Repères pour le professeur
Objectifs et capacités
Objectifs
- Utiliser un arbre pondéré et la formule des probabilités totales
- Définir et justifier l'indépendance de deux évènements ; distinguer modèle et réalité
- Représenter la répétition de n ≤ 4 épreuves de Bernoulli indépendantes ; estimer par la méthode de Monte‑Carlo
Capacités travaillées (BO)
- Chercher, expérimenter (outils numériques)
- Modéliser une situation
- Représenter, changer de registre
- Raisonner, démontrer
- Calculer, mettre en oeuvre un algorithme
- Communiquer un résultat, expliquer une démarche
Notions et définitions
Repères historiques
- Correspondance de Pascal et Fermat (1654)
- Thomas Bayes, *An Essay towards solving a Problem in the Doctrine of Chances* (1763)
- Méthode de Monte‑Carlo, Ulam et von Neumann (1946‑1949)
Ressources de la séquence
Ancrage dans le programme, notions, repères, débats, bibliographie et différenciation, communs à toutes les séances.
Ancrage dans le programme officiel
Capacité attendue : « Dans des cas simples, calculer une probabilité à l'aide de la formule des probabilités totales. »
Modèle et réalité : « Comme en seconde, on distingue nettement modèle et réalité. Ainsi, une hypothèse d'indépendance fait partie d'un modèle »
Exemple d'algorithme : « Méthode de Monte-Carlo : estimation de l'aire sous la parabole, estimation du nombre π. »
Compétences : « L'évaluation doit permettre de repérer les acquis des élèves en lien avec les six compétences mathématiques : chercher, modéliser, représenter, raisonner, calculer, communiquer. »
Épreuve anticipée de mathématiques (fin de 1re, note de service du 11 septembre 2026) : écrite, 2 heures, coefficient 2. « Elle entre en vigueur à compter de l'année scolaire 2026-2027, pour les épreuves présentées au titre la session 2028. » « La première partie est notée sur 6 points et la seconde partie est notée sur 14 points. » « L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé pour l'ensemble de l'épreuve. » « La maîtrise de la langue est prise en compte à hauteur de deux points sur vingt » (note de service du 11 septembre 2026 (BO) ; épreuve anticipée de mathématiques (éduscol)).
Notions : définitions rigoureuses
- Partition
- Évènements deux à deux incompatibles dont la réunion est l'univers.
- Probabilités totales
- Si A₁, …, Aₙ forment une partition, P(B) = P(A₁ ∩ B) + … + P(Aₙ ∩ B).
- Indépendance
- A et B sont indépendants si P(A ∩ B) = P(A) P(B), ce qui équivaut à P_B(A) = P(A) quand P(B) ≠ 0.
- Épreuves indépendantes
- Pour une succession d'épreuves indépendantes, la probabilité d'une liste de résultats est le produit des probabilités.
- Épreuve de Bernoulli
- Expérience à deux issues, succès de probabilité p et échec de probabilité 1 − p.
- Monte‑Carlo
- Estimation d'une probabilité ou d'une aire par la fréquence observée sur un grand nombre de tirages simulés.
Repères
| Date | Événement |
|---|---|
| 1654 | Pascal et Fermat échangent sur le problème des partis. |
| 1763 | Publication posthume de l'essai de Bayes sur la probabilité des causes. |
| 1812 | Laplace, Théorie analytique des probabilités. |
| 1946‑1949 | Ulam, von Neumann et Metropolis développent la méthode de Monte‑Carlo. |
Les historiens en débat
Le programme insiste sur la distinction entre modèle et réalité : l'indépendance de deux lancers de dés est une hypothèse, raisonnable si les lancers n'ont pas d'influence l'un sur l'autre. Les probabilités conditionnelles, élaborées par Bayes et Laplace, sont omniprésentes (diagnostics, contrôle qualité) et leur mauvaise utilisation conduit facilement à de fausses affirmations. Synthèse du professeur.
Pour aller plus loin
Sources et bibliographie
- Ian Hacking, L'Émergence de la probabilité, Seuil, 2002.
