Trigonométrie : cercle trigonométrique, radian, cosinus et sinus · version prof

Repères pour le professeur

Voie · niveauLycée général · Première

DisciplineMathématiques

Programme officielProgramme de spécialité de mathématiques de 1re générale publié au BO du 2 avril 2026, en vigueur à la rentrée 2026. Épreuve anticipée de mathématiques en fin de 1re à partir de la session 2028 (note de service du 11 septembre 2026).

Place dans le programmeProgramme de spécialité de mathématiques de première générale (BO du 2 avril 2026, en vigueur à la rentrée 2026), partie « Analyse », section « Trigonométrie »

Durée totale2 séances + 1 évaluation ≈ 3 h 05

ModalitéEnseignement à distance : classe virtuelle + travail autonome + rendu sur l'ENT

Objectifs et capacités

Objectifs

Utiliser le radian et l'enroulement de la droite sur le cercle trigonométrique
Lire et calculer cosinus et sinus d'un réel, valeurs remarquables et angles associés
Modéliser un mouvement circulaire et approcher π par la méthode d'Archimède

Capacités travaillées (BO)

Chercher, expérimenter (outils numériques)
Modéliser une situation
Représenter, changer de registre
Raisonner, démontrer
Calculer, mettre en oeuvre un algorithme
Communiquer un résultat, expliquer une démarche

Notions et définitions

cercle trigonométrique, sens directradian, longueur d'arcimage d'un réel sur le cerclecos x et sin x, cos² x + sin² x = 1angles associés (−x, π − x, π + x)

Repères historiques

Hipparque et les tables de cordes (IIe siècle av. J.‑C.)
Archimède, *De la mesure du cercle* (IIIe siècle av. J.‑C.)
Roger Cotes puis Euler : la mesure en radians (XVIIIe siècle)

Ressources de la séquence

Ancrage dans le programme, notions, repères, débats, bibliographie et différenciation, communs à toutes les séances.

Ancrage dans le programme officiel

Contenus : « Cercle trigonométrique. Longueur d'arc. Radian. »

Enroulement : « Enroulement de la droite sur le cercle trigonométrique. Image d'un nombre réel. »

Exemple d'algorithme : « Approximation de π par la méthode d'Archimède. »

Compétences : « L'évaluation doit permettre de repérer les acquis des élèves en lien avec les six compétences mathématiques : chercher, modéliser, représenter, raisonner, calculer, communiquer. »

Épreuve anticipée de mathématiques (fin de 1re, note de service du 11 septembre 2026) : écrite, 2 heures, coefficient 2. « Elle entre en vigueur à compter de l'année scolaire 2026-2027, pour les épreuves présentées au titre la session 2028. » « La première partie est notée sur 6 points et la seconde partie est notée sur 14 points. » « L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé pour l'ensemble de l'épreuve. » « La maîtrise de la langue est prise en compte à hauteur de deux points sur vingt » (note de service du 11 septembre 2026 (BO) ; épreuve anticipée de mathématiques (éduscol)).

Notions : définitions rigoureuses

Cercle trigonométrique: Cercle de centre O et de rayon 1, orienté dans le sens direct (contraire des aiguilles d'une montre).
Radian: Mesure d'un angle qui intercepte un arc de longueur 1 sur le cercle trigonométrique ; π rad = 180°.
Image d'un réel: Point M obtenu en enroulant la droite des réels sur le cercle ; x et x + 2kπ ont la même image.
Cosinus et sinus: cos x et sin x sont l'abscisse et l'ordonnée de l'image M de x.
Relation fondamentale: cos² x + sin² x = 1.
Valeurs remarquables: cos(π/6) = √3/2, cos(π/4) = √2/2, cos(π/3) = 1/2, et les sinus correspondants.

Repères

Date	Événement
IIe siècle av. J.‑C.	Hipparque dresse des tables de cordes pour l'astronomie.
IIIe siècle av. J.‑C.	Archimède encadre π entre 223/71 et 22/7 avec des polygones à 96 côtés.
Ve siècle	Aryabhata utilise des tables de demi‑cordes, ancêtres du sinus.
1748	Euler fait de sinus et cosinus des fonctions d'un nombre réel.

