Bonjour !
Dans cette séquence de mathématiques, tu vas chercher à répondre à la grande question écrite en haut de la page. Elle se fait en 2 séances. Pour chaque séance : lis la consigne, étudie les documents, réponds aux questions sur ta feuille ou sur l'ENT, puis recopie l'essentiel dans ton cahier. Tu peux imprimer cette page avec le bouton « Imprimer ».
À la fin, je serai capable de :
- Passer d'une forme à l'autre d'un trinôme (développée, canonique, factorisée)
- Résoudre une équation du second degré avec le discriminant ou une stratégie plus rapide (racine évidente, somme et produit)
- Étudier le signe d'un trinôme et résoudre une inéquation ; optimiser
Les mots importants
Ressources de la séquence
Les notions, les repères et les pistes pour aller plus loin, utiles pour toutes les séances.
Les notions à maîtriser
- Trinôme
- Fonction f(x) = ax² + bx + c avec a ≠ 0 ; sa courbe est une parabole.
- Forme canonique
- f(x) = a(x − α)² + β avec α = −b/(2a) et β = f(α) ; le sommet est S(α ; β).
- Discriminant
- Δ = b² − 4ac : deux racines si Δ > 0, une racine double si Δ = 0, aucune racine réelle si Δ < 0.
- Racines
- x₁ = (−b − √Δ)/(2a), x₂ = (−b + √Δ)/(2a) ; somme −b/a, produit c/a.
- Forme factorisée
- f(x) = a(x − x₁)(x − x₂) si Δ > 0.
- Signe
- Le trinôme est du signe de a sauf entre ses racines.
Repères
| Date | Événement |
|---|---|
| vers 1800 av. J.‑C. | Des tablettes babyloniennes résolvent des problèmes de longueur et de surface menant au second degré. |
| vers 820 | Al‑Khwarizmi classe les équations du second degré et les résout géométriquement. |
| 1591 | Viète utilise des lettres pour les coefficients, ce qui permet des formules générales. |
| 1637 | Descartes donne des notations proches des nôtres dans La Géométrie. |
Pour aller plus loin
Sources et bibliographie
- Ahmed Djebbar, Une histoire de la science arabe, Seuil, 2001.
- Hervé Lehning, Toutes les mathématiques du monde, Flammarion, 2017.
- Mickaël Launay, Le Grand Roman des maths, Flammarion, 2016.
Mon parcours : je choisis mon rythme
- Pour les élèves qui ont besoin de plus de temps : énoncé découpé en petites questions, rappel de cours en marge, calculatrice ou tableur autorisés pendant l'entraînement, correction pas à pas en vidéo ou en classe virtuelle.
- Pour les élèves qui avancent vite : question d'approfondissement (démonstration, généralisation, programme Python à écrire), problème ouvert à rédiger et à présenter à l'oral.
Séance 1 · Forme canonique et discriminant
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes avec coups de pouce.
La question du jour
Comment résoudre ax² + bx + c = 0 dans tous les cas ?
Mon plan de travail
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Je suis le lancement (ou j'écoute la capsule) et je recopie la problématique.
- 12 min → Travail autonome : Je fais l'activité 1 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 18 min → Travail autonome : Je fais l'activité 2 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 15 min → Travail à rendre : Je fais l'activité 3 et je la dépose sur l'ENT (ou j'envoie une photo) dans les trois jours.
- 10 min → Mise en commun : Je corrige avec une autre couleur et je complète la trace écrite.
Le cours à lire · Compléter le carré
Pour a ≠ 0, on complète le carré : ax² + bx + c = a[(x + b/(2a))² − Δ/(4a²)] avec Δ = b² − 4ac. D'où la forme canonique a(x − α)² + β, avec α = −b/(2a) et β = f(α). Si Δ > 0, deux racines x₁ = (−b − √Δ)/(2a) et x₂ = (−b + √Δ)/(2a), et f(x) = a(x − x₁)(x − x₂) ; si Δ = 0, une racine double α ; si Δ < 0, aucune racine réelle. Avant d'appliquer la formule, on cherche une stratégie plus rapide : identité remarquable, racine évidente (souvent 1 ou −1), puis l'autre racine par le produit c/a ou la somme −b/a.
Document 1 · La méthode d'Al‑Khwarizmi
Situation-problème.
Al‑Khwarizmi résout « un carré et dix racines égalent trente‑neuf », c'est‑à‑dire x² + 10x = 39, en complétant un carré de côté x par quatre rectangles, puis par quatre petits carrés. On veut retrouver sa solution par le calcul.
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · Chercher
12 minSupports : Document 1
Complétez le carré.
- Montrez que x² + 10x = (x + 5)² − 25.
- Résolvez x² + 10x = 39.
