après : A croissante sur [0 ; 5], décroissante sur [5 ; 10] ; maximum A(5) = 50 m² pour un enclos de 5 m sur 10 m. Tableau de variations, conclusion rédigée.
Total		20 pts

Pistes pour un rythme de travail différent

Laisser deux jours de plus aux élèves qui ont peu de connexion et accepter un rendu sur papier photographié.
Proposer la fiche à trous, un énoncé découpé en petites questions et une vidéo de correction pas à pas.
Pour les élèves rapides : une démonstration, un programme Python à écrire ou un problème ouvert à présenter à l'oral.
Automatismes : développer, factoriser, calculer une image, lire une pente sur un graphique.
Pour aller plus loin : la méthode de Newton en Python pour approcher √2.