Les historiens en débat

La trigonométrie est née de l'astronomie : il fallait relier angles et longueurs pour suivre les astres. Les tables de cordes grecques deviennent tables de sinus en Inde puis dans le monde arabe, avant qu'Euler n'en fasse des fonctions. Le radian, qui mesure un angle par une longueur d'arc, simplifie toutes les formules de l'analyse. Synthèse du professeur.

Pour aller plus loin

Lire · programmes de mathématiques de la voie générale (éduscol).
Lire · épreuve anticipée de mathématiques (éduscol).
Outil · calculatrice graphique GeoGebra.

Sources et bibliographie

Eli Maor, Trigonometric Delights, Princeton University Press, 1998.
Jean‑Paul Delahaye, Le Fascinant Nombre π, Belin, 1997.
Ahmed Djebbar, Une histoire de la science arabe, Seuil, 2001.

Différenciation : un rythme de travail différent

Pour les élèves qui ont besoin de plus de temps : énoncé découpé en petites questions, rappel de cours en marge, calculatrice ou tableur autorisés pendant l'entraînement, correction pas à pas en vidéo ou en classe virtuelle.
Pour les élèves qui avancent vite : question d'approfondissement (démonstration, généralisation, programme Python à écrire), problème ouvert à rédiger et à présenter à l'oral.

Déroulé d'ensemble

Séance	Titre	Durée	Objectif
Séance 1	Le cercle trigonométrique et le radian	65 min	enrouler la droite des réels sur le cercle et placer des points
Séance 2	Cosinus, sinus et angles associés	65 min	lire cosinus et sinus et utiliser les symétries du cercle
Évaluation	Évaluation de fin de séquence (/20)	55 min	Vérifier les acquis : connaissances, capacités, rédaction

Chaque séance dure environ 55 minutes à distance : lancement en classe virtuelle ou par message sur l'ENT, recherche du problème (calculatrice, tableur, GeoGebra ou Python dans le navigateur), mise en commun, cours et trace écrite. Les élèves renvoient la fiche à trous et leur production par l'ENT ou en photo.

Séance 1 · Le cercle trigonométrique et le radian

65 min

Séance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.

Problématique de la séance

Comment mesurer un angle avec une longueur ?

Déroulé minuté à distance

10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
12 min → Travail autonome : Activité 1 (Chercher) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
18 min → Travail autonome : Activité 2 (S'entraîner) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Communiquer) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.

Le cours développé (récit du professeur) · Radian et enroulement

Le cercle trigonométrique a pour centre O, pour rayon 1, et il est orienté dans le sens direct (sens contraire des aiguilles d'une montre). Sa longueur vaut 2π. On enroule la droite des réels sur le cercle à partir du point I(1 ; 0) : à chaque réel x correspond un point M, image de x. L'arc IM a pour longueur |x|. Le radian est l'angle qui intercepte un arc de longueur 1 : π rad = 180°. Deux réels qui diffèrent d'un multiple de 2π ont la même image : x et x + 2kπ. Sur un cercle de rayon R, un angle de x radians intercepte un arc de longueur Rx.

Document 1 · La valve du vélo

Situation-problème.

La roue d'un vélo a un rayon de 35 cm. On repère la position de la valve par l'angle de rotation de la roue. Après un tour complet, le vélo a avancé d'une longueur égale au périmètre de la roue.

Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).

Activité 1 · Chercher

12 min

Essentiel

Supports : Document 1

Consigne :

Calculez.

Distance parcourue par le vélo pour un tour ? Pour un angle de 1 radian ?
✔ Corrigé :
2π × 35 ≈ 220 cm ; 35 cm.
Convertissez 90°, 45°, 30° en radians.
✔ Corrigé :
π/2 ; π/4 ; π/6.
Quel angle en radians pour avancer de 1 m ?
✔ Corrigé :
100/35 ≈ 2,86 rad.

Critère de réussite	Points
Résultats justes et justifiés	6
Total de l'activité	6

Activité 2 · S'entraîner

18 min

Essentiel

Supports : Cours

Consigne :

Placez sur le cercle.

