Version élève → Mathématiques · Lycée général · 2de · Seconde

Séquence 7 · Variations et extremums : optimiser avec une fonction

Comment trouver la meilleure dimension, le meilleur prix ou la meilleure quantité grâce à une fonction ?

Bonjour !

Dans cette séquence de mathématiques, tu vas chercher à répondre à la grande question écrite en haut de la page. Elle se fait en 2 séances. Pour chaque séance : lis la consigne, étudie les documents, réponds aux questions sur ta feuille ou sur l'ENT, puis recopie l'essentiel dans ton cahier. Tu peux imprimer cette page avec le bouton « Imprimer ».

À la fin, je serai capable de :

Les mots importants

fonction croissante, décroissante, monotonetableau de variationsmaximum, minimum sur un intervallefonction affine : coefficient directeur mbalayage, dichotomie

Ressources de la séquence

Les notions, les repères et les pistes pour aller plus loin, utiles pour toutes les séances.

Les notions à maîtriser

Fonction croissante
f est croissante sur I si, pour tous a < b dans I, f(a) ≤ f(b).
Fonction décroissante
f est décroissante sur I si, pour tous a < b dans I, f(a) ≥ f(b).
Tableau de variations
Tableau qui indique par des flèches les intervalles de croissance et de décroissance, avec les valeurs aux bornes.
Maximum
M est le maximum de f sur I s'il existe a dans I tel que f(a) = M et f(x) ≤ M pour tout x de I.
Fonction affine
f(x) = mx + p : m est le taux d'accroissement, p l'ordonnée à l'origine ; f est croissante si m > 0, décroissante si m < 0.
Balayage
Calcul des images pour des valeurs régulièrement espacées afin d'approcher un extremum.

Repères

DateÉvénement
Ier siècleHéron d'Alexandrie montre que la lumière réfléchie suit le chemin le plus court.
vers 1636Fermat expose une méthode pour trouver maximums et minimums.
1684Leibniz publie les premières règles du calcul différentiel, outil général d'optimisation.
1947George Dantzig invente l'algorithme du simplexe pour l'optimisation linéaire.

Pour aller plus loin

Sources et bibliographie

Mon parcours : je choisis mon rythme

Séance 1 · Sens de variation et tableaux de variations

65 min

Séance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes avec coups de pouce.

La question du jour

Comment résumer l'évolution d'une grandeur en un seul tableau ?

Mon plan de travail

Le cours à lire · Croissance, décroissance, extremums

f est croissante sur un intervalle I si, pour tous a < b de I, f(a) ≤ f(b) : elle conserve l'ordre ; décroissante si elle l'inverse. Le tableau de variations résume ces intervalles par des flèches. Le maximum de f sur I est la plus grande valeur prise, le minimum la plus petite. Une fonction affine f(x) = mx + p est croissante si m > 0 (démonstration : f(b) − f(a) = m(b − a), du signe de m), décroissante si m < 0, constante si m = 0. La fonction carré est décroissante sur ]−∞ ; 0] et croissante sur [0 ; +∞[ ; la fonction inverse est décroissante sur ]−∞ ; 0[ et sur ]0 ; +∞[.

Document 1 · La température d'une serre

Situation-problème.

Une sonde enregistre la température d'une serre de 0 h à 24 h. La courbe obtenue (déposée sur l'ENT) montre : 12 °C à 0 h, un minimum de 9 °C à 5 h, un maximum de 31 °C à 15 h, puis 14 °C à 24 h.

Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).

Activité 1 · Chercher

12 min
Essentiel

Supports : Document 1

Consigne :

Lisez et résumez.

  1. Sur quels intervalles la température augmente‑t‑elle ?
  2. Dressez le tableau de variations.
  3. Peut‑on comparer T(6) et T(10) sans la courbe ? T(2) et T(20) ?

Ce qui est attendu (6 pts) : Résultats justes et justifiés

Activité 2 · Démontrer

18 min
Essentiel

Supports : Cours

Consigne :

Démontrez avec la définition.

  1. f(x) = −3x + 2 : calculez f(b) − f(a) pour a < b.
  2. Montrez que la fonction carré est croissante sur [0 ; +∞[.
  3. La fonction inverse est‑elle décroissante sur ℝ privé de 0 ? Testez −1 et 1.