- Nicolas Gauvrit, Vous avez dit hasard ?, Belin, 2009.
- Jordan Ellenberg, How Not to Be Wrong, Penguin Press, 2014.
Différenciation : un rythme de travail différent
- Pour les élèves qui ont besoin de plus de temps : énoncé découpé en petites questions, rappel de cours en marge, calculatrice ou tableur autorisés pendant l'entraînement, correction pas à pas en vidéo ou en classe virtuelle.
- Pour les élèves qui avancent vite : question d'approfondissement (démonstration, généralisation, programme Python à écrire), problème ouvert à rédiger et à présenter à l'oral.
Déroulé d'ensemble
| Séance | Titre | Durée | Objectif |
|---|---|---|---|
| Séance 1 | Arbres et probabilités totales | 65 min | calculer la probabilité d'un évènement réalisé de plusieurs façons |
| Séance 2 | Indépendance et épreuves répétées | 65 min | justifier l'indépendance et calculer sur la répétition d'épreuves |
| Évaluation | Évaluation de fin de séquence (/20) | 55 min | Vérifier les acquis : connaissances, capacités, rédaction |
Chaque séance dure environ 55 minutes à distance : lancement en classe virtuelle ou par message sur l'ENT, recherche du problème (calculatrice, tableur, GeoGebra ou Python dans le navigateur), mise en commun, cours et trace écrite. Les élèves renvoient la fiche à trous et leur production par l'ENT ou en photo.
Séance 1 · Arbres et probabilités totales
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.
Problématique de la séance
Quelle proportion de pièces défectueuses sort de l'usine ?
Déroulé minuté à distance
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
- 12 min → Travail autonome : Activité 1 (Chercher) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 18 min → Travail autonome : Activité 2 (S'entraîner) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Communiquer) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
- 10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.
Le cours développé (récit du professeur) · Formule des probabilités totales
Sur un arbre pondéré, la somme des probabilités issues d'un même noeud vaut 1, les branches du second niveau portent des probabilités conditionnelles, et la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités de ses branches : P(A ∩ B) = P(A) × P_A(B). Si A₁, A₂, …, Aₙ forment une partition de l'univers (évènements incompatibles qui recouvrent tout), alors P(B) = P(A₁ ∩ B) + … + P(Aₙ ∩ B) : on additionne les chemins qui mènent à B. Ensuite, P_B(A₁) = P(A₁ ∩ B)/P(B) permet de « remonter » l'arbre, sans confondre P_A(B) et P_B(A).
Document 1 · Le contrôle qualité
Situation-problème.
Une entreprise assemble des trottinettes avec des freins venant de deux fournisseurs : 70 % du fournisseur F₁, dont 3 % défectueux, et 30 % du fournisseur F₂, dont 8 % défectueux.
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · Chercher
12 minSupports : Document 1
Construisez l'arbre.
- Probabilités des branches du premier niveau, puis du second ?✔ Corrigé :
0,7 et 0,3 ; puis 0,03 et 0,97 sous F₁, 0,08 et 0,92 sous F₂.
- P(F₁ ∩ D) et P(F₂ ∩ D) ?✔ Corrigé :
0,021 et 0,024.
- P(D) ?✔ Corrigé :
0,045, soit 4,5 %.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Résultats justes et justifiés | 6 |
| Total de l'activité | 6 |
Activité 2 · S'entraîner
18 minSupports : Cours
Exploitez l'arbre.
- Probabilité qu'un frein défectueux vienne de F₂ ?✔ Corrigé :
0,024/0,045 ≈ 0,53.
- Pourquoi est‑ce plus que 30 % ?✔ Corrigé :
F₂ a un taux de défauts beaucoup plus élevé.
