Version élève → Mathématiques · Lycée général · 1re · Première

Séquence 9 · Variables aléatoires : loi, espérance, écart type et simulation

Un jeu est‑il équitable ? Comment résumer par deux nombres le gain moyen et le risque d'une situation aléatoire ?

Bonjour !

Dans cette séquence de mathématiques, tu vas chercher à répondre à la grande question écrite en haut de la page. Elle se fait en 2 séances. Pour chaque séance : lis la consigne, étudie les documents, réponds aux questions sur ta feuille ou sur l'ENT, puis recopie l'essentiel dans ton cahier. Tu peux imprimer cette page avec le bouton « Imprimer ».

À la fin, je serai capable de :

Les mots importants

variable aléatoire réelle, loi de probabiliténotations {X = a}, P(X ≤ a)espérance E(X), jeu équitablevariance, écart type, formule de König‑Huygensmoyenne d'un échantillon simulé

Ressources de la séquence

Les notions, les repères et les pistes pour aller plus loin, utiles pour toutes les séances.

Les notions à maîtriser

Variable aléatoire
Fonction qui associe un nombre réel à chaque issue d'une expérience aléatoire.
Loi de probabilité
Tableau des valeurs xᵢ et des probabilités pᵢ = P(X = xᵢ), de somme 1.
Espérance
E(X) = Σ xᵢpᵢ : moyenne des valeurs pondérée par les probabilités.
Variance et écart type
V(X) = Σ pᵢ(xᵢ − E(X))² = E(X²) − E(X)² (König‑Huygens) ; σ(X) = √V(X).
Linéarité
E(aX + b) = aE(X) + b et V(aX + b) = a²V(X).
Simulation
La moyenne d'un grand échantillon simulé est en général proche de l'espérance.

Repères

DateÉvénement
1657Huygens définit la « valeur de l'espérance » d'un jeu.
1713Publication de l'Ars conjectandi de Jacques Bernoulli et de la loi des grands nombres.
1812Laplace, Théorie analytique des probabilités.
1933Kolmogorov axiomatise les probabilités : une variable aléatoire est une fonction sur l'univers.

Pour aller plus loin

Sources et bibliographie

Mon parcours : je choisis mon rythme

Séance 1 · Loi et espérance

65 min

Séance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes avec coups de pouce.

La question du jour

Ce jeu de kermesse est‑il équitable ?

Mon plan de travail

Le cours à lire · Variable aléatoire et espérance

Une variable aléatoire X associe un nombre réel à chaque issue d'une expérience. Sa loi donne les valeurs xᵢ et les probabilités pᵢ = P(X = xᵢ), dont la somme vaut 1. On note {X = a}, {X ≤ a} les évènements correspondants. L'espérance E(X) = x₁p₁ + x₂p₂ + … + xₙpₙ est la moyenne des valeurs pondérée par les probabilités : c'est la valeur moyenne obtenue « à long terme » en répétant l'expérience. Un jeu est équitable si l'espérance du gain net (gain moins mise) est nulle. Linéarité : E(aX + b) = aE(X) + b.

Document 1 · La roue de la kermesse

Situation-problème.

À la kermesse du lycée, une roue équilibrée a 10 secteurs identiques : 1 secteur rapporte 15 €, 2 secteurs rapportent 5 €, les autres rien. La partie coûte 2 €. Les bénéfices financent une sortie scolaire.

Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).

Activité 1 · Chercher

12 min
Essentiel

Supports : Document 1

Consigne :

Modélisez.

  1. Valeurs du gain net G ?
  2. Loi de G ?
  3. E(G) ?

Ce qui est attendu (6 pts) : Résultats justes et justifiés

Activité 2 · S'entraîner

18 min
Essentiel

Supports : Cours

Consigne :

Interprétez et ajustez.

  1. Le jeu est‑il favorable au joueur ?
  2. Quel prix rendrait le jeu équitable ?
  3. Si on fixe 3 €, bénéfice moyen pour 200 parties ?

