Version élève → Mathématiques · Lycée général · 1re · Première

Séquence 4 · La fonction exponentielle : croissances et décroissances à taux constant

Quelle fonction modélise une évolution continue à taux constant, comme une population de bactéries ou la décroissance d'un médicament ?

Bonjour !

Dans cette séquence de mathématiques, tu vas chercher à répondre à la grande question écrite en haut de la page. Elle se fait en 2 séances. Pour chaque séance : lis la consigne, étudie les documents, réponds aux questions sur ta feuille ou sur l'ENT, puis recopie l'essentiel dans ton cahier. Tu peux imprimer cette page avec le bouton « Imprimer ».

À la fin, je serai capable de :

Les mots importants

fonction exponentielle, nombre eexp(x + y) = exp(x) exp(y)dérivée de t ↦ e^(at)croissance, décroissance exponentiellelien avec les suites géométriques

Ressources de la séquence

Les notions, les repères et les pistes pour aller plus loin, utiles pour toutes les séances.

Les notions à maîtriser

Fonction exponentielle
Unique fonction dérivable sur ℝ telle que exp' = exp et exp(0) = 1 ; on note exp(x) = eˣ.
Nombre e
e = exp(1) ≈ 2,718.
Propriétés algébriques
e^(a + b) = e^a e^b ; e^(−a) = 1/e^a ; e^(a − b) = e^a/e^b ; (e^a)ⁿ = e^(na).
Signe et variations
eˣ > 0 pour tout x ; exp est strictement croissante sur ℝ.
Dérivée de e^(at)
(e^(at))' = a e^(at) : croissance si a > 0, décroissance si a < 0.
Lien avec les suites
Pour a réel, la suite (e^(na)) est géométrique de raison e^a.

Repères

DateÉvénement
1683Jacques Bernoulli étudie les intérêts composés de plus en plus souvent et rencontre le nombre e.
1748Euler publie l'Introductio : définitions de e et de l'exponentielle.
1768Euler expose sa méthode d'approximation des solutions d'équations différentielles.
1896Becquerel découvre la radioactivité, dont la décroissance est exponentielle.

Pour aller plus loin

Sources et bibliographie

Mon parcours : je choisis mon rythme

Séance 1 · Définition et propriétés algébriques

65 min

Séance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes avec coups de pouce.

La question du jour

Existe‑t‑il une fonction égale à sa dérivée ?

Mon plan de travail

Le cours à lire · La fonction exp

On admet qu'il existe une unique fonction dérivable sur ℝ telle que f' = f et f(0) = 1 : c'est la fonction exponentielle, notée exp. Méthode d'Euler : comme f(x + h) ≈ f(x) + h f'(x) = (1 + h) f(x), on construit point par point une approximation : f(0) = 1, f(h) ≈ 1 + h, f(2h) ≈ (1 + h)²… On démontre que exp ne s'annule pas et que exp(a + b) = exp(a) × exp(b). On note e = exp(1) ≈ 2,718 et exp(x) = eˣ : les règles sont celles des puissances, e^(−a) = 1/e^a, e^(a − b) = e^a/e^b, (e^a)ⁿ = e^(na).

Document 1 · La méthode d'Euler sur tableur

Situation-problème.

Le professeur dépose sur l'ENT un tableur : colonne A les valeurs x = 0 ; 0,1 ; 0,2 ; … ; 1, colonne B les valeurs approchées obtenues par B(suivant) = B(précédent) × 1,1, en partant de 1.

Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).

Activité 1 · Chercher

12 min
Essentiel

Supports : Document 1

Consigne :

Exploitez le tableur.

  1. Pourquoi multiplie‑t‑on par 1,1 à chaque ligne ?
  2. Valeur approchée obtenue pour x = 1 ?
  3. Avec un pas de 0,01, on obtient 1,01¹⁰⁰ ≈ 2,705. Que conjecturer ?

Ce qui est attendu (6 pts) : Résultats justes et justifiés

Activité 2 · S'entraîner

18 min
Essentiel

Supports : Cours

Consigne :

Simplifiez sans calculatrice.

  1. e² × e³ ; e⁴/e⁶.
  2. (eˣ)² × e^(−x).
  3. Résolvez e^(2x) = e^(x + 3).

