Version élève → Mathématiques · Lycée général · 2de · Seconde

Séquence 5 · Calcul algébrique : inéquations, équations produit et tableaux de signes

Comment choisir la bonne forme d'une expression pour résoudre une équation ou une inéquation issue d'un problème ?

Bonjour !

Dans cette séquence de mathématiques, tu vas chercher à répondre à la grande question écrite en haut de la page. Elle se fait en 2 séances. Pour chaque séance : lis la consigne, étudie les documents, réponds aux questions sur ta feuille ou sur l'ENT, puis recopie l'essentiel dans ton cahier. Tu peux imprimer cette page avec le bouton « Imprimer ».

À la fin, je serai capable de :

Les mots importants

inéquation, ensemble des solutionsmultiplier une inégalité par un nombre négatifforme développée, forme factoriséeéquation produit nultableau de signes, valeur interdite

Ressources de la séquence

Les notions, les repères et les pistes pour aller plus loin, utiles pour toutes les séances.

Les notions à maîtriser

Inéquation
Inégalité contenant une inconnue ; la résoudre, c'est trouver l'ensemble de ses solutions, souvent un intervalle.
Règles
On peut ajouter un même nombre aux deux membres ; multiplier par un positif conserve le sens, par un négatif l'inverse.
Équation produit nul
A × B = 0 équivaut à A = 0 ou B = 0.
Signe de ax + b
ax + b s'annule en −b/a ; il est du signe de a après cette valeur, du signe contraire avant.
Tableau de signes
Tableau qui donne le signe de chaque facteur puis, par la règle des signes, celui du produit ou du quotient.
Valeur interdite
Valeur qui annule un dénominateur ; elle est exclue de l'ensemble de définition (double barre dans le tableau).

Repères

DateÉvénement
vers 820Al‑Khwarizmi expose la résolution des équations par « restauration » et « comparaison ».
1591Viète désigne les inconnues et les paramètres par des lettres.
1631Publication posthume de l'Artis analyticae praxis de Harriot, avec les signes < et >.
1637Descartes, La Géométrie : notations x, y, z pour les inconnues.

Pour aller plus loin

Sources et bibliographie

Mon parcours : je choisis mon rythme

Séance 1 · Modéliser par une inéquation

65 min

Séance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes avec coups de pouce.

La question du jour

À partir de quand un forfait devient‑il plus intéressant ?

Mon plan de travail

Le cours à lire · Résoudre une inéquation du premier degré

Résoudre une inéquation, c'est trouver tous les nombres qui la vérifient. On procède comme pour une équation, avec une règle supplémentaire : multiplier ou diviser par un nombre négatif change le sens de l'inégalité. Exemple : −2x + 4 ≤ 10 ⟺ −2x ≤ 6 ⟺ x ≥ −3. L'ensemble des solutions s'écrit avec un intervalle, ici [−3 ; +∞[. Pour comparer deux quantités A et B, on peut étudier le signe de la différence A − B ; pour deux quantités positives, on peut aussi étudier le rapport A/B (supérieur ou inférieur à 1).

Document 1 · Deux tarifs de location

Situation-problème.

Pour un projet de classe, il faut louer un vidéoprojecteur. Loueur A : 40 € de frais fixes plus 8 € par jour. Loueur B : 15 € par jour, sans frais fixes.

Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).

Activité 1 · Chercher

12 min
Essentiel

Supports : Document 1

Consigne :

Calculez puis modélisez.

  1. Coût chez chaque loueur pour 3 jours et pour 10 jours ?
  2. Exprimez les coûts A(x) et B(x) pour x jours.
  3. Écrivez l'inéquation traduisant « A est moins cher que B ».

Ce qui est attendu (6 pts) : Résultats justes et justifiés

Activité 2 · S'entraîner

18 min
Essentiel

Supports : Cours

Consigne :

Résolvez.

  1. 40 + 8x < 15x.
  2. 5 − 3x ≥ 2x + 20.
  3. Comparez A = 2x + 3 et B = 2x + 1 par différence.