Ce qui est attendu (7 pts) : Méthode et résultats

Activité 3 · Communiquer

15 min
Travail à rendre

Supports : Documents et cours

Consigne :

Le jardinier doit aérer la serre quand la température dépasse 25 °C. Rédigez une consigne (6 à 8 lignes) en exploitant le tableau de variations et une lecture graphique. Pour bien commencer : D'après le tableau de variations, … · La température dépasse 25 °C entre… · Il faut donc ouvrir…

Ce qui est attendu (7 pts) : Raisonnement · Rédaction

Trace écrite · document à compléter (papier ou ENT)

Complète la trace écrite avec les mots de la banque, puis recopie-la dans ton cahier.

croissantedécroissantemaximumpositif

Une fonction __________ conserve l'ordre. Une fonction affine est croissante si son coefficient directeur est _______. La fonction carré est ____________ sur les négatifs et croissante sur les positifs. Le _______ est la plus grande valeur prise.

Séance 2 · Optimiser : figure dynamique et balayage

65 min

Séance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes avec coups de pouce.

La question du jour

Quel enclos donne la plus grande aire ?

Mon plan de travail

Le cours à lire · Approcher puis justifier un extremum

Pour optimiser, on choisit une variable x, on exprime la grandeur à optimiser par une fonction f(x) sur un intervalle, puis on cherche son maximum ou son minimum. On peut conjecturer avec un curseur GeoGebra ou un tableau de valeurs, approcher par balayage (calcul de f pour x allant de a à b avec un pas) ou par dichotomie, puis justifier par le calcul. Exemple : A(x) = x(20 − 2x) = −2x² + 20x. Comme −2(x − 5)² + 50 = −2x² + 20x, on a A(x) = 50 − 2(x − 5)² ≤ 50, avec égalité pour x = 5 : le maximum est 50.

Document 1 · L'enclos du lycée agricole

Situation-problème.

Un lycée agricole dispose de 20 m de grillage pour un enclos rectangulaire adossé à un mur : le grillage forme trois côtés. On note x (en m) la largeur, perpendiculaire au mur.

Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).

Activité 1 · Chercher

12 min
Essentiel

Supports : Document 1

Consigne :

Conjecturez.

  1. Calculez l'aire pour x = 2, 4, 5, 6, 8.
  2. Exprimez A(x) et précisez l'intervalle.
  3. Conjecture ?

Ce qui est attendu (6 pts) : Résultats justes et justifiés

Activité 2 · Programmer

18 min
Essentiel

Supports : Cours

Consigne :

Étudiez le programme de balayage : on part de x = 0, on calcule A(x) avec un pas de 0,1, on garde la plus grande valeur rencontrée et la valeur de x correspondante.

  1. Combien de valeurs de x sont testées entre 0 et 10 ?
  2. Que renvoie le programme ?
  3. Pourquoi le balayage ne prouve‑t‑il pas le résultat ?

Ce qui est attendu (7 pts) : Méthode et résultats

Activité 3 · Démontrer

15 min
Travail à rendre

Supports : Documents et cours

Consigne :

Démontrez que A(x) = 50 − 2(x − 5)², puis concluez sur le maximum. Rédigez une réponse au gestionnaire (6 à 8 lignes) avec les dimensions de l'enclos. Pour bien commencer : En développant 50 − 2(x − 5)², on obtient… · Comme un carré est toujours positif, … · L'enclos le plus grand mesure…

Ce qui est attendu (7 pts) : Raisonnement · Rédaction

Trace écrite · document à compléter (papier ou ENT)

Complète la trace écrite avec les mots de la banque, puis recopie-la dans ton cahier.

conjecturerfonctionjustifierpositif

Pour optimiser, on exprime la grandeur par une ________ d'une variable choisie. Le balayage permet de ___________ un extremum, le calcul permet de le _________. Un carré est toujours _______ ou nul.

Fiche à trous · je complète

Complète le texte avec les mots de la banque (sur papier ou dans le document de l'ENT).

croissantemmaximumvariations

f est __________ sur un intervalle si, quand x augmente, f(x) augmente.

Une fonction affine x ↦ mx + p est croissante si ______ est positif.

Un tableau de __________ résume les intervalles de croissance et de décroissance.

Le _______ de f sur un intervalle est la plus grande valeur prise par f(x).

Ce que j'ai appris

Les 3 idées que je retiens :
Une méthode ou une formule que je veux retenir :
Ce qui reste difficile pour moi / ma question pour le professeur :