Ce qui est attendu (7 pts) : Méthode et résultats

Activité 3 · Démontrer

15 min
Travail à rendre

Supports : Documents et cours

Consigne :

Démontrez que exp(x) × exp(−x) = 1 en étudiant la fonction g(x) = exp(x) exp(−x) (dérivée nulle). Rédigez en 6 à 8 lignes et déduisez‑en que exp ne s'annule jamais. Pour bien commencer : Je dérive g comme un produit… · La dérivée étant nulle, g est… · Comme g(0) = 1, …

Ce qui est attendu (7 pts) : Raisonnement · Rédaction

Trace écrite · document à compléter (papier ou ENT)

Complète la trace écrite avec les mots de la banque, puis recopie-la dans ton cahier.

12,718e^binverse

L'exponentielle est l'unique fonction telle que f' = f et f(0) = ______. On a e^(a + b) = e^a × ______. e^(−a) est l'_______ de e^a. Le nombre e vaut environ ______.

Séance 2 · Variations et modèles exponentiels

65 min

Séance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes avec coups de pouce.

La question du jour

Comment décrire la disparition d'un médicament dans le sang ?

Mon plan de travail

Le cours à lire · Croissance et décroissance exponentielles

Comme exp' = exp et exp(x) > 0, la fonction exp est strictement croissante ; sa courbe passe par (0 ; 1), sa tangente en 0 a pour équation y = x + 1. Pour un réel a, la fonction t ↦ e^(at) a pour dérivée a e^(at) : elle est croissante si a > 0 (croissance exponentielle), décroissante si a < 0 (décroissance exponentielle, t ↦ e^(−kt)). Pour tout entier n, e^(na) = (e^a)ⁿ : la suite (e^(na)) est géométrique de raison e^a. Un modèle f(t) = C e^(at) traduit une variation proportionnelle à la quantité présente : f' = a f.

Document 1 · Élimination d'un médicament

Situation-problème.

Un patient reçoit une injection. La concentration du produit dans le sang est modélisée par C(t) = 20 e^(−0,1t) (mg/L), t en heures. Le médicament n'est plus efficace sous 5 mg/L. Valeurs fournies : e^(−0,5) ≈ 0,61 ; e^(−1) ≈ 0,37 ; e^(−1,4) ≈ 0,25.

Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).

Activité 1 · Chercher

12 min
Essentiel

Supports : Document 1

Consigne :

Calculez.

  1. C(0), C(5), C(10) ?
  2. Vers quelle heure la concentration vaut‑elle 5 mg/L ?
  3. De quel pourcentage la concentration diminue‑t‑elle chaque heure (e^(−0,1) ≈ 0,905) ?

Ce qui est attendu (6 pts) : Résultats justes et justifiés

Activité 2 · Raisonner

18 min
Essentiel

Supports : Cours

Consigne :

Étudiez le modèle.

  1. Calculez C'(t) et son signe.
  2. Vérifiez que C' = −0,1 C. Interprétez.
  3. Montrez que (C(n)) est géométrique.

Ce qui est attendu (7 pts) : Méthode et résultats

Activité 3 · Communiquer

15 min
Travail à rendre

Supports : Documents et cours

Consigne :

Rédigez une explication pour une affiche de prévention (8 lignes) : pourquoi le médicament disparaît vite au début puis lentement, et au bout de combien de temps une nouvelle prise est envisagée selon ce modèle (sans conseil médical). Pour bien commencer : La concentration est modélisée par… · Sa dérivée montre que… · Selon ce modèle, …

Ce qui est attendu (7 pts) : Raisonnement · Rédaction

Trace écrite · document à compléter (papier ou ENT)

Complète la trace écrite avec les mots de la banque, puis recopie-la dans ton cahier.

a e^(at)croissantedécroissancegéométrique

La fonction exp est strictement __________ sur ℝ. La dérivée de t ↦ e^(at) est ________. Si a < 0, on parle de ____________ exponentielle. La suite (e^(na)) est ___________ de raison e^a.

Fiche à trous · je complète

Complète le texte avec les mots de la banque (sur papier ou dans le document de l'ENT).

1a e^(at)e^a × e^bpositive

La fonction exponentielle est l'unique fonction dérivable sur ℝ telle que f' = f et f(0) = ______.

Pour tous réels a et b, e^(a + b) = _________.

La fonction exponentielle est strictement ________ et strictement croissante.

La dérivée de t ↦ e^(at) est t ↦ ________.

Ce que j'ai appris

Les 3 idées que je retiens :
Une méthode ou une formule que je veux retenir :
Ce qui reste difficile pour moi / ma question pour le professeur :