Bonjour !
Dans cette séquence de mathématiques, tu vas chercher à répondre à la grande question écrite en haut de la page. Elle se fait en 2 séances. Pour chaque séance : lis la consigne, étudie les documents, réponds aux questions sur ta feuille ou sur l'ENT, puis recopie l'essentiel dans ton cahier. Tu peux imprimer cette page avec le bouton « Imprimer ».
À la fin, je serai capable de :
- Utiliser le radian et l'enroulement de la droite sur le cercle trigonométrique
- Lire et calculer cosinus et sinus d'un réel, valeurs remarquables et angles associés
- Modéliser un mouvement circulaire et approcher π par la méthode d'Archimède
Les mots importants
Ressources de la séquence
Les notions, les repères et les pistes pour aller plus loin, utiles pour toutes les séances.
Les notions à maîtriser
- Cercle trigonométrique
- Cercle de centre O et de rayon 1, orienté dans le sens direct (contraire des aiguilles d'une montre).
- Radian
- Mesure d'un angle qui intercepte un arc de longueur 1 sur le cercle trigonométrique ; π rad = 180°.
- Image d'un réel
- Point M obtenu en enroulant la droite des réels sur le cercle ; x et x + 2kπ ont la même image.
- Cosinus et sinus
- cos x et sin x sont l'abscisse et l'ordonnée de l'image M de x.
- Relation fondamentale
- cos² x + sin² x = 1.
- Valeurs remarquables
- cos(π/6) = √3/2, cos(π/4) = √2/2, cos(π/3) = 1/2, et les sinus correspondants.
Repères
| Date | Événement |
|---|---|
| IIe siècle av. J.‑C. | Hipparque dresse des tables de cordes pour l'astronomie. |
| IIIe siècle av. J.‑C. | Archimède encadre π entre 223/71 et 22/7 avec des polygones à 96 côtés. |
| Ve siècle | Aryabhata utilise des tables de demi‑cordes, ancêtres du sinus. |
| 1748 | Euler fait de sinus et cosinus des fonctions d'un nombre réel. |
Pour aller plus loin
Sources et bibliographie
- Eli Maor, Trigonometric Delights, Princeton University Press, 1998.
- Jean‑Paul Delahaye, Le Fascinant Nombre π, Belin, 1997.
- Ahmed Djebbar, Une histoire de la science arabe, Seuil, 2001.
Mon parcours : je choisis mon rythme
- Pour les élèves qui ont besoin de plus de temps : énoncé découpé en petites questions, rappel de cours en marge, calculatrice ou tableur autorisés pendant l'entraînement, correction pas à pas en vidéo ou en classe virtuelle.
- Pour les élèves qui avancent vite : question d'approfondissement (démonstration, généralisation, programme Python à écrire), problème ouvert à rédiger et à présenter à l'oral.
Séance 1 · Le cercle trigonométrique et le radian
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes avec coups de pouce.
La question du jour
Comment mesurer un angle avec une longueur ?
Mon plan de travail
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Je suis le lancement (ou j'écoute la capsule) et je recopie la problématique.
- 12 min → Travail autonome : Je fais l'activité 1 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 18 min → Travail autonome : Je fais l'activité 2 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 15 min → Travail à rendre : Je fais l'activité 3 et je la dépose sur l'ENT (ou j'envoie une photo) dans les trois jours.
- 10 min → Mise en commun : Je corrige avec une autre couleur et je complète la trace écrite.
Le cours à lire · Radian et enroulement
Le cercle trigonométrique a pour centre O, pour rayon 1, et il est orienté dans le sens direct (sens contraire des aiguilles d'une montre). Sa longueur vaut 2π. On enroule la droite des réels sur le cercle à partir du point I(1 ; 0) : à chaque réel x correspond un point M, image de x. L'arc IM a pour longueur |x|. Le radian est l'angle qui intercepte un arc de longueur 1 : π rad = 180°. Deux réels qui diffèrent d'un multiple de 2π ont la même image : x et x + 2kπ. Sur un cercle de rayon R, un angle de x radians intercepte un arc de longueur Rx.
Document 1 · La valve du vélo
Situation-problème.
La roue d'un vélo a un rayon de 35 cm. On repère la position de la valve par l'angle de rotation de la roue. Après un tour complet, le vélo a avancé d'une longueur égale au périmètre de la roue.
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · Chercher
12 minSupports : Document 1
Calculez.
- Distance parcourue par le vélo pour un tour ? Pour un angle de 1 radian ?
- Convertissez 90°, 45°, 30° en radians.
- Quel angle en radians pour avancer de 1 m ?
Ce qui est attendu (6 pts) : Résultats justes et justifiés
Activité 2 · S'entraîner
18 minSupports : Cours
Placez sur le cercle.