- Probabilité qu'un frein soit bon ?✔ Corrigé :
1 − 0,045 = 0,955.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Méthode et résultats | 7 |
| Total de l'activité | 7 |
Activité 3 · Communiquer
15 minSupports : Documents et cours
Rédigez une note au responsable des achats (8 lignes) : faut‑il changer de fournisseur F₂ ? Justifiez avec les probabilités calculées. Pour bien commencer : Le taux global de défauts est… · Parmi les freins défectueux, … · Je recommande…
P(D) = 4,5 % ; P_D(F₂) ≈ 53 % alors que F₂ fournit 30 % ; recommandation argumentée ; distinction des deux probabilités conditionnelles.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Raisonnement | 5 |
| Rédaction | 2 |
| Total de l'activité | 7 |
Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)
La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités des branches. Pour une partition, on additionne les probabilités des chemins qui mènent à B. Il ne faut pas confondre P_A(B) et P_B(A).
Barème récapitulatif des activités notées
| Activité | Points |
|---|---|
| Activité 1 · Chercher | 6 |
| Activité 2 · S'entraîner | 7 |
| Activité 3 · Communiquer | 7 |
| Total | 20 / 20 |
Séance 2 · Indépendance et épreuves répétées
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.
Problématique de la séance
Répondre au hasard à un QCM : quelles chances ?
Déroulé minuté à distance
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
- 12 min → Travail autonome : Activité 1 (Chercher) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 18 min → Travail autonome : Activité 2 (S'entraîner) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Programmer) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
- 10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.
Le cours développé (récit du professeur) · Indépendance
Deux évènements A et B (de probabilités non nulles) sont indépendants si P(A ∩ B) = P(A) × P(B), ce qui équivaut à P_B(A) = P(A) : savoir que B est réalisé ne change pas la probabilité de A. Attention : indépendants ne veut pas dire incompatibles. L'indépendance est une hypothèse du modèle : pour deux lancers successifs d'un dé, on la justifie par l'absence d'influence d'un lancer sur l'autre. Pour une succession d'épreuves indépendantes, on multiplie les probabilités le long d'un chemin. La répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes se représente par un arbre à 2ⁿ chemins (ici n ≤ 4).
Document 1 · Le QCM
Situation-problème.
Un QCM d'entraînement comporte 4 questions, chacune avec 4 propositions dont une seule est juste. On étudie le cas d'un candidat qui répondrait entièrement au hasard.
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · Chercher
12 minSupports : Document 1
Modélisez.
- Pourquoi peut‑on supposer les réponses indépendantes ?✔ Corrigé :
Chaque choix au hasard ne dépend pas des précédents.
- Probabilité de tout réussir ?✔ Corrigé :
(1/4)⁴ = 1/256.
- Probabilité de tout rater ?✔ Corrigé :
(3/4)⁴ = 81/256 ≈ 0,32.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Résultats justes et justifiés | 6 |
| Total de l'activité | 6 |
Activité 2 · S'entraîner
18 minSupports : Cours
Calculez.
- Au moins une bonne réponse ?✔ Corrigé :
1 − 81/256 = 175/256 ≈ 0,68.
- Exactement une bonne réponse ?✔ Corrigé :
4 chemins de probabilité (1/4)(3/4)³ : 108/256 ≈ 0,42.
- A et B incompatibles de probabilités non nulles peuvent‑ils être indépendants ?✔ Corrigé :
Non : P(A ∩ B) = 0 ≠ P(A)P(B).
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Méthode et résultats | 7 |
| Total de l'activité | 7 |
Activité 3 · Programmer
15 minSupports : Documents et cours
Écrivez une fonction Python qui simule le QCM répondu au hasard et renvoie le nombre de bonnes réponses, puis répétez‑la 10 000 fois pour estimer la probabilité d'au moins deux bonnes réponses. Comparez avec le calcul (67/256 ≈ 0,26). Pour bien commencer : La fonction tire pour chaque question… · Sur 10 000 simulations, la fréquence… · Elle est proche du calcul car…
Usage de random ; boucle sur 4 questions ; compteur ; fréquence voisine de 0,26 ; référence à la loi des grands nombres ; distinction fréquence observée et probabilité.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Raisonnement | 5 |
| Rédaction | 2 |
| Total de l'activité | 7 |
Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)
A et B sont indépendants si P(A ∩ B) = P(A) × P(B). Indépendants ne signifie pas incompatibles. Pour des épreuves indépendantes, on multiplie les probabilités le long d'un chemin. L'indépendance est une hypothèse du modèle.
