Repères pour le professeur
Objectifs et capacités
Objectifs
- Modéliser un problème par une inéquation du premier degré et la résoudre
- Choisir entre forme développée et factorisée ; résoudre une équation produit nul
- Étudier le signe d'un produit ou d'un quotient avec un tableau de signes
Capacités travaillées (BO)
- Chercher, expérimenter (outils numériques)
- Modéliser une situation
- Représenter, changer de registre
- Raisonner, démontrer
- Calculer, mettre en oeuvre un algorithme
- Communiquer un résultat, expliquer une démarche
Notions et définitions
Repères historiques
- Al‑Khwarizmi, *Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison* (vers 820)
- François Viète, *In artem analyticem isagoge* (1591) : les lettres pour les quantités
- Thomas Harriot introduit les signes < et > (publiés en 1631)
Ressources de la séquence
Ancrage dans le programme, notions, repères, débats, bibliographie et différenciation, communs à toutes les séances.
Ancrage dans le programme officiel
Capacité attendue : « Modéliser un problème par une inéquation. »
Choisir la forme : « Choisir la forme la plus adaptée (factorisée, développée réduite) d'une expression en vue de la résolution d'un problème. »
Comparer : « Comparer deux quantités en utilisant leur différence, ou leur rapport (ratio) dans le cas de quantités positives. »
Compétences : « L'évaluation doit permettre de repérer les acquis des élèves en lien avec les six compétences mathématiques : chercher, modéliser, représenter, raisonner, calculer, communiquer. »
Épreuve anticipée de mathématiques (fin de 1re, note de service du 11 septembre 2026) : écrite, 2 heures, coefficient 2. « Elle entre en vigueur à compter de l'année scolaire 2026-2027, pour les épreuves présentées au titre la session 2028. » « La première partie est notée sur 6 points et la seconde partie est notée sur 14 points. » « L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé pour l'ensemble de l'épreuve. » « La maîtrise de la langue est prise en compte à hauteur de deux points sur vingt » (note de service du 11 septembre 2026 (BO) ; épreuve anticipée de mathématiques (éduscol)).
Notions : définitions rigoureuses
- Inéquation
- Inégalité contenant une inconnue ; la résoudre, c'est trouver l'ensemble de ses solutions, souvent un intervalle.
- Règles
- On peut ajouter un même nombre aux deux membres ; multiplier par un positif conserve le sens, par un négatif l'inverse.
- Équation produit nul
- A × B = 0 équivaut à A = 0 ou B = 0.
- Signe de ax + b
- ax + b s'annule en −b/a ; il est du signe de a après cette valeur, du signe contraire avant.
- Tableau de signes
- Tableau qui donne le signe de chaque facteur puis, par la règle des signes, celui du produit ou du quotient.
- Valeur interdite
- Valeur qui annule un dénominateur ; elle est exclue de l'ensemble de définition (double barre dans le tableau).
Repères
| Date | Événement |
|---|---|
| vers 820 | Al‑Khwarizmi expose la résolution des équations par « restauration » et « comparaison ». |
| 1591 | Viète désigne les inconnues et les paramètres par des lettres. |
| 1631 | Publication posthume de l'Artis analyticae praxis de Harriot, avec les signes < et >. |
| 1637 | Descartes, La Géométrie : notations x, y, z pour les inconnues. |
Les historiens en débat
Le calcul littéral moderne s'est construit lentement : l'algèbre d'Al‑Khwarizmi s'écrit en phrases, les lettres de Viète puis les notations de Descartes permettent enfin de manipuler des expressions générales. Le programme insiste sur ce gain d'efficacité : choisir une forme factorisée pour résoudre, une forme développée pour calculer. Synthèse du professeur.
Pour aller plus loin
Sources et bibliographie
- George Pólya, Comment poser et résoudre un problème, Dunod, 1965 (rééd. Jacques Gabay, 1989).
- Ahmed Djebbar, Une histoire de la science arabe, Seuil, 2001.
