Repères pour le professeur
Objectifs et capacités
Objectifs
- Modéliser une situation par une variable aléatoire et déterminer sa loi
- Calculer espérance, variance et écart type ; utiliser la linéarité de l'espérance
- Simuler une variable aléatoire en Python et comparer moyenne observée et espérance
Capacités travaillées (BO)
- Chercher, expérimenter (outils numériques)
- Modéliser une situation
- Représenter, changer de registre
- Raisonner, démontrer
- Calculer, mettre en oeuvre un algorithme
- Communiquer un résultat, expliquer une démarche
Notions et définitions
Repères historiques
- Huygens, *De ratiociniis in ludo aleae* (1657) : l'espérance
- Jacques Bernoulli, *Ars conjectandi* (1713)
- Kolmogorov, *Fondements de la théorie des probabilités* (1933)
Ressources de la séquence
Ancrage dans le programme, notions, repères, débats, bibliographie et différenciation, communs à toutes les séances.
Ancrage dans le programme officiel
Capacité attendue : « Modéliser une situation à l'aide d'une variable aléatoire. »
Résolution de problème : « Utiliser la notion d'espérance dans une résolution de problème (mise pour un jeu équitable, etc.). »
Expérimentations : « Simuler une variable aléatoire avec Python ou un tableur. »
Compétences : « L'évaluation doit permettre de repérer les acquis des élèves en lien avec les six compétences mathématiques : chercher, modéliser, représenter, raisonner, calculer, communiquer. »
Épreuve anticipée de mathématiques (fin de 1re, note de service du 11 septembre 2026) : écrite, 2 heures, coefficient 2. « Elle entre en vigueur à compter de l'année scolaire 2026-2027, pour les épreuves présentées au titre la session 2028. » « La première partie est notée sur 6 points et la seconde partie est notée sur 14 points. » « L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé pour l'ensemble de l'épreuve. » « La maîtrise de la langue est prise en compte à hauteur de deux points sur vingt » (note de service du 11 septembre 2026 (BO) ; épreuve anticipée de mathématiques (éduscol)).
Notions : définitions rigoureuses
- Variable aléatoire
- Fonction qui associe un nombre réel à chaque issue d'une expérience aléatoire.
- Loi de probabilité
- Tableau des valeurs xᵢ et des probabilités pᵢ = P(X = xᵢ), de somme 1.
- Espérance
- E(X) = Σ xᵢpᵢ : moyenne des valeurs pondérée par les probabilités.
- Variance et écart type
- V(X) = Σ pᵢ(xᵢ − E(X))² = E(X²) − E(X)² (König‑Huygens) ; σ(X) = √V(X).
- Linéarité
- E(aX + b) = aE(X) + b et V(aX + b) = a²V(X).
- Simulation
- La moyenne d'un grand échantillon simulé est en général proche de l'espérance.
Repères
| Date | Événement |
|---|---|
| 1657 | Huygens définit la « valeur de l'espérance » d'un jeu. |
| 1713 | Publication de l'Ars conjectandi de Jacques Bernoulli et de la loi des grands nombres. |
| 1812 | Laplace, Théorie analytique des probabilités. |
| 1933 | Kolmogorov axiomatise les probabilités : une variable aléatoire est une fonction sur l'univers. |
Les historiens en débat
L'espérance est née des questions de jeux et d'assurances au XVIIe siècle : quelle mise est juste ? Il a fallu attendre les années 1930 pour que la variable aléatoire soit définie précisément comme une fonction sur l'univers. Le programme articule ce modèle avec la statistique : la moyenne observée sur un échantillon simulé approche l'espérance. Synthèse du professeur.
Pour aller plus loin
Sources et bibliographie
- Ian Hacking, L'Émergence de la probabilité, Seuil, 2002.
- David Salsburg, The Lady Tasting Tea, W. H. Freeman, 2001.
- Nicolas Gauvrit, Vous avez dit hasard ?, Belin, 2009.