Images de π/2, π, −π/2, 3π.
✔ Corrigé :
J(0 ; 1) ; (−1 ; 0) ; (0 ; −1) ; même image que π.
Les réels 7π/3 et π/3 ont‑ils la même image ?
✔ Corrigé :
Oui : 7π/3 = π/3 + 2π.
Mesure dans ]−π ; π] de 17π/6.
✔ Corrigé :
17π/6 − 2π = 5π/6.

Critère de réussite	Points
Méthode et résultats	7
Total de l'activité	7

Activité 3 · Communiquer

15 min

Travail à rendre

Supports : Documents et cours

Consigne :

Expliquez à un élève absent (8 lignes) pourquoi on mesure les angles en radians et comment placer l'image de 13π/4 sur le cercle. Pour bien commencer : Le radian est défini… · Pour placer 13π/4, on retire… · Le point obtenu est…

✔ Corrigé rédigé :

Définition par la longueur d'arc ; π rad = 180° ; 13π/4 − 2π = 5π/4 ; placement dans le troisième quadrant (diagonale) ; clarté.

Critère de réussite	Points
Raisonnement	5
Rédaction	2
Total de l'activité	7

Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)

Le cercle trigonométrique a pour rayon 1. π radians valent 180 degrés. Les réels x et x + 2π ont la même image. Sur un cercle de rayon R, un angle de x radians intercepte un arc de longueur Rx.

Barème récapitulatif des activités notées

Activité	Points
Activité 1 · Chercher	6
Activité 2 · S'entraîner	7
Activité 3 · Communiquer	7
Total	20 / 20

Séance 2 · Cosinus, sinus et angles associés

65 min

Séance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.

Problématique de la séance

Comment calculer la hauteur d'une nacelle ?

Déroulé minuté à distance

10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
12 min → Travail autonome : Activité 1 (Chercher) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
18 min → Travail autonome : Activité 2 (S'entraîner) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Démontrer) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.

Le cours développé (récit du professeur) · Cosinus et sinus d'un réel

Si M est l'image du réel x, cos x est l'abscisse et sin x l'ordonnée de M. Donc −1 ≤ cos x ≤ 1, −1 ≤ sin x ≤ 1 et, par Pythagore, cos² x + sin² x = 1. Pour 0 < x < π/2, on retrouve le cosinus et le sinus du triangle rectangle. Valeurs remarquables : cos 0 = 1, cos(π/6) = √3/2, cos(π/4) = √2/2, cos(π/3) = 1/2, cos(π/2) = 0 (et les sinus dans l'ordre inverse). Angles associés, par symétries : cos(−x) = cos x, sin(−x) = −sin x ; cos(π − x) = −cos x, sin(π − x) = sin x ; cos(π + x) = −cos x, sin(π + x) = −sin x.

Document 1 · La grande roue

Situation-problème.

Une grande roue de 20 m de rayon a son axe à 22 m du sol. On repère une nacelle par le réel x (en radians) dont on a tourné depuis la position à hauteur de l'axe, côté est, en tournant dans le sens direct.

Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).

Activité 1 · Chercher

12 min

Essentiel

Supports : Document 1

Consigne :

Modélisez.

Coordonnées de la nacelle dans un repère centré sur l'axe (unité : m) ?
✔ Corrigé :
(20 cos x ; 20 sin x).
Hauteur au‑dessus du sol ?
✔ Corrigé :
h(x) = 22 + 20 sin x.
Hauteur pour x = π/6 et x = 3π/2 ?
✔ Corrigé :
32 m ; 2 m (point le plus bas).

Critère de réussite	Points
Résultats justes et justifiés	6
Total de l'activité	6

Activité 2 · S'entraîner

18 min

Essentiel

Supports : Cours

Consigne :

Calculez sans calculatrice.

cos(2π/3) et sin(2π/3).
✔ Corrigé :
−1/2 et √3/2.
cos(5π/4) et sin(5π/4).
✔ Corrigé :
−√2/2 et −√2/2.
Sachant sin x = 0,6 et 0 < x < π/2, calculez cos x.
✔ Corrigé :
cos² x = 0,64, cos x = 0,8.

