Version élève → Mathématiques · Lycée général · 2de · Seconde

Séquence 1 · Information chiffrée : proportions et évolutions

Comment calculer et interpréter correctement un pourcentage, qu'il exprime une proportion ou une évolution ?

Bonjour !

Dans cette séquence de mathématiques, tu vas chercher à répondre à la grande question écrite en haut de la page. Elle se fait en 2 séances. Pour chaque séance : lis la consigne, étudie les documents, réponds aux questions sur ta feuille ou sur l'ENT, puis recopie l'essentiel dans ton cahier. Tu peux imprimer cette page avec le bouton « Imprimer ».

À la fin, je serai capable de :

Les mots importants

effectif, proportion, pourcentagepourcentage de pourcentagevariation absolue, variation relative (taux d'évolution)coefficient multiplicateurévolutions successives, évolution réciproque

Ressources de la séquence

Les notions, les repères et les pistes pour aller plus loin, utiles pour toutes les séances.

Les notions à maîtriser

Proportion
Rapport entre l'effectif d'une sous-population et l'effectif de la population de référence (nombre entre 0 et 1).
Pourcentage de pourcentage
Si A représente p % de B et B représente q % de C, alors A représente p % × q % de C.
Variation absolue
Différence V₂ − V₁ entre la valeur d'arrivée et la valeur de départ.
Taux d'évolution
Variation relative (V₂ − V₁)/V₁, souvent exprimée en pourcentage.
Coefficient multiplicateur
Nombre CM = V₂/V₁ ; une hausse de t % correspond à CM = 1 + t/100, une baisse de t % à CM = 1 − t/100.
Évolution réciproque
Évolution qui ramène à la valeur de départ ; son coefficient est 1/CM.

Repères

DateÉvénement
1202Fibonacci, Liber abaci : arithmétique au service du commerce.
1494Luca Pacioli, Summa de arithmetica : calculs marchands et comptabilité en partie double.
1795Loi instaurant le système métrique décimal en France.
1946Création de l'Insee, qui publie les grands indicateurs (prix, emploi).

Pour aller plus loin

Sources et bibliographie

Mon parcours : je choisis mon rythme

Séance 1 · Proportions et pourcentages de pourcentages

65 min

Séance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes avec coups de pouce.

La question du jour

Quelle part d'une population représente un sous-groupe d'un sous-groupe ?

Mon plan de travail

Le cours à lire · Proportions emboîtées

Une proportion est le quotient de l'effectif d'une partie par l'effectif total : p = n/N. On l'écrit en décimal, en fraction ou en pourcentage. Quand les ensembles sont emboîtés (A inclus dans B, B inclus dans C), la proportion de A dans C est le produit des proportions : p(A dans C) = p(A dans B) × p(B dans C). Exemple : si 40 % des élèves sont internes et 25 % des internes rentrent le mercredi, alors 0,40 × 0,25 = 0,10, soit 10 % des élèves. Attention : on ne peut pas additionner ou comparer des pourcentages qui n'ont pas la même population de référence.

Document 1 · L'internat d'un lycée

Situation-problème.

Un lycée accueille 800 élèves. 40 % d'entre eux sont internes. Parmi les internes, 25 % rentrent chez eux le mercredi après-midi. Le proviseur affirme : « Cela fait 65 % des élèves qui rentrent le mercredi. »

Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).

Activité 1 · Chercher

12 min
Essentiel

Supports : Document 1

Consigne :

Calculez sans calculatrice puis vérifiez.

  1. Combien d'élèves sont internes ?
  2. Combien d'internes rentrent le mercredi ?
  3. Quelle proportion de l'ensemble des élèves cela représente-t-il ?

Ce qui est attendu (6 pts) : Calculs justes et justifiés

Activité 2 · S'entraîner

18 min
Essentiel

Supports : Cours

Consigne :

Résolvez les trois exercices.

  1. Dans une classe, 60 % des élèves ont un vélo et 30 % de ceux-là viennent au lycée à vélo. Proportion de la classe venant à vélo ?
  2. Une sous-population représente 18 % d'une population et 45 % d'un groupe B de cette population. Quelle proportion de la population est dans B ?
  3. Pourquoi l'affirmation du proviseur est-elle fausse ?

