Version élève → Mathématiques · Lycée général · 2de · Seconde

Séquence 8 · Vecteurs : coordonnées, colinéarité et déterminant

Comment prouver que trois points sont alignés ou que deux droites sont parallèles par un simple calcul ?

Bonjour !

Dans cette séquence de mathématiques, tu vas chercher à répondre à la grande question écrite en haut de la page. Elle se fait en 2 séances. Pour chaque séance : lis la consigne, étudie les documents, réponds aux questions sur ta feuille ou sur l'ENT, puis recopie l'essentiel dans ton cahier. Tu peux imprimer cette page avec le bouton « Imprimer ».

À la fin, je serai capable de :

Les mots importants

vecteur, représentant, vecteur nulsomme de vecteurs, relation de Chaslesproduit d'un vecteur par un réelcoordonnées, norme dans une base orthonorméedéterminant, colinéarité

Ressources de la séquence

Les notions, les repères et les pistes pour aller plus loin, utiles pour toutes les séances.

Les notions à maîtriser

Vecteur
Objet défini par une direction, un sens et une longueur ; le vecteur AB est associé à la translation qui envoie A sur B.
Relation de Chasles
Pour tous points A, B, C : AB + BC = AC (en vecteurs).
Produit par un réel
k × u a même direction que u, même sens si k > 0, sens contraire si k < 0, et une longueur multipliée par |k|.
Coordonnées et norme
Si u(x ; y) dans une base orthonormée, ‖u‖ = √(x² + y²).
Déterminant
det(u, v) = xy' − yx' pour u(