- Pourquoi Al‑Khwarizmi ne donne‑t‑il que 3 ?
Ce qui est attendu (6 pts) : Résultats justes et justifiés
Activité 2 · S'entraîner
18 minSupports : Cours
Résolvez sans calculatrice en choisissant la méthode.
- x² − 4x + 4 = 0.
- 3x² + 2x − 5 = 0.
- x² + x + 1 = 0.
Ce qui est attendu (7 pts) : Méthode et résultats
Activité 3 · Démontrer
15 minSupports : Documents et cours
Démontrez que si Δ > 0, x₁ + x₂ = −b/a et x₁ × x₂ = c/a. Rédigez en 6 à 8 lignes. Pour bien commencer : En additionnant les deux formules, … · Pour le produit, on utilise l'identité… · On obtient bien…
Ce qui est attendu (7 pts) : Raisonnement · Rédaction
Trace écrite · document à compléter (papier ou ENT)
Complète la trace écrite avec les mots de la banque, puis recopie-la dans ton cahier.
La forme _________ s'obtient en complétant le carré. Si Δ est _______, le trinôme n'a pas de racine réelle. Avant la formule, on cherche une racine ________ puis on utilise le _______ des racines.
Séance 2 · Signe du trinôme et optimisation
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes avec coups de pouce.
La question du jour
Quel prix fixer pour un bénéfice maximal ?
Mon plan de travail
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Je suis le lancement (ou j'écoute la capsule) et je recopie la problématique.
- 12 min → Travail autonome : Je fais l'activité 1 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 18 min → Travail autonome : Je fais l'activité 2 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 15 min → Travail à rendre : Je fais l'activité 3 et je la dépose sur l'ENT (ou j'envoie une photo) dans les trois jours.
- 10 min → Mise en commun : Je corrige avec une autre couleur et je complète la trace écrite.
Le cours à lire · Signe et sommet
Si Δ > 0, f(x) = a(x − x₁)(x − x₂) : un tableau de signes montre que f est du signe de a à l'extérieur des racines et du signe contraire entre elles. Si Δ ≤ 0, f est du signe de a (et s'annule en α si Δ = 0). La forme canonique donne le sommet S(α ; β) de la parabole : si a < 0, β est le maximum de f, atteint en α ; si a > 0, c'est le minimum. On choisit la forme utile : factorisée pour le signe et les solutions, canonique pour l'extremum, développée pour l'ordonnée à l'origine.
Document 1 · Le prix d'un concert
Situation-problème.
Une association organise un concert. Avec un billet à x euros, elle prévoit de vendre 600 − 20x billets (pour 5 ≤ x ≤ 30). Les frais fixes s'élèvent à 2 000 €. Le bénéfice est B(x) = x(600 − 20x) − 2 000.
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · Chercher
12 minSupports : Document 1
Exploitez les formes.
- Développez B(x).
- Vérifiez que B(x) = −20(x − 15)² + 2 500.
- Prix optimal et bénéfice maximal ?
Ce qui est attendu (6 pts) : Résultats justes et justifiés
Activité 2 · Raisonner
18 minSupports : Cours
Étudiez le signe de B.
- Racines de B ?
- Signe de B sur [5 ; 30] ?
- À partir de quel prix l'association perd‑elle de l'argent ?
Ce qui est attendu (7 pts) : Méthode et résultats
Activité 3 · Communiquer
15 minSupports : Documents et cours
Rédigez une note au bureau de l'association (8 lignes) : prix conseillé, bénéfice attendu, prix à ne pas dépasser. Justifiez par les formes du trinôme. Pour bien commencer : La forme canonique montre que… · Le bénéfice est positif tant que… · Je conseille donc…
Ce qui est attendu (7 pts) : Raisonnement · Rédaction
Trace écrite · document à compléter (papier ou ENT)
Complète la trace écrite avec les mots de la banque, puis recopie-la dans ton cahier.
Un trinôme est du signe de ______ sauf entre ses racines. Si a < 0, le sommet de la parabole donne le _______. Pour le signe, on utilise la forme __________ ; pour l'extremum, la forme _________.
Fiche à trous · je complète
Complète le texte avec les mots de la banque (sur papier ou dans le document de l'ENT).
La forme _________ d'un trinôme est a(x − α)² + β.
Si Δ > 0, l'équation ax² + bx + c = 0 a ______ solutions réelles.
Si x₁ et x₂ sont les racines, leur produit vaut ______.
Un trinôme est du signe de ______ à l'extérieur de ses racines.
Ce que j'ai appris
- Passer d'une forme à l'autre d'un trinôme (développée, canonique, factorisée)
- Résoudre une équation du second degré avec le discriminant ou une stratégie plus rapide (racine évidente, somme et produit)
- Étudier le signe d'un trinôme et résoudre une inéquation ; optimiser