Différenciation : un rythme de travail différent
- Pour les élèves qui ont besoin de plus de temps : énoncé découpé en petites questions, rappel de cours en marge, calculatrice ou tableur autorisés pendant l'entraînement, correction pas à pas en vidéo ou en classe virtuelle.
- Pour les élèves qui avancent vite : question d'approfondissement (démonstration, généralisation, programme Python à écrire), problème ouvert à rédiger et à présenter à l'oral.
Déroulé d'ensemble
| Séance | Titre | Durée | Objectif |
|---|---|---|---|
| Séance 1 | Loi et espérance | 65 min | modéliser un jeu par une variable aléatoire et décider s'il est équitable |
| Séance 2 | Variance, écart type et simulation | 65 min | mesurer la dispersion et simuler en Python |
| Évaluation | Évaluation de fin de séquence (/20) | 55 min | Vérifier les acquis : connaissances, capacités, rédaction |
Chaque séance dure environ 55 minutes à distance : lancement en classe virtuelle ou par message sur l'ENT, recherche du problème (calculatrice, tableur, GeoGebra ou Python dans le navigateur), mise en commun, cours et trace écrite. Les élèves renvoient la fiche à trous et leur production par l'ENT ou en photo.
Séance 1 · Loi et espérance
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.
Problématique de la séance
Ce jeu de kermesse est‑il équitable ?
Déroulé minuté à distance
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
- 12 min → Travail autonome : Activité 1 (Chercher) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 18 min → Travail autonome : Activité 2 (S'entraîner) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Communiquer) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
- 10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.
Le cours développé (récit du professeur) · Variable aléatoire et espérance
Une variable aléatoire X associe un nombre réel à chaque issue d'une expérience. Sa loi donne les valeurs xᵢ et les probabilités pᵢ = P(X = xᵢ), dont la somme vaut 1. On note {X = a}, {X ≤ a} les évènements correspondants. L'espérance E(X) = x₁p₁ + x₂p₂ + … + xₙpₙ est la moyenne des valeurs pondérée par les probabilités : c'est la valeur moyenne obtenue « à long terme » en répétant l'expérience. Un jeu est équitable si l'espérance du gain net (gain moins mise) est nulle. Linéarité : E(aX + b) = aE(X) + b.
Document 1 · La roue de la kermesse
Situation-problème.
À la kermesse du lycée, une roue équilibrée a 10 secteurs identiques : 1 secteur rapporte 15 €, 2 secteurs rapportent 5 €, les autres rien. La partie coûte 2 €. Les bénéfices financent une sortie scolaire.
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · Chercher
12 minSupports : Document 1
Modélisez.
- Valeurs du gain net G ?✔ Corrigé :
13 € ; 3 € ; −2 €.
- Loi de G ?✔ Corrigé :
P(G = 13) = 0,1 ; P(G = 3) = 0,2 ; P(G = −2) = 0,7.
- E(G) ?✔ Corrigé :
1,3 + 0,6 − 1,4 = 0,5 €.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Résultats justes et justifiés | 6 |
| Total de l'activité | 6 |
Activité 2 · S'entraîner
18 minSupports : Cours
Interprétez et ajustez.
- Le jeu est‑il favorable au joueur ?✔ Corrigé :
Oui : en moyenne il gagne 0,50 € par partie, l'association perd.
- Quel prix rendrait le jeu équitable ?✔ Corrigé :
Gain brut moyen 1,5 + 1 = 2,5 € : prix 2,50 €.
- Si on fixe 3 €, bénéfice moyen pour 200 parties ?✔ Corrigé :
E(G) = 2,5 − 3 = −0,5 par joueur, soit 100 € pour l'association.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Méthode et résultats | 7 |
| Total de l'activité | 7 |
Activité 3 · Communiquer
15 minSupports : Documents et cours
Rédigez une recommandation au foyer (8 lignes) sur le prix de la partie, en expliquant ce que signifie l'espérance. Pour bien commencer : Le gain net moyen d'un joueur est… · L'espérance signifie que… · Je propose donc un prix de…
Loi juste ; espérance et interprétation sur un grand nombre de parties ; prix équitable 2,50 € ; proposition d'un prix supérieur pour financer la sortie ; rédaction.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Raisonnement | 5 |
| Rédaction | 2 |
| Total de l'activité | 7 |
Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)
Une variable aléatoire associe un nombre à chaque issue. La somme des probabilités de la loi vaut 1. Un jeu est équitable si l'espérance du gain net est nulle. E(aX + b) = a E(X) + b.