Ce qui est attendu (7 pts) : Méthode et résultats

Activité 3 · Communiquer

15 min
Travail à rendre

Supports : Documents et cours

Consigne :

Rédigez une recommandation au professeur responsable du projet (6 à 8 lignes) : quel loueur choisir selon la durée ? Pour bien commencer : Si la location dure moins de…, … · En effet, l'inéquation… · Je recommande donc…

Ce qui est attendu (7 pts) : Raisonnement · Rédaction

Trace écrite · document à compléter (papier ou ENT)

Complète la trace écrite avec les mots de la banque, puis recopie-la dans ton cahier.

différenceintervallenégatif

Multiplier les deux membres d'une inéquation par un nombre _______ change le sens de l'inégalité. Pour comparer deux quantités, on peut étudier le signe de leur __________. L'ensemble des solutions d'une inéquation est souvent un __________.

Séance 2 · Équations produit et tableaux de signes

65 min

Séance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes avec coups de pouce.

La question du jour

Comment savoir pour quelles valeurs une expression est positive ?

Mon plan de travail

Le cours à lire · Factoriser pour conclure

Une équation produit nul A(x) × B(x) = 0 équivaut à A(x) = 0 ou B(x) = 0 : (x − 3)(2x + 5) = 0 donne x = 3 ou x = −5/2. D'où l'intérêt de factoriser : x² − 9 = (x − 3)(x + 3), 4x² − 12x = 4x(x − 3). Le signe de ax + b (a ≠ 0) : il s'annule en −b/a et il est du signe de a après cette valeur. Pour un produit ou un quotient, on dresse un tableau de signes : une ligne par facteur, puis la règle des signes. Pour un quotient, la valeur qui annule le dénominateur est interdite (double barre).

Document 1 · Le bénéfice d'une association

Situation-problème.

Une association vend des objets décorés. Pour x centaines d'objets vendus (0 ≤ x ≤ 8), son bénéfice en centaines d'euros est B(x) = −x² + 8x − 12. Le trésorier a remarqué que B(x) = (x − 2)(6 − x).

Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).

Activité 1 · Chercher

12 min
Essentiel

Supports : Document 1

Consigne :

Exploitez les deux formes.

  1. Vérifiez l'égalité en développant (x − 2)(6 − x).
  2. Pour quelles quantités le bénéfice est‑il nul ?
  3. Quelle forme utiliser pour calculer B(0) ?

Ce qui est attendu (6 pts) : Résultats justes et justifiés

Activité 2 · Raisonner

18 min
Essentiel

Supports : Cours

Consigne :

Dressez le tableau de signes de B(x) sur [0 ; 8].

  1. Signe de x − 2 et de 6 − x ?
  2. Signe de B(x) ?
  3. Signe du quotient (x − 1)/(x + 2) ?

Ce qui est attendu (7 pts) : Méthode et résultats

Activité 3 · Communiquer

15 min
Travail à rendre

Supports : Documents et cours

Consigne :

Rédigez une note au trésorier (6 à 8 lignes) : entre quelles quantités l'association est‑elle bénéficiaire ? Justifiez avec le tableau de signes. Pour bien commencer : Le bénéfice s'écrit sous forme factorisée… · Le tableau de signes montre que… · L'association est donc bénéficiaire…

Ce qui est attendu (7 pts) : Raisonnement · Rédaction

Trace écrite · document à compléter (papier ou ENT)

Complète la trace écrite avec les mots de la banque, puis recopie-la dans ton cahier.

afacteursfactorisesignes

Un produit est nul si et seulement si l'un de ses ________ est nul. Pour étudier le signe d'un produit, on _________ puis on dresse un tableau de ______. ax + b est du signe de ______ après la valeur qui l'annule.

Fiche à trous · je complète

Complète le texte avec les mots de la banque (sur papier ou dans le document de l'ENT).

changefacteursinterditetableau de signes

Quand on multiplie les deux membres d'une inéquation par un nombre négatif, on ______ le sens de l'inégalité.

Un produit est nul si et seulement si l'un de ses ________ est nul.

Pour étudier le signe d'un produit, on dresse un _________________.

Dans un quotient, une valeur qui annule le dénominateur est une valeur _________.

Ce que j'ai appris

Les 3 idées que je retiens :
Une méthode ou une formule que je veux retenir :
Ce qui reste difficile pour moi / ma question pour le professeur :