Bonjour !
Dans cette séquence de mathématiques, tu vas chercher à répondre à la grande question écrite en haut de la page. Elle se fait en 2 séances. Pour chaque séance : lis la consigne, étudie les documents, réponds aux questions sur ta feuille ou sur l'ENT, puis recopie l'essentiel dans ton cahier. Tu peux imprimer cette page avec le bouton « Imprimer ».
À la fin, je serai capable de :
- Connaître les courbes des fonctions de référence et leurs propriétés (signe, symétries)
- Résoudre f(x) = k et f(x) < k graphiquement et algébriquement pour une fonction de référence
- Modéliser une situation (aire, vitesse, partage) par une fonction de référence
Les mots importants
Ressources de la séquence
Les notions, les repères et les pistes pour aller plus loin, utiles pour toutes les séances.
Les notions à maîtriser
- Fonction carré
- x ↦ x², définie sur ℝ ; courbe : parabole symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
- Fonction inverse
- x ↦ 1/x, définie sur ℝ privé de 0 ; courbe : hyperbole symétrique par rapport à l'origine.
- Fonction racine carrée
- x ↦ √x, définie sur [0 ; +∞[, croissante.
- Fonction cube
- x ↦ x³, définie et croissante sur ℝ.
- Valeur absolue
- x ↦ |x|, distance de x à 0 ; courbe en forme de V.
- Résolution graphique
- Les solutions de f(x) = k sont les abscisses des points d'intersection de la courbe avec la droite d'équation y = k.
Repères
| Date | Événement |
|---|---|
| vers 1350 | Nicole Oresme représente l'intensité d'une qualité par des segments : un ancêtre des graphiques. |
| 1637 | Descartes associe courbes et équations dans La Géométrie. |
| 1748 | Euler définit la fonction comme expression analytique (Introductio in analysin infinitorum). |
| 1837 | Dirichlet donne une définition générale de la fonction comme correspondance. |
Pour aller plus loin
Sources et bibliographie
- Ian Stewart, 17 Equations That Changed the World, Profile Books, 2012.
- Steven Strogatz, The Joy of x, Houghton Mifflin Harcourt, 2012.
- Hervé Lehning, Toutes les mathématiques du monde, Flammarion, 2017.
Mon parcours : je choisis mon rythme
- Pour les élèves qui ont besoin de plus de temps : énoncé découpé en petites questions, rappel de cours en marge, calculatrice ou tableur autorisés pendant l'entraînement, correction pas à pas en vidéo ou en classe virtuelle.
- Pour les élèves qui avancent vite : question d'approfondissement (démonstration, généralisation, programme Python à écrire), problème ouvert à rédiger et à présenter à l'oral.
Séance 1 · Le répertoire des courbes
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes avec coups de pouce.
La question du jour
Quelle courbe pour quelle fonction ?
Mon plan de travail
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Je suis le lancement (ou j'écoute la capsule) et je recopie la problématique.
- 12 min → Travail autonome : Je fais l'activité 1 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 18 min → Travail autonome : Je fais l'activité 2 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 15 min → Travail à rendre : Je fais l'activité 3 et je la dépose sur l'ENT (ou j'envoie une photo) dans les trois jours.
- 10 min → Mise en commun : Je corrige avec une autre couleur et je complète la trace écrite.
Le cours à lire · Fonctions de référence
Cinq fonctions servent de modèles. Carré x ↦ x² : définie sur ℝ, positive, courbe en parabole symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (x² = (−x)²). Inverse x ↦ 1/x : définie pour x ≠ 0, courbe en hyperbole symétrique par rapport à l'origine. Racine carrée x ↦ √x : définie sur [0 ; +∞[, croissante. Cube x ↦ x³ : définie sur ℝ, croissante, symétrique par rapport à l'origine. Valeur absolue x ↦ |x| : courbe en V. Sur [0 ; 1], on a x³ ≤ x² ≤ x ≤ √x ; sur [1 ; +∞[, l'ordre s'inverse. Un point M(a ; b) appartient à la courbe de f si et seulement si b = f(a).
Document 1 · Cinq courbes sans nom
Situation-problème.
Le professeur dépose sur l'ENT une figure GeoGebra avec cinq courbes numérotées de 1 à 5, sans légende, tracées pour x entre −3 et 3, et la liste : x², 1/x, √x, x³, |x|. Les élèves doivent retrouver chaque fonction.
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · Chercher
12 minSupports : Document 1
Associez en justifiant par un critère.
- Quelle courbe n'existe que pour x ≥ 0 ?
- Quelle courbe n'a pas de point d'abscisse 0 ?
- Comment distinguer x² et |x| ?
Ce qui est attendu (6 pts) : Résultats justes et justifiés
Activité 2 · S'entraîner
18 minSupports : Cours
Répondez sans calculatrice.
- Le point A(−3 ; 9) appartient‑il à la courbe de x² ? B(−2 ; −8) à celle de x³ ?
- Comparez 0,3² et 0,3 ; 2,5² et 2,5.
- Comparez 1/2,1 et 1/2,01.
Ce qui est attendu (7 pts) : Méthode et résultats
Activité 3 · Démontrer
15 minSupports : Documents et cours
Démontrez que pour 0 ≤ x ≤ 1, x² ≤ x, en étudiant le signe de x² − x = x(x − 1). Rédigez en 6 à 8 lignes et illustrez avec GeoGebra. Pour bien commencer : Je calcule la différence… · Pour x entre 0 et 1, chaque facteur… · On en conclut que…
Ce qui est attendu (7 pts) : Raisonnement · Rédaction
Trace écrite · document à compléter (papier ou ENT)
Complète la trace écrite avec les mots de la banque, puis recopie-la dans ton cahier.
La courbe de x ↦ x² est une ________, celle de x ↦ 1/x une _________. La fonction racine carrée est définie sur les réels ________. Un point M(a ; b) est sur la courbe de f si ________.
Séance 2 · Résoudre f(x) = k et f(x) < k
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes avec coups de pouce.
La question du jour
Quel côté pour un carré de 50 m² ?
Mon plan de travail
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Je suis le lancement (ou j'écoute la capsule) et je recopie la problématique.
- 12 min → Travail autonome : Je fais l'activité 1 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 18 min → Travail autonome : Je fais l'activité 2 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 15 min → Travail à rendre : Je fais l'activité 3 et je la dépose sur l'ENT (ou j'envoie une photo) dans les trois jours.
- 10 min → Mise en commun : Je corrige avec une autre couleur et je complète la trace écrite.
Le cours à lire · Équations et inéquations de référence
Graphiquement, les solutions de f(x) = k sont les abscisses des points de la courbe d'ordonnée k ; celles de f(x) < k sont les abscisses des points situés sous la droite y = k. Algébriquement : x² = k a deux solutions √k et −√k si k > 0, une seule (0) si k = 0, aucune si k < 0 ; x² < k (k > 0) a pour solutions ]−√k ; √k[ ; 1/x = k (k ≠ 0) a pour solution 1/k ; √x = k (k ≥ 0) a pour solution k² ; |x| ≤ k donne [−k ; k]. On contrôle toujours un résultat algébrique sur la courbe.
Document 1 · Le jardin partagé
Situation-problème.
Une association veut créer des parcelles carrées. Le règlement impose une aire au moins égale à 25 m² et au plus égale à 64 m². Pour une autre parcelle rectangulaire de 36 m², la longueur L et la largeur ℓ vérifient ℓ = 36/L.
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · Chercher
12 minSupports : Document 1
Modélisez avec une fonction de référence.
- Pour un carré de côté x, quelle inégalité doit‑on résoudre ?
- Résolvez‑la avec x > 0.
- Pour le rectangle, quelle largeur si L = 9 m ? Quelle longueur si ℓ = 4,5 m ?
Ce qui est attendu (6 pts) : Résultats justes et justifiés
Activité 2 · S'entraîner
18 minSupports : Cours
Résolvez puis contrôlez sur GeoGebra.
- x² = 7 ; x² = −2 ; x² ≥ 4.
- 1/x = −0,5 ; √x = 1,5.
- |x| < 3.
Ce qui est attendu (7 pts) : Méthode et résultats
Activité 3 · Communiquer
15 minSupports : Documents et cours
Rédigez la fiche conseil destinée aux adhérents (6 à 8 lignes) : quelles dimensions possibles pour une parcelle carrée réglementaire ? Une parcelle carrée de 7,5 m de côté convient‑elle ? Pour bien commencer : Le règlement se traduit par… · Grâce à la fonction carré, … · Une parcelle de 7,5 m de côté…
Ce qui est attendu (7 pts) : Raisonnement · Rédaction
Trace écrite · document à compléter (papier ou ENT)
Complète la trace écrite avec les mots de la banque, puis recopie-la dans ton cahier.
Les solutions de f(x) = k sont les _________ des points de la courbe d'ordonnée k. Si k > 0, l'équation x² = k a ______ solutions, √k et −√k. L'équation x² = −2 n'a ______ solution. On contrôle un calcul sur la ______.
Fiche à trous · je complète
Complète le texte avec les mots de la banque (sur papier ou dans le document de l'ENT).
La courbe de la fonction carré est une ________.
La fonction inverse n'est pas définie en ______.
Pour x ≥ 0, √x est le nombre positif dont le carré vaut ______.
Sur une courbe, résoudre f(x) = k revient à lire les _________ des points d'ordonnée k.
Ce que j'ai appris
- Connaître les courbes des fonctions de référence et leurs propriétés (signe, symétries)
- Résoudre f(x) = k et f(x) < k graphiquement et algébriquement pour une fonction de référence
- Modéliser une situation (aire, vitesse, partage) par une fonction de référence