Barème récapitulatif des activités notées
| Activité | Points |
|---|---|
| Activité 1 · Chercher | 6 |
| Activité 2 · S'entraîner | 7 |
| Activité 3 · Communiquer | 7 |
| Total | 20 / 20 |
Séance 2 · Variance, écart type et simulation
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.
Problématique de la séance
Deux placements de même espérance sont‑ils aussi risqués ?
Déroulé minuté à distance
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
- 12 min → Travail autonome : Activité 1 (Chercher) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 18 min → Travail autonome : Activité 2 (Programmer) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Communiquer) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
- 10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.
Le cours développé (récit du professeur) · Dispersion d'une variable aléatoire
La variance V(X) = p₁(x₁ − E(X))² + … + pₙ(xₙ − E(X))² mesure la dispersion des valeurs autour de l'espérance ; formule de König‑Huygens : V(X) = E(X²) − E(X)². L'écart type σ(X) = √V(X) s'exprime dans l'unité de X. On a V(aX + b) = a²V(X). Deux variables de même espérance peuvent avoir des écarts types très différents : l'écart type mesure le risque. En Python, on simule X avec random, on calcule la moyenne d'un échantillon de taille n et l'on observe qu'elle s'approche de E(X) quand n est grand, avec des écarts de l'ordre de σ/√n.
Document 1 · Deux stratégies de vente
Situation-problème.
Un commerçant de marché hésite entre deux emplacements. Emplacement A : bénéfice de 100 € avec probabilité 0,5, 60 € avec probabilité 0,5. Emplacement B : bénéfice de 200 € avec probabilité 0,4, 0 € avec probabilité 0,2, 20 € avec probabilité 0,4.
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · Chercher
12 minSupports : Document 1
Comparez.
- E(A) et E(B) ?✔ Corrigé :
80 € et 80 + 0 + 8 = 88 €.
- V(A) et σ(A) ?✔ Corrigé :
E(A²) = 6 800 ; V = 6 800 − 6 400 = 400 ; σ = 20 €.
- V(B) et σ(B) ?✔ Corrigé :
E(B²) = 16 000 + 160 = 16 160 ; V = 16 160 − 7 744 = 8 416 ; σ ≈ 91,7 €.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Résultats justes et justifiés | 6 |
| Total de l'activité | 6 |
Activité 2 · Programmer
18 minSupports : Cours
Étudiez une fonction Python qui simule B : on tire un nombre au hasard entre 0 et 1 ; en dessous de 0,4 le bénéfice vaut 200, entre 0,4 et 0,6 il vaut 0, au‑delà 20.
- Pourquoi ces seuils ?✔ Corrigé :
Ils correspondent aux probabilités 0,4 ; 0,2 ; 0,4.
- Que renvoie la moyenne de 1 000 simulations ?✔ Corrigé :
Une valeur proche de 88.
- Pourquoi deux exécutions donnent‑elles des moyennes différentes ?✔ Corrigé :
Fluctuation d'échantillonnage ; l'écart reste de l'ordre de σ/√1 000 ≈ 2,9.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Méthode et résultats | 7 |
| Total de l'activité | 7 |
Activité 3 · Communiquer
15 minSupports : Documents et cours
Conseillez le commerçant (8 lignes) : quel emplacement choisir s'il veut un bénéfice régulier, ou s'il cherche le meilleur bénéfice moyen ? Utilisez espérance et écart type. Pour bien commencer : En moyenne, l'emplacement… rapporte… · Cependant, l'écart type montre que… · Je conseille donc…
Espérances 80 et 88 ; écarts types 20 et ≈ 92 ; arbitrage rendement et risque ; référence à la simulation ; conseil nuancé et argumenté.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Raisonnement | 5 |
| Rédaction | 2 |
| Total de l'activité | 7 |
Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)
La variance mesure la dispersion autour de l'espérance. König‑Huygens : V(X) = E(X²) − E(X)². L'écart type s'exprime dans la même unité que X. La moyenne d'un grand échantillon simulé est proche de l'espérance.