Barème récapitulatif des activités notées
| Activité | Points |
|---|---|
| Activité 1 · Chercher | 6 |
| Activité 2 · S'entraîner | 7 |
| Activité 3 · Programmer | 7 |
| Total | 20 / 20 |
Fiche à trous · corrigé
Si A₁, A₂ forment une partition de l'univers, P(B) = P(A₁ ∩ B) + P(A₂ ∩ B).
Sur un arbre, la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités de ses branches.
A et B sont indépendants si P(A ∩ B) = P(A) × P(B).
L'indépendance est une hypothèse du modèle, à justifier par l'analyse de la situation.
La version élève contient la même fiche avec une banque de mots (papier ou ENT).
Évaluation de fin de séquence (/20) · barème et corrigé
Évaluation sur 20 à faire en temps limité sur l'ENT ou sur papier, puis à renvoyer en photo ; le corrigé et le barème servent aussi à l'autoévaluation. En Bac Pro, elle est construite comme une situation de contrôle en cours de formation (problème contextualisé, compétences évaluées) ; en 1re générale, elle prépare à l'épreuve anticipée (automatismes sans calculatrice et exercices) ; en Terminale générale, aux exercices indépendants de l'épreuve de spécialité.
| N° | Question | Barème | Corrigé et critères |
|---|---|---|---|
| 1 | On lance un dé équilibré. A : « obtenir un nombre pair », B : « obtenir au plus 4 ». A et B sont‑ils indépendants ? Même question avec C : « obtenir au plus 3 ». | 4 pts | P(A) = 1/2, P(B) = 2/3, P(A ∩ B) = P({2 ; 4}) = 1/3 = 1/2 × 2/3 : indépendants. P(C) = 1/2, P(A ∩ C) = P({2}) = 1/6 ≠ 1/4 : non indépendants. Deux points par cas. |
| 2 | Une usine a deux machines : M₁ produit 60 % des pièces avec 2 % de défauts, M₂ 40 % avec 5 % de défauts. Construisez l'arbre, calculez la probabilité qu'une pièce soit défectueuse, puis celle qu'elle vienne de M₂ sachant qu'elle est défectueuse. | 8 pts | P(D) = 0,6 × 0,02 + 0,4 × 0,05 = 0,012 + 0,02 = 0,032. P_D(M₂) = 0,02/0,032 = 0,625. Arbre (2 pts), probabilités totales (3 pts), probabilité conditionnelle (3 pts). |
| 3 | Un QCM comporte 3 questions à 4 réponses dont une seule juste. Un élève répond au hasard. Justifiez l'hypothèse d'indépendance, construisez l'arbre et calculez la probabilité d'avoir au moins une bonne réponse, puis exactement deux. Pour bien commencer : *Le modèle suppose que…* · *L'évènement contraire de « au moins une » est…* · *Pour exactement deux, je compte les chemins…* | 8 pts | Réponses données au hasard, sans lien entre elles : modèle d'épreuves indépendantes. P(aucune) = (3/4)³ = 27/64, donc P(au moins une) = 37/64 ≈ 0,58. Exactement deux : 3 chemins de probabilité (1/4)² × 3/4, soit 9/64. Justification (2 pts), arbre (2 pts), calculs (4 pts). |
| Total | 20 pts | ||
Pistes pour un rythme de travail différent
- Laisser deux jours de plus aux élèves qui ont peu de connexion et accepter un rendu sur papier photographié.
- Proposer la fiche à trous, un énoncé découpé en petites questions et une vidéo de correction pas à pas.
- Pour les élèves rapides : une démonstration, un programme Python à écrire ou un problème ouvert à présenter à l'oral.
- Automatismes sans calculatrice : produits et sommes de fractions, probabilité de l'évènement contraire.
- Pour aller plus loin : estimer π par la méthode de Monte‑Carlo avec 10 000 points en Python.