Repères pour le professeur
Objectifs et capacités
Objectifs
- Connaître les courbes des fonctions de référence et leurs propriétés (signe, symétries)
- Résoudre f(x) = k et f(x) < k graphiquement et algébriquement pour une fonction de référence
- Modéliser une situation (aire, vitesse, partage) par une fonction de référence
Capacités travaillées (BO)
- Chercher, expérimenter (outils numériques)
- Modéliser une situation
- Représenter, changer de registre
- Raisonner, démontrer
- Calculer, mettre en oeuvre un algorithme
- Communiquer un résultat, expliquer une démarche
Notions et définitions
Repères historiques
- Nicole Oresme représente graphiquement des grandeurs variables (vers 1350)
- Descartes, *La Géométrie* (1637) : courbes et équations
- Dirichlet donne la définition moderne de la fonction (1837)
Ressources de la séquence
Ancrage dans le programme, notions, repères, débats, bibliographie et différenciation, communs à toutes les séances.
Ancrage dans le programme officiel
Capacité attendue : « Modéliser par des fonctions des situations issues des mathématiques, des autres disciplines ou de la vie courante ou citoyenne. »
Fonctions de référence : « Fonctions valeur absolue, carré, inverse : définitions et courbes représentatives. »
Images mentales : « Les élèves doivent se constituer un répertoire d'images mentales des courbes représentatives des fonctions de référence, sur lesquelles s'appuyer lors de l'étude des propriétés des fonctions. »
Compétences : « L'évaluation doit permettre de repérer les acquis des élèves en lien avec les six compétences mathématiques : chercher, modéliser, représenter, raisonner, calculer, communiquer. »
Épreuve anticipée de mathématiques (fin de 1re, note de service du 11 septembre 2026) : écrite, 2 heures, coefficient 2. « Elle entre en vigueur à compter de l'année scolaire 2026-2027, pour les épreuves présentées au titre la session 2028. » « La première partie est notée sur 6 points et la seconde partie est notée sur 14 points. » « L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé pour l'ensemble de l'épreuve. » « La maîtrise de la langue est prise en compte à hauteur de deux points sur vingt » (note de service du 11 septembre 2026 (BO) ; épreuve anticipée de mathématiques (éduscol)).
Notions : définitions rigoureuses
- Fonction carré
- x ↦ x², définie sur ℝ ; courbe : parabole symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
- Fonction inverse
- x ↦ 1/x, définie sur ℝ privé de 0 ; courbe : hyperbole symétrique par rapport à l'origine.
- Fonction racine carrée
- x ↦ √x, définie sur [0 ; +∞[, croissante.
- Fonction cube
- x ↦ x³, définie et croissante sur ℝ.
- Valeur absolue
- x ↦ |x|, distance de x à 0 ; courbe en forme de V.
- Résolution graphique
- Les solutions de f(x) = k sont les abscisses des points d'intersection de la courbe avec la droite d'équation y = k.
Repères
| Date | Événement |
|---|---|
| vers 1350 | Nicole Oresme représente l'intensité d'une qualité par des segments : un ancêtre des graphiques. |
| 1637 | Descartes associe courbes et équations dans La Géométrie. |
| 1748 | Euler définit la fonction comme expression analytique (Introductio in analysin infinitorum). |
| 1837 | Dirichlet donne une définition générale de la fonction comme correspondance. |
Les historiens en débat
La notion de fonction s'est élaborée très lentement : tables astronomiques dans l'Antiquité, graphiques d'Oresme, courbes de Descartes, puis expressions d'Euler, avant la définition générale de Dirichlet. Les fonctions de référence forment le « vocabulaire de base » de cette histoire : les reconnaître d'un coup d'oeil permet de résoudre vite et de contrôler un calcul. Synthèse du professeur.
Pour aller plus loin
Sources et bibliographie
- Ian Stewart, 17 Equations That Changed the World, Profile Books, 2012.
- Steven Strogatz, The Joy of x, Houghton Mifflin Harcourt, 2012.
- Hervé Lehning, Toutes les mathématiques du monde, Flammarion, 2017.
