Bonjour !
Dans cette séquence de mathématiques, tu vas chercher à répondre à la grande question écrite en haut de la page. Elle se fait en 2 séances. Pour chaque séance : lis la consigne, étudie les documents, réponds aux questions sur ta feuille ou sur l'ENT, puis recopie l'essentiel dans ton cahier. Tu peux imprimer cette page avec le bouton « Imprimer ».
À la fin, je serai capable de :
- Utiliser la définition « a est multiple de b s'il existe un entier k tel que a = kb »
- Démontrer des propriétés de parité et de multiples avec le calcul littéral
- Résoudre des problèmes de partage, de calendrier et de fractions irréductibles ; écrire un test de divisibilité en Python
Les mots importants
Ressources de la séquence
Les notions, les repères et les pistes pour aller plus loin, utiles pour toutes les séances.
Les notions à maîtriser
- Multiple, diviseur
- a est multiple de b (et b diviseur de a) s'il existe un entier k tel que a = kb.
- Pair, impair
- Un entier pair s'écrit 2k ; un entier impair s'écrit 2k + 1, avec k entier.
- Nombre premier
- Entier naturel qui a exactement deux diviseurs positifs : 1 et lui‑même (2, 3, 5, 7, 11…).
- Décomposition
- Écriture d'un entier comme produit de nombres premiers, par exemple 84 = 2² × 3 × 7.
- Fraction irréductible
- Fraction dont numérateur et dénominateur n'ont que 1 comme diviseur commun positif.
- Reste
- Dans a = bq + r avec 0 ≤ r < b, r est le reste de la division euclidienne ; a est multiple de b si r = 0 (a % b == 0 en Python).
Repères
| Date | Événement |
|---|---|
| vers 300 av. J.‑C. | Euclide démontre qu'il existe une infinité de nombres premiers. |
| IIIe siècle av. J.‑C. | Ératosthène décrit un crible pour trouver les nombres premiers. |
| 1640 | Fermat énonce son « petit théorème » dans une lettre à Frénicle de Bessy. |
| 1801 | Gauss publie les Disquisitiones arithmeticae, fondement de l'arithmétique moderne. |
Pour aller plus loin
Sources et bibliographie
- Euclide, Les Éléments, traduction de Bernard Vitrac, PUF, 1990‑2001.
- Marcus du Sautoy, La Symphonie des nombres premiers, Héloïse d'Ormesson, 2005.
- Simon Singh, Le Dernier Théorème de Fermat, JC Lattès, 1998.
Mon parcours : je choisis mon rythme
- Pour les élèves qui ont besoin de plus de temps : énoncé découpé en petites questions, rappel de cours en marge, calculatrice ou tableur autorisés pendant l'entraînement, correction pas à pas en vidéo ou en classe virtuelle.
- Pour les élèves qui avancent vite : question d'approfondissement (démonstration, généralisation, programme Python à écrire), problème ouvert à rédiger et à présenter à l'oral.
Séance 1 · Multiples, diviseurs et démonstrations
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes avec coups de pouce.
La question du jour
Comment être sûr qu'une propriété est vraie pour tous les entiers ?
Mon plan de travail
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Je suis le lancement (ou j'écoute la capsule) et je recopie la problématique.
- 12 min → Travail autonome : Je fais l'activité 1 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 18 min → Travail autonome : Je fais l'activité 2 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 15 min → Travail à rendre : Je fais l'activité 3 et je la dépose sur l'ENT (ou j'envoie une photo) dans les trois jours.
- 10 min → Mise en commun : Je corrige avec une autre couleur et je complète la trace écrite.
Le cours à lire · Multiples et parité
Dans ℤ, a est multiple de b (b ≠ 0) s'il existe un entier k tel que a = kb ; on dit aussi que b divise a. Un entier pair s'écrit 2k, un entier impair 2k + 1. Pour démontrer une propriété générale, on ne se contente pas d'exemples : on écrit les nombres avec des lettres. Exemple : si a = 5k et b = 5m, alors a + b = 5(k + m), multiple de 5. Le carré d'un impair : (2k + 1)² = 4k² + 4k + 1 = 2(2k² + 2k) + 1, impair. Un seul contre‑exemple suffit pour prouver qu'une affirmation générale est fausse.
Document 1 · Le défi des nombres
Situation-problème.
Sur un forum, trois affirmations circulent : A « La somme de deux multiples de 5 est un multiple de 5. » B « Le carré d'un nombre impair est impair. » C « Tout nombre de la forme n² + n + 41 est premier » (vérifiée pour n = 0, 1, 2, … 10).
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · Chercher
12 minSupports : Document 1
Testez puis conjecturez.
- Testez A et B sur trois exemples.
- Calculez n² + n + 41 pour n = 40.
- Que peut‑on dire de C ?
Ce qui est attendu (6 pts) : Résultats justes et justifiés
Activité 2 · Démontrer
18 minSupports : Cours
Démontrez A et B avec des lettres.