- Mickaël Launay, Le Grand Roman des maths, Flammarion, 2016.
Différenciation : un rythme de travail différent
- Pour les élèves qui ont besoin de plus de temps : énoncé découpé en petites questions, rappel de cours en marge, calculatrice ou tableur autorisés pendant l'entraînement, correction pas à pas en vidéo ou en classe virtuelle.
- Pour les élèves qui avancent vite : question d'approfondissement (démonstration, généralisation, programme Python à écrire), problème ouvert à rédiger et à présenter à l'oral.
Déroulé d'ensemble
| Séance | Titre | Durée | Objectif |
|---|---|---|---|
| Séance 1 | Modéliser par une inéquation | 65 min | traduire une comparaison de tarifs par une inéquation et la résoudre |
| Séance 2 | Équations produit et tableaux de signes | 65 min | factoriser pour résoudre et étudier le signe d'un produit ou d'un quotient |
| Évaluation | Évaluation de fin de séquence (/20) | 55 min | Vérifier les acquis : connaissances, capacités, rédaction |
Chaque séance dure environ 55 minutes à distance : lancement en classe virtuelle ou par message sur l'ENT, recherche du problème (calculatrice, tableur, GeoGebra ou Python dans le navigateur), mise en commun, cours et trace écrite. Les élèves renvoient la fiche à trous et leur production par l'ENT ou en photo.
Séance 1 · Modéliser par une inéquation
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.
Problématique de la séance
À partir de quand un forfait devient‑il plus intéressant ?
Déroulé minuté à distance
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
- 12 min → Travail autonome : Activité 1 (Chercher) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 18 min → Travail autonome : Activité 2 (S'entraîner) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Communiquer) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
- 10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.
Le cours développé (récit du professeur) · Résoudre une inéquation du premier degré
Résoudre une inéquation, c'est trouver tous les nombres qui la vérifient. On procède comme pour une équation, avec une règle supplémentaire : multiplier ou diviser par un nombre négatif change le sens de l'inégalité. Exemple : −2x + 4 ≤ 10 ⟺ −2x ≤ 6 ⟺ x ≥ −3. L'ensemble des solutions s'écrit avec un intervalle, ici [−3 ; +∞[. Pour comparer deux quantités A et B, on peut étudier le signe de la différence A − B ; pour deux quantités positives, on peut aussi étudier le rapport A/B (supérieur ou inférieur à 1).
Document 1 · Deux tarifs de location
Situation-problème.
Pour un projet de classe, il faut louer un vidéoprojecteur. Loueur A : 40 € de frais fixes plus 8 € par jour. Loueur B : 15 € par jour, sans frais fixes.
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · Chercher
12 minSupports : Document 1
Calculez puis modélisez.
- Coût chez chaque loueur pour 3 jours et pour 10 jours ?✔ Corrigé :
A : 64 € et 120 € ; B : 45 € et 150 €.
- Exprimez les coûts A(x) et B(x) pour x jours.✔ Corrigé :
A(x) = 40 + 8x ; B(x) = 15x.
- Écrivez l'inéquation traduisant « A est moins cher que B ».✔ Corrigé :
40 + 8x < 15x.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Résultats justes et justifiés | 6 |
| Total de l'activité | 6 |
Activité 2 · S'entraîner
18 minSupports : Cours
Résolvez.
- 40 + 8x < 15x.✔ Corrigé :
40 < 7x, x > 40/7 ≈ 5,7 : A est moins cher à partir de 6 jours.
- 5 − 3x ≥ 2x + 20.✔ Corrigé :
−5x ≥ 15, x ≤ −3.