Ce qui est attendu (7 pts) : Méthode et résultats

Activité 3 · Communiquer

15 min
Travail à rendre

Supports : Documents et cours

Consigne :

Rédigez une recommandation au foyer (8 lignes) sur le prix de la partie, en expliquant ce que signifie l'espérance. Pour bien commencer : Le gain net moyen d'un joueur est… · L'espérance signifie que… · Je propose donc un prix de…

Ce qui est attendu (7 pts) : Raisonnement · Rédaction

Trace écrite · document à compléter (papier ou ENT)

Complète la trace écrite avec les mots de la banque, puis recopie-la dans ton cahier.

1bnombrenulle

Une variable aléatoire associe un ______ à chaque issue. La somme des probabilités de la loi vaut ______. Un jeu est équitable si l'espérance du gain net est ______. E(aX + b) = a E(X) + ______.

Séance 2 · Variance, écart type et simulation

65 min

Séance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes avec coups de pouce.

La question du jour

Deux placements de même espérance sont‑ils aussi risqués ?

Mon plan de travail

Le cours à lire · Dispersion d'une variable aléatoire

La variance V(X) = p₁(x₁ − E(X))² + … + pₙ(xₙ − E(X))² mesure la dispersion des valeurs autour de l'espérance ; formule de König‑Huygens : V(X) = E(X²) − E(X)². L'écart type σ(X) = √V(X) s'exprime dans l'unité de X. On a V(aX + b) = a²V(X). Deux variables de même espérance peuvent avoir des écarts types très différents : l'écart type mesure le risque. En Python, on simule X avec random, on calcule la moyenne d'un échantillon de taille n et l'on observe qu'elle s'approche de E(X) quand n est grand, avec des écarts de l'ordre de σ/√n.

Document 1 · Deux stratégies de vente

Situation-problème.

Un commerçant de marché hésite entre deux emplacements. Emplacement A : bénéfice de 100 € avec probabilité 0,5, 60 € avec probabilité 0,5. Emplacement B : bénéfice de 200 € avec probabilité 0,4, 0 € avec probabilité 0,2, 20 € avec probabilité 0,4.

Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).

Activité 1 · Chercher

12 min
Essentiel

Supports : Document 1

Consigne :

Comparez.

  1. E(A) et E(B) ?
  2. V(A) et σ(A) ?
  3. V(B) et σ(B) ?

Ce qui est attendu (6 pts) : Résultats justes et justifiés

Activité 2 · Programmer

18 min
Essentiel

Supports : Cours

Consigne :

Étudiez une fonction Python qui simule B : on tire un nombre au hasard entre 0 et 1 ; en dessous de 0,4 le bénéfice vaut 200, entre 0,4 et 0,6 il vaut 0, au‑delà 20.

  1. Pourquoi ces seuils ?
  2. Que renvoie la moyenne de 1 000 simulations ?
  3. Pourquoi deux exécutions donnent‑elles des moyennes différentes ?

Ce qui est attendu (7 pts) : Méthode et résultats

Activité 3 · Communiquer

15 min
Travail à rendre

Supports : Documents et cours

Consigne :

Conseillez le commerçant (8 lignes) : quel emplacement choisir s'il veut un bénéfice régulier, ou s'il cherche le meilleur bénéfice moyen ? Utilisez espérance et écart type. Pour bien commencer : En moyenne, l'emplacement… rapporte… · Cependant, l'écart type montre que… · Je conseille donc…

Ce qui est attendu (7 pts) : Raisonnement · Rédaction

Trace écrite · document à compléter (papier ou ENT)

Complète la trace écrite avec les mots de la banque, puis recopie-la dans ton cahier.

dispersionE(X)²espéranceunité

La variance mesure la __________ autour de l'espérance. König‑Huygens : V(X) = E(X²) − ______. L'écart type s'exprime dans la même ______ que X. La moyenne d'un grand échantillon simulé est proche de l'_________.

Fiche à trous · je complète

Complète le texte avec les mots de la banque (sur papier ou dans le document de l'ENT).

nombre réelnullevariancexₙpₙ

Une variable aléatoire associe un ___________ à chaque issue.

L'espérance est E(X) = x₁p₁ + … + ______.

Un jeu est équitable si l'espérance du gain est ______.

L'écart type est la racine carrée de la ________.

Ce que j'ai appris

Les 3 idées que je retiens :
Une méthode ou une formule que je veux retenir :
Ce qui reste difficile pour moi / ma question pour le professeur :