Ce qui est attendu (7 pts) : Méthode et résultats

Activité 3 · Communiquer

15 min
Travail à rendre

Supports : Documents et cours

Consigne :

Rédigez une réponse argumentée (8 à 10 lignes) au proviseur, avec les calculs, comme dans une copie d'examen. Pour bien commencer : D'après les données, la proportion est… · Le calcul montre que… · Je conclus donc que…

Ce qui est attendu (7 pts) : Raisonnement rédigé · Qualité de la langue

Trace écrite · document à compléter (papier ou ENT)

Complète la trace écrite avec les mots de la banque, puis recopie-la dans ton cahier.

additionnermultipliantréférence

Une proportion de proportion se calcule en ___________ les proportions. On ne peut pas ___________ des pourcentages qui n'ont pas la même population de _________.

Séance 2 · Évolutions successives et réciproques

65 min

Séance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes avec coups de pouce.

La question du jour

Une hausse de 20 % suivie d'une baisse de 20 % ramène-t-elle au prix de départ ?

Mon plan de travail

Le cours à lire · Le coefficient multiplicateur

Entre une valeur de départ V₁ et une valeur d'arrivée V₂, on distingue la variation absolue V₂ − V₁, la variation relative ou taux d'évolution t = (V₂ − V₁)/V₁ et le coefficient multiplicateur CM = V₂/V₁ = 1 + t. Une hausse de 15 % correspond à CM = 1,15 ; une baisse de 8 % à CM = 0,92. Pour des évolutions successives, on multiplie les coefficients : +20 % puis −20 % donne 1,2 × 0,8 = 0,96, soit une baisse globale de 4 %. Pour l'évolution réciproque, qui ramène à la valeur initiale, on prend l'inverse du coefficient : après une hausse de 25 % (CM = 1,25), il faut multiplier par 1/1,25 = 0,8, soit baisser de 20 %.

Document 1 · Les soldes

Situation-problème.

Un blouson coûte 50 €. Le magasin augmente son prix de 20 % en septembre, puis annonce en janvier : « −20 % sur tout le magasin ! » Un client pense payer 50 €. Par ailleurs, un abonnement passe de 40 € à 46 € par mois.

Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).

Activité 1 · Chercher

12 min
Essentiel

Supports : Document 1

Consigne :

Calculez.

  1. Prix du blouson en septembre, puis en janvier ?
  2. Taux d'évolution global ?
  3. Pour l'abonnement : variation absolue, coefficient, taux ?

Ce qui est attendu (6 pts) : Calculs justes

Activité 2 · S'entraîner

18 min
Essentiel

Supports : Cours

Consigne :

Résolvez sans calculatrice.

  1. Deux hausses successives de 10 % : taux global ?
  2. Après une baisse de 50 %, quelle hausse pour revenir au départ ?
  3. Une action perd 10 % puis gagne 10 %. Gagne-t-on ou perd-on ?

Ce qui est attendu (7 pts) : Méthode et résultats

Activité 3 · Problème

15 min
Travail à rendre

Supports : Documents et cours

Consigne :

Un prix augmente de 5 % chaque année pendant 3 ans. Un journaliste écrit : « Le prix a augmenté de 15 %. » Vérifiez avec la calculatrice et corrigez en 6 à 8 lignes. Pour bien commencer : Une hausse de 5 % correspond à un coefficient de… · Sur 3 ans, le coefficient global est… · Le journaliste aurait dû écrire…

Ce qui est attendu (7 pts) : Résolution · Rédaction

Trace écrite · document à compléter (papier ou ENT)

Complète la trace écrite avec les mots de la banque, puis recopie-la dans ton cahier.

1 + t/100inverseproduit

Augmenter de t % revient à multiplier par _________. Pour des évolutions successives, on fait le _______ des coefficients multiplicateurs. Le coefficient de l'évolution réciproque est l'_______ du coefficient initial.

Fiche à trous · je complète

Complète le texte avec les mots de la banque (sur papier ou dans le document de l'ENT).

1 + t/100inversemultipliantproduit

Une proportion de proportion se calcule en ___________ les proportions.

Augmenter de t % revient à multiplier par le coefficient _________.

Des évolutions successives se traduisent par le _______ des coefficients multiplicateurs.

Le coefficient de l'évolution réciproque est l'_______ du coefficient de départ.

Ce que j'ai appris

Les 3 idées que je retiens :
Une méthode ou une formule que je veux retenir :
Ce qui reste difficile pour moi / ma question pour le professeur :