Critère de réussite	Points
Méthode et résultats	7
Total de l'activité	7

Activité 3 · Démontrer

15 min

Travail à rendre

Supports : Documents et cours

Consigne :

Démontrez à l'aide d'une figure que cos(π − x) = −cos x et sin(π − x) = sin x, puis calculez la hauteur de la nacelle pour x = 5π/6. Rédigez en 8 lignes. Pour bien commencer : Les images de x et π − x sont symétriques par rapport à… · Leurs abscisses sont donc… · Pour x = 5π/6, …

✔ Corrigé rédigé :

Symétrie par rapport à l'axe des ordonnées ; abscisses opposées, ordonnées égales ; sin(5π/6) = 1/2, h = 32 m ; figure soignée.

Critère de réussite	Points
Raisonnement	5
Rédaction	2
Total de l'activité	7

Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)

cos x est l'abscisse du point image de x, sin x son ordonnée. cos² x + sin² x = 1. cos(π − x) = −cos x.

Barème récapitulatif des activités notées

Activité	Points
Activité 1 · Chercher	6
Activité 2 · S'entraîner	7
Activité 3 · Démontrer	7
Total	20 / 20

Fiche à trous · corrigé

Un angle de π radians correspond à 180 degrés.

Sur le cercle trigonométrique, l'abscisse du point image de x est cos x.

Pour tout réel x, cos² x + sin² x = 1.

cos(−x) = cos x et sin(−x) = −sin x.

La version élève contient la même fiche avec une banque de mots (papier ou ENT).

Évaluation de fin de séquence (/20) · barème et corrigé

Évaluation sur 20 à faire en temps limité sur l'ENT ou sur papier, puis à renvoyer en photo ; le corrigé et le barème servent aussi à l'autoévaluation. En Bac Pro, elle est construite comme une situation de contrôle en cours de formation (problème contextualisé, compétences évaluées) ; en 1re générale, elle prépare à l'épreuve anticipée (automatismes sans calculatrice et exercices) ; en Terminale générale, aux exercices indépendants de l'épreuve de spécialité.

N°	Question	Barème	Corrigé et critères
1	Convertissez : 60° en radians ; 3π/4 en degrés. Donnez cos(π/3), sin(π/6), cos(π), sin(3π/2).	4 pts	π/3 ; 135° ; 1/2 ; 1/2 ; −1 ; −1. Les conversions comptent un point chacune, les valeurs un demi‑point.
2	Placez sur le cercle les images de π/6, 5π/6, −π/6 et 7π/6. Déduisez‑en leurs cosinus et sinus à partir de cos(π/6) = √3/2 et sin(π/6) = 1/2.	8 pts	5π/6 = π − π/6 : (−√3/2 ; 1/2) ; −π/6 : (√3/2 ; −1/2) ; 7π/6 = π + π/6 : (−√3/2 ; −1/2). Placement (4 pts), coordonnées par symétries (4 pts).
3	Une grande roue de rayon 20 m a son centre à 22 m du sol. Une nacelle part du point le plus à l'est du cercle (même hauteur que le centre) et tourne dans le sens direct. Exprimez sa hauteur h en fonction de l'angle x parcouru (en radians), puis calculez h pour x = π/2, π/6 et π. Pour bien commencer : Dans un repère centré sur l'axe de la roue, … · La hauteur s'obtient en ajoutant… · Ainsi, après un quart de tour, …	8 pts	h(x) = 22 + 20 sin x ; h(π/2) = 42 m ; h(π/6) = 32 m ; h(π) = 22 m. Modélisation (4 pts), calculs (3 pts), phrase de conclusion (1 pt).
Total		20 pts

Pistes pour un rythme de travail différent

Laisser deux jours de plus aux élèves qui ont peu de connexion et accepter un rendu sur papier photographié.
Proposer la fiche à trous, un énoncé découpé en petites questions et une vidéo de correction pas à pas.
Pour les élèves rapides : une démonstration, un programme Python à écrire ou un problème ouvert à présenter à l'oral.
Automatismes sans calculatrice : valeurs remarquables de cos et sin, conversions degrés et radians.
Pour aller plus loin : programmer la méthode d'Archimède (polygones à 6, 12, 24, 48, 96 côtés).