- Images de π/2, π, −π/2, 3π.
- Les réels 7π/3 et π/3 ont‑ils la même image ?
- Mesure dans ]−π ; π] de 17π/6.
Ce qui est attendu (7 pts) : Méthode et résultats
Activité 3 · Communiquer
15 minSupports : Documents et cours
Expliquez à un élève absent (8 lignes) pourquoi on mesure les angles en radians et comment placer l'image de 13π/4 sur le cercle. Pour bien commencer : Le radian est défini… · Pour placer 13π/4, on retire… · Le point obtenu est…
Ce qui est attendu (7 pts) : Raisonnement · Rédaction
Trace écrite · document à compléter (papier ou ENT)
Complète la trace écrite avec les mots de la banque, puis recopie-la dans ton cahier.
Le cercle trigonométrique a pour rayon ______. π radians valent ______ degrés. Les réels x et x + 2π ont la même ______. Sur un cercle de rayon R, un angle de x radians intercepte un arc de longueur ______.
Séance 2 · Cosinus, sinus et angles associés
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes avec coups de pouce.
La question du jour
Comment calculer la hauteur d'une nacelle ?
Mon plan de travail
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Je suis le lancement (ou j'écoute la capsule) et je recopie la problématique.
- 12 min → Travail autonome : Je fais l'activité 1 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 18 min → Travail autonome : Je fais l'activité 2 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 15 min → Travail à rendre : Je fais l'activité 3 et je la dépose sur l'ENT (ou j'envoie une photo) dans les trois jours.
- 10 min → Mise en commun : Je corrige avec une autre couleur et je complète la trace écrite.
Le cours à lire · Cosinus et sinus d'un réel
Si M est l'image du réel x, cos x est l'abscisse et sin x l'ordonnée de M. Donc −1 ≤ cos x ≤ 1, −1 ≤ sin x ≤ 1 et, par Pythagore, cos² x + sin² x = 1. Pour 0 < x < π/2, on retrouve le cosinus et le sinus du triangle rectangle. Valeurs remarquables : cos 0 = 1, cos(π/6) = √3/2, cos(π/4) = √2/2, cos(π/3) = 1/2, cos(π/2) = 0 (et les sinus dans l'ordre inverse). Angles associés, par symétries : cos(−x) = cos x, sin(−x) = −sin x ; cos(π − x) = −cos x, sin(π − x) = sin x ; cos(π + x) = −cos x, sin(π + x) = −sin x.
Document 1 · La grande roue
Situation-problème.
Une grande roue de 20 m de rayon a son axe à 22 m du sol. On repère une nacelle par le réel x (en radians) dont on a tourné depuis la position à hauteur de l'axe, côté est, en tournant dans le sens direct.
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · Chercher
12 minSupports : Document 1
Modélisez.
- Coordonnées de la nacelle dans un repère centré sur l'axe (unité : m) ?
- Hauteur au‑dessus du sol ?
- Hauteur pour x = π/6 et x = 3π/2 ?
Ce qui est attendu (6 pts) : Résultats justes et justifiés
Activité 2 · S'entraîner
18 minSupports : Cours
Calculez sans calculatrice.
- cos(2π/3) et sin(2π/3).
- cos(5π/4) et sin(5π/4).
- Sachant sin x = 0,6 et 0 < x < π/2, calculez cos x.
Ce qui est attendu (7 pts) : Méthode et résultats
Activité 3 · Démontrer
15 minSupports : Documents et cours
Démontrez à l'aide d'une figure que cos(π − x) = −cos x et sin(π − x) = sin x, puis calculez la hauteur de la nacelle pour x = 5π/6. Rédigez en 8 lignes. Pour bien commencer : Les images de x et π − x sont symétriques par rapport à… · Leurs abscisses sont donc… · Pour x = 5π/6, …
Ce qui est attendu (7 pts) : Raisonnement · Rédaction
Trace écrite · document à compléter (papier ou ENT)
Complète la trace écrite avec les mots de la banque, puis recopie-la dans ton cahier.
cos x est l'________ du point image de x, sin x son ________. cos² x + sin² x = ______. cos(π − x) = ______.
Fiche à trous · je complète
Complète le texte avec les mots de la banque (sur papier ou dans le document de l'ENT).
Un angle de π radians correspond à ______ degrés.
Sur le cercle trigonométrique, l'abscisse du point image de x est ______.
Pour tout réel x, cos² x + sin² x = ______.
cos(−x) = cos x et sin(−x) = ______.
Ce que j'ai appris
- Utiliser le radian et l'enroulement de la droite sur le cercle trigonométrique
- Lire et calculer cosinus et sinus d'un réel, valeurs remarquables et angles associés
- Modéliser un mouvement circulaire et approcher π par la méthode d'Archimède