- Comparez A = 2x + 3 et B = 2x + 1 par différence.✔ Corrigé :
A − B = 2 > 0, donc A > B pour tout x.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Méthode et résultats | 7 |
| Total de l'activité | 7 |
Activité 3 · Communiquer
15 minSupports : Documents et cours
Rédigez une recommandation au professeur responsable du projet (6 à 8 lignes) : quel loueur choisir selon la durée ? Pour bien commencer : Si la location dure moins de…, … · En effet, l'inéquation… · Je recommande donc…
Modélisation ; résolution juste avec x > 40/7 ; interprétation entière (6 jours) ; égalité impossible avec des jours entiers ; recommandation claire selon la durée.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Raisonnement | 5 |
| Rédaction | 2 |
| Total de l'activité | 7 |
Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)
Multiplier les deux membres d'une inéquation par un nombre négatif change le sens de l'inégalité. Pour comparer deux quantités, on peut étudier le signe de leur différence. L'ensemble des solutions d'une inéquation est souvent un intervalle.
Barème récapitulatif des activités notées
| Activité | Points |
|---|---|
| Activité 1 · Chercher | 6 |
| Activité 2 · S'entraîner | 7 |
| Activité 3 · Communiquer | 7 |
| Total | 20 / 20 |
Séance 2 · Équations produit et tableaux de signes
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.
Problématique de la séance
Comment savoir pour quelles valeurs une expression est positive ?
Déroulé minuté à distance
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
- 12 min → Travail autonome : Activité 1 (Chercher) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 18 min → Travail autonome : Activité 2 (Raisonner) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Communiquer) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
- 10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.
Le cours développé (récit du professeur) · Factoriser pour conclure
Une équation produit nul A(x) × B(x) = 0 équivaut à A(x) = 0 ou B(x) = 0 : (x − 3)(2x + 5) = 0 donne x = 3 ou x = −5/2. D'où l'intérêt de factoriser : x² − 9 = (x − 3)(x + 3), 4x² − 12x = 4x(x − 3). Le signe de ax + b (a ≠ 0) : il s'annule en −b/a et il est du signe de a après cette valeur. Pour un produit ou un quotient, on dresse un tableau de signes : une ligne par facteur, puis la règle des signes. Pour un quotient, la valeur qui annule le dénominateur est interdite (double barre).
Document 1 · Le bénéfice d'une association
Situation-problème.
Une association vend des objets décorés. Pour x centaines d'objets vendus (0 ≤ x ≤ 8), son bénéfice en centaines d'euros est B(x) = −x² + 8x − 12. Le trésorier a remarqué que B(x) = (x − 2)(6 − x).
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · Chercher
12 minSupports : Document 1
Exploitez les deux formes.
- Vérifiez l'égalité en développant (x − 2)(6 − x).✔ Corrigé :
6x − x² − 12 + 2x = −x² + 8x − 12.
- Pour quelles quantités le bénéfice est‑il nul ?✔ Corrigé :
x = 2 ou x = 6, soit 200 ou 600 objets.
- Quelle forme utiliser pour calculer B(0) ?✔ Corrigé :
La forme développée : B(0) = −12, perte de 1 200 €.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Résultats justes et justifiés | 6 |
| Total de l'activité | 6 |
Activité 2 · Raisonner
18 minSupports : Cours
Dressez le tableau de signes de B(x) sur [0 ; 8].
- Signe de x − 2 et de 6 − x ?✔ Corrigé :
x − 2 négatif avant 2, positif après ; 6 − x positif avant 6, négatif après.
- Signe de B(x) ?✔ Corrigé :
Négatif sur [0 ; 2[, positif sur ]2 ; 6[, négatif sur ]6 ; 8].