Différenciation : un rythme de travail différent
- Pour les élèves qui ont besoin de plus de temps : énoncé découpé en petites questions, rappel de cours en marge, calculatrice ou tableur autorisés pendant l'entraînement, correction pas à pas en vidéo ou en classe virtuelle.
- Pour les élèves qui avancent vite : question d'approfondissement (démonstration, généralisation, programme Python à écrire), problème ouvert à rédiger et à présenter à l'oral.
Déroulé d'ensemble
| Séance | Titre | Durée | Objectif |
|---|---|---|---|
| Séance 1 | Le répertoire des courbes | 65 min | associer chaque fonction de référence à sa courbe et à ses propriétés |
| Séance 2 | Résoudre f(x) = k et f(x) < k | 65 min | résoudre graphiquement et algébriquement avec une fonction de référence |
| Évaluation | Évaluation de fin de séquence (/20) | 55 min | Vérifier les acquis : connaissances, capacités, rédaction |
Chaque séance dure environ 55 minutes à distance : lancement en classe virtuelle ou par message sur l'ENT, recherche du problème (calculatrice, tableur, GeoGebra ou Python dans le navigateur), mise en commun, cours et trace écrite. Les élèves renvoient la fiche à trous et leur production par l'ENT ou en photo.
Séance 1 · Le répertoire des courbes
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.
Problématique de la séance
Quelle courbe pour quelle fonction ?
Déroulé minuté à distance
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
- 12 min → Travail autonome : Activité 1 (Chercher) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 18 min → Travail autonome : Activité 2 (S'entraîner) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Démontrer) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
- 10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.
Le cours développé (récit du professeur) · Fonctions de référence
Cinq fonctions servent de modèles. Carré x ↦ x² : définie sur ℝ, positive, courbe en parabole symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (x² = (−x)²). Inverse x ↦ 1/x : définie pour x ≠ 0, courbe en hyperbole symétrique par rapport à l'origine. Racine carrée x ↦ √x : définie sur [0 ; +∞[, croissante. Cube x ↦ x³ : définie sur ℝ, croissante, symétrique par rapport à l'origine. Valeur absolue x ↦ |x| : courbe en V. Sur [0 ; 1], on a x³ ≤ x² ≤ x ≤ √x ; sur [1 ; +∞[, l'ordre s'inverse. Un point M(a ; b) appartient à la courbe de f si et seulement si b = f(a).
Document 1 · Cinq courbes sans nom
Situation-problème.
Le professeur dépose sur l'ENT une figure GeoGebra avec cinq courbes numérotées de 1 à 5, sans légende, tracées pour x entre −3 et 3, et la liste : x², 1/x, √x, x³, |x|. Les élèves doivent retrouver chaque fonction.
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · Chercher
12 minSupports : Document 1
Associez en justifiant par un critère.
- Quelle courbe n'existe que pour x ≥ 0 ?✔ Corrigé :
Celle de √x.
- Quelle courbe n'a pas de point d'abscisse 0 ?✔ Corrigé :
Celle de 1/x.
- Comment distinguer x² et |x| ?✔ Corrigé :
Le point (2 ; 4) est sur la parabole, (2 ; 2) sur le V ; |x| a des segments de droite.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Résultats justes et justifiés | 6 |
| Total de l'activité | 6 |
Activité 2 · S'entraîner
18 minSupports : Cours
Répondez sans calculatrice.
- Le point A(−3 ; 9) appartient‑il à la courbe de x² ? B(−2 ; −8) à celle de x³ ?✔ Corrigé :
Oui (9 = (−3)²) ; oui ((−2)³ = −8).
- Comparez 0,3² et 0,3 ; 2,5² et 2,5.✔ Corrigé :
0,09 < 0,3 ; 6,25 > 2,5.