- Écrivez deux multiples de 5 avec des lettres et additionnez.
- Développez (2k + 1)² et concluez.
- Démontrez que la différence de deux impairs est paire.
Ce qui est attendu (7 pts) : Méthode et résultats
Activité 3 · Communiquer
15 minSupports : Documents et cours
Rédigez une réponse au forum (8 à 10 lignes) : quelles affirmations sont démontrées, laquelle est fausse et pourquoi des exemples ne suffisent pas. Pour bien commencer : Les exemples montrent…, mais… · Pour démontrer A, on écrit… · En revanche, l'affirmation C…
Ce qui est attendu (7 pts) : Raisonnement · Rédaction
Trace écrite · document à compléter (papier ou ENT)
Complète la trace écrite avec les mots de la banque, puis recopie-la dans ton cahier.
Pour démontrer une propriété générale, on écrit les nombres avec des _______. Un seul ______________ suffit pour prouver qu'une affirmation générale est fausse. Un impair s'écrit ______.
Séance 2 · Nombres premiers, partages et fractions irréductibles
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes avec coups de pouce.
La question du jour
Comment répartir sans reste des objets en paquets identiques ?
Mon plan de travail
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Je suis le lancement (ou j'écoute la capsule) et je recopie la problématique.
- 12 min → Travail autonome : Je fais l'activité 1 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 18 min → Travail autonome : Je fais l'activité 2 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 15 min → Travail à rendre : Je fais l'activité 3 et je la dépose sur l'ENT (ou j'envoie une photo) dans les trois jours.
- 10 min → Mise en commun : Je corrige avec une autre couleur et je complète la trace écrite.
Le cours à lire · Diviseurs communs et nombres premiers
Un nombre premier a exactement deux diviseurs positifs, 1 et lui‑même ; 1 n'est pas premier. Tout entier supérieur ou égal à 2 se décompose en produit de nombres premiers : 360 = 2³ × 3² × 5. Les diviseurs communs à deux entiers se lisent sur leurs décompositions ; le plus grand permet de faire des paquets identiques sans reste. Pour rendre une fraction irréductible, on divise numérateur et dénominateur par leur plus grand diviseur commun : 84/60 = 7/5. En Python, a % b donne le reste de la division de a par b : a est multiple de b si a % b == 0.
Document 1 · La fête du lycée
Situation-problème.
Le foyer des élèves doit répartir 84 bouteilles d'eau et 60 sachets de fruits secs dans des paniers identiques, sans qu'il en reste, pour les bénévoles de la fête. Il veut le plus grand nombre de paniers possible.
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · Chercher
12 minSupports : Document 1
Décomposez et cherchez.
- Décomposez 84 et 60 en produits de facteurs premiers.
- Quel est le plus grand nombre de paniers ?
- Contenu d'un panier ?
Ce qui est attendu (6 pts) : Résultats justes et justifiés
Activité 2 · S'entraîner
18 minSupports : Cours
Résolvez.
- Rendez irréductible 126/210.
- Quel est le plus grand multiple de 7 inférieur ou égal à 100 ?
- Deux bus partent ensemble ; l'un repasse toutes les 12 min, l'autre toutes les 18 min. Quand repartent‑ils ensemble ?
Ce qui est attendu (7 pts) : Méthode et résultats
Activité 3 · Programmer
15 minSupports : Documents et cours
Écrivez une fonction Python est_multiple(a, b) qui renvoie True si a est multiple de b, puis une fonction qui renvoie le plus grand multiple de a inférieur ou égal à b. Expliquez en 6 lignes. Pour bien commencer : La fonction teste si… · On utilise le reste… · Pour le plus grand multiple, …
Ce qui est attendu (7 pts) : Raisonnement · Rédaction
Trace écrite · document à compléter (papier ou ENT)
Complète la trace écrite avec les mots de la banque, puis recopie-la dans ton cahier.
Un nombre _______ a exactement deux diviseurs positifs. Pour faire le plus grand nombre de paquets identiques, on cherche le plus grand ________ commun. En Python, a % b == 0 teste si a est ________ de b.
Fiche à trous · je complète
Complète le texte avec les mots de la banque (sur papier ou dans le document de l'ENT).
a est un multiple de b s'il existe un entier k tel que a = ______.
Un nombre pair s'écrit ______, un nombre impair 2k + 1.
La somme de deux multiples de a est un ________ de a.
Une fraction est ____________ quand numérateur et dénominateur n'ont pas d'autre diviseur commun positif que 1.
Ce que j'ai appris
- Utiliser la définition « a est multiple de b s'il existe un entier k tel que a = kb »
- Démontrer des propriétés de parité et de multiples avec le calcul littéral
- Résoudre des problèmes de partage, de calendrier et de fractions irréductibles ; écrire un test de divisibilité en Python