- Signe du quotient (x − 1)/(x + 2) ?✔ Corrigé :
Positif sur ]−∞ ; −2[ et [1 ; +∞[, négatif sur ]−2 ; 1[, nul en 1, −2 interdite.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Méthode et résultats | 7 |
| Total de l'activité | 7 |
Activité 3 · Communiquer
15 minSupports : Documents et cours
Rédigez une note au trésorier (6 à 8 lignes) : entre quelles quantités l'association est‑elle bénéficiaire ? Justifiez avec le tableau de signes. Pour bien commencer : Le bénéfice s'écrit sous forme factorisée… · Le tableau de signes montre que… · L'association est donc bénéficiaire…
Forme factorisée ; valeurs d'annulation ; tableau ; conclusion : bénéfice strictement positif pour une vente comprise entre 200 et 600 objets, bornes exclues ; unités.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Raisonnement | 5 |
| Rédaction | 2 |
| Total de l'activité | 7 |
Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)
Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul. Pour étudier le signe d'un produit, on factorise puis on dresse un tableau de signes. ax + b est du signe de a après la valeur qui l'annule.
Barème récapitulatif des activités notées
| Activité | Points |
|---|---|
| Activité 1 · Chercher | 6 |
| Activité 2 · Raisonner | 7 |
| Activité 3 · Communiquer | 7 |
| Total | 20 / 20 |
Fiche à trous · corrigé
Quand on multiplie les deux membres d'une inéquation par un nombre négatif, on change le sens de l'inégalité.
Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.
Pour étudier le signe d'un produit, on dresse un tableau de signes.
Dans un quotient, une valeur qui annule le dénominateur est une valeur interdite.
La version élève contient la même fiche avec une banque de mots (papier ou ENT).
Évaluation de fin de séquence (/20) · barème et corrigé
Évaluation sur 20 à faire en temps limité sur l'ENT ou sur papier, puis à renvoyer en photo ; le corrigé et le barème servent aussi à l'autoévaluation. En Bac Pro, elle est construite comme une situation de contrôle en cours de formation (problème contextualisé, compétences évaluées) ; en 1re générale, elle prépare à l'épreuve anticipée (automatismes sans calculatrice et exercices) ; en Terminale générale, aux exercices indépendants de l'épreuve de spécialité.
| N° | Question | Barème | Corrigé et critères |
|---|---|---|---|
| 1 | Résolvez : 3x − 7 > 5 ; −2x + 4 ≤ 10 ; (x − 3)(2x + 5) = 0. | 4 pts | x > 4 ; x ≥ −3 (on divise par −2, le sens change) ; x = 3 ou x = −5/2. Un point, un point et demi, un point et demi. |
| 2 | Une salle de sport propose la formule A à 30 € par mois et la formule B à 12 € par mois plus 3 € par séance. À partir de combien de séances par mois la formule A est‑elle plus avantageuse ? Modélisez par une inéquation et résolvez. | 8 pts | A < B ⟺ 30 < 12 + 3x ⟺ x > 6 : à partir de 7 séances. Modélisation (3 pts), résolution (3 pts), interprétation entière (2 pts). |
| 3 | Étudiez le signe de f(x) = (2x − 6)/(x + 1) avec un tableau de signes, puis résolvez f(x) ≥ 0. Pour bien commencer : *Je cherche d'abord les valeurs qui annulent…* · *Dans le tableau, …* · *L'ensemble des solutions est…* | 8 pts | 2x − 6 s'annule en 3, x + 1 en −1 (valeur interdite). f est positive sur ]−∞ ; −1[, négative sur ]−1 ; 3[, nulle en 3, positive ensuite. Solutions : ]−∞ ; −1[ ∪ [3 ; +∞[. Tableau (4 pts), conclusion avec crochets justes (4 pts). |
| Total | 20 pts | ||
Pistes pour un rythme de travail différent
- Laisser deux jours de plus aux élèves qui ont peu de connexion et accepter un rendu sur papier photographié.
- Proposer la fiche à trous, un énoncé découpé en petites questions et une vidéo de correction pas à pas.
- Pour les élèves rapides : une démonstration, un programme Python à écrire ou un problème ouvert à présenter à l'oral.
- Automatismes : développer et factoriser avec les identités remarquables, isoler une variable dans U = RI ou d = vt.
- Pour aller plus loin : résoudre (x² − 4)(3 − x) < 0 et vérifier avec GeoGebra.