- Comparez 1/2,1 et 1/2,01.✔ Corrigé :
2,01 < 2,1 et inverse décroissante sur ]0 ; +∞[ : 1/2,1 < 1/2,01.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Méthode et résultats | 7 |
| Total de l'activité | 7 |
Activité 3 · Démontrer
15 minSupports : Documents et cours
Démontrez que pour 0 ≤ x ≤ 1, x² ≤ x, en étudiant le signe de x² − x = x(x − 1). Rédigez en 6 à 8 lignes et illustrez avec GeoGebra. Pour bien commencer : Je calcule la différence… · Pour x entre 0 et 1, chaque facteur… · On en conclut que…
Factorisation x(x − 1) ; x ≥ 0 et x − 1 ≤ 0 donc produit négatif ou nul ; x² ≤ x ; interprétation : la parabole est sous la droite y = x sur [0 ; 1] ; égalité en 0 et 1.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Raisonnement | 5 |
| Rédaction | 2 |
| Total de l'activité | 7 |
Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)
La courbe de x ↦ x² est une parabole, celle de x ↦ 1/x une hyperbole. La fonction racine carrée est définie sur les réels positifs. Un point M(a ; b) est sur la courbe de f si b = f(a).
Barème récapitulatif des activités notées
| Activité | Points |
|---|---|
| Activité 1 · Chercher | 6 |
| Activité 2 · S'entraîner | 7 |
| Activité 3 · Démontrer | 7 |
| Total | 20 / 20 |
Séance 2 · Résoudre f(x) = k et f(x) < k
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.
Problématique de la séance
Quel côté pour un carré de 50 m² ?
Déroulé minuté à distance
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
- 12 min → Travail autonome : Activité 1 (Chercher) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 18 min → Travail autonome : Activité 2 (S'entraîner) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Communiquer) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
- 10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.
Le cours développé (récit du professeur) · Équations et inéquations de référence
Graphiquement, les solutions de f(x) = k sont les abscisses des points de la courbe d'ordonnée k ; celles de f(x) < k sont les abscisses des points situés sous la droite y = k. Algébriquement : x² = k a deux solutions √k et −√k si k > 0, une seule (0) si k = 0, aucune si k < 0 ; x² < k (k > 0) a pour solutions ]−√k ; √k[ ; 1/x = k (k ≠ 0) a pour solution 1/k ; √x = k (k ≥ 0) a pour solution k² ; |x| ≤ k donne [−k ; k]. On contrôle toujours un résultat algébrique sur la courbe.
Document 1 · Le jardin partagé
Situation-problème.
Une association veut créer des parcelles carrées. Le règlement impose une aire au moins égale à 25 m² et au plus égale à 64 m². Pour une autre parcelle rectangulaire de 36 m², la longueur L et la largeur ℓ vérifient ℓ = 36/L.
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · Chercher
12 minSupports : Document 1
Modélisez avec une fonction de référence.
- Pour un carré de côté x, quelle inégalité doit‑on résoudre ?✔ Corrigé :
25 ≤ x² ≤ 64.
- Résolvez‑la avec x > 0.✔ Corrigé :
5 ≤ x ≤ 8 (la fonction carré est croissante sur [0 ; +∞[).
- Pour le rectangle, quelle largeur si L = 9 m ? Quelle longueur si ℓ = 4,5 m ?✔ Corrigé :
ℓ = 4 m ; L = 36/4,5 = 8 m.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Résultats justes et justifiés | 6 |
| Total de l'activité | 6 |
Activité 2 · S'entraîner
18 minSupports : Cours
Résolvez puis contrôlez sur GeoGebra.
- x² = 7 ; x² = −2 ; x² ≥ 4.✔ Corrigé :
±√7 ; aucune solution ; x ≤ −2 ou x ≥ 2.
- 1/x = −0,5 ; √x = 1,5.✔ Corrigé :
x = −2 ; x = 2,25.