Barème récapitulatif des activités notées
| Activité | Points |
|---|---|
| Activité 1 · Chercher | 6 |
| Activité 2 · Programmer | 7 |
| Activité 3 · Communiquer | 7 |
| Total | 20 / 20 |
Fiche à trous · corrigé
Une variable aléatoire associe un nombre réel à chaque issue.
L'espérance est E(X) = x₁p₁ + … + xₙpₙ.
Un jeu est équitable si l'espérance du gain est nulle.
L'écart type est la racine carrée de la variance.
La version élève contient la même fiche avec une banque de mots (papier ou ENT).
Évaluation de fin de séquence (/20) · barème et corrigé
Évaluation sur 20 à faire en temps limité sur l'ENT ou sur papier, puis à renvoyer en photo ; le corrigé et le barème servent aussi à l'autoévaluation. En Bac Pro, elle est construite comme une situation de contrôle en cours de formation (problème contextualisé, compétences évaluées) ; en 1re générale, elle prépare à l'épreuve anticipée (automatismes sans calculatrice et exercices) ; en Terminale générale, aux exercices indépendants de l'épreuve de spécialité.
| N° | Question | Barème | Corrigé et critères |
|---|---|---|---|
| 1 | X prend les valeurs −2, 0, 3 et 10 avec les probabilités 0,4 ; 0,3 ; 0,2 ; p. Calculez p, P(X ≥ 0) et E(X). | 4 pts | p = 0,1 ; P(X ≥ 0) = 0,6 ; E(X) = −0,8 + 0 + 0,6 + 1 = 0,8. Un point, un point, deux points. |
| 2 | Pour la même variable, calculez la variance avec la formule de König‑Huygens et l'écart type, puis E(2X + 1) et V(2X + 1). | 8 pts | E(X²) = 1,6 + 0 + 1,8 + 10 = 13,4 ; V(X) = 13,4 − 0,64 = 12,76 ; σ ≈ 3,57. E(2X + 1) = 2,6 ; V(2X + 1) = 4 × 12,76 = 51,04. Variance (4 pts), transformations (4 pts). |
| 3 | Une association propose un jeu de grattage à 2 € : 1 ticket sur 50 gagne 40 €, 1 sur 10 gagne 5 €, les autres rien. Définissez le gain net G, sa loi, son espérance. Le jeu est‑il équitable ? Quel prix rendrait le jeu équitable ? Pour bien commencer : *Je note G le gain net…* · *L'espérance vaut…, ce qui signifie…* · *Pour que le jeu soit équitable, …* | 8 pts | G ∈ {38 ; 3 ; −2} avec probabilités 0,02 ; 0,1 ; 0,88. E(G) = 0,76 + 0,3 − 1,76 = −0,7 € : défavorable au joueur. Gain brut moyen 0,8 + 0,5 = 1,3 € : prix équitable 1,30 €. Loi (3 pts), espérance (3 pts), conclusion et prix (2 pts). |
| Total | 20 pts | ||
Pistes pour un rythme de travail différent
- Laisser deux jours de plus aux élèves qui ont peu de connexion et accepter un rendu sur papier photographié.
- Proposer la fiche à trous, un énoncé découpé en petites questions et une vidéo de correction pas à pas.
- Pour les élèves rapides : une démonstration, un programme Python à écrire ou un problème ouvert à présenter à l'oral.
- Automatismes sans calculatrice : sommes de produits décimaux, carrés.
- Pour aller plus loin : étudier la fonction x ↦ E((X − x)²) et montrer qu'elle est minimale en E(X).