- |x| < 3.✔ Corrigé :
x ∈ ]−3 ; 3[.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Méthode et résultats | 7 |
| Total de l'activité | 7 |
Activité 3 · Communiquer
15 minSupports : Documents et cours
Rédigez la fiche conseil destinée aux adhérents (6 à 8 lignes) : quelles dimensions possibles pour une parcelle carrée réglementaire ? Une parcelle carrée de 7,5 m de côté convient‑elle ? Pour bien commencer : Le règlement se traduit par… · Grâce à la fonction carré, … · Une parcelle de 7,5 m de côté…
Inégalité 25 ≤ x² ≤ 64 ; croissance de la fonction carré sur les positifs ; côté entre 5 et 8 m ; 7,5² = 56,25 m² conforme ; unités et phrase de conclusion.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Raisonnement | 5 |
| Rédaction | 2 |
| Total de l'activité | 7 |
Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)
Les solutions de f(x) = k sont les abscisses des points de la courbe d'ordonnée k. Si k > 0, l'équation x² = k a deux solutions, √k et −√k. L'équation x² = −2 n'a aucune solution. On contrôle un calcul sur la courbe.
Barème récapitulatif des activités notées
| Activité | Points |
|---|---|
| Activité 1 · Chercher | 6 |
| Activité 2 · S'entraîner | 7 |
| Activité 3 · Communiquer | 7 |
| Total | 20 / 20 |
Fiche à trous · corrigé
La courbe de la fonction carré est une parabole.
La fonction inverse n'est pas définie en 0.
Pour x ≥ 0, √x est le nombre positif dont le carré vaut x.
Sur une courbe, résoudre f(x) = k revient à lire les abscisses des points d'ordonnée k.
La version élève contient la même fiche avec une banque de mots (papier ou ENT).
Évaluation de fin de séquence (/20) · barème et corrigé
Évaluation sur 20 à faire en temps limité sur l'ENT ou sur papier, puis à renvoyer en photo ; le corrigé et le barème servent aussi à l'autoévaluation. En Bac Pro, elle est construite comme une situation de contrôle en cours de formation (problème contextualisé, compétences évaluées) ; en 1re générale, elle prépare à l'épreuve anticipée (automatismes sans calculatrice et exercices) ; en Terminale générale, aux exercices indépendants de l'épreuve de spécialité.
| N° | Question | Barème | Corrigé et critères |
|---|---|---|---|
| 1 | Sans calculatrice, rangez dans l'ordre croissant et justifiez par une fonction de référence : 0,7² et 0,7 ; 1/3 et 1/5 ; √0,5 et 0,5. | 4 pts | 0,7² = 0,49 < 0,7 (sur ]0 ; 1[, x² < x) ; 1/5 < 1/3 (inverse décroissante sur ]0 ; +∞[) ; 0,5 < √0,5 ≈ 0,71. Un point et un point et demi pour les justifications. |
| 2 | Résolvez algébriquement puis vérifiez graphiquement : x² = 16 ; x² < 9 ; 1/x = 4 ; √x ≤ 3. | 8 pts | x = −4 ou x = 4 ; x ∈ ]−3 ; 3[ ; x = 1/4 ; x ∈ [0 ; 9]. Deux points par résolution juste avec les bons crochets. |
| 3 | Un terrain carré de côté x mètres doit avoir une aire comprise entre 50 et 200 m². Entre quelles valeurs peut varier x ? Rédigez la démarche en utilisant la fonction carré. Pour bien commencer : *L'aire du terrain s'écrit…* · *Comme la fonction carré est…* · *Le côté doit donc…* | 8 pts | 50 ≤ x² ≤ 200 avec x > 0 ; la fonction carré est croissante sur [0 ; +∞[ ; √50 ≤ x ≤ √200, soit environ 7,07 m ≤ x ≤ 14,14 m. Modélisation (3 pts), justification par les variations (3 pts), valeurs et unités (2 pts). |
| Total | 20 pts | ||
Pistes pour un rythme de travail différent
- Laisser deux jours de plus aux élèves qui ont peu de connexion et accepter un rendu sur papier photographié.
- Proposer la fiche à trous, un énoncé découpé en petites questions et une vidéo de correction pas à pas.
- Pour les élèves rapides : une démonstration, un programme Python à écrire ou un problème ouvert à présenter à l'oral.
- Automatismes : images et antécédents lus sur une courbe, appartenance d'un point à une courbe.
- Pour aller plus loin : comparer x, x² et x³ sur [0 ; 1] et sur [1 ; +∞[ avec GeoGebra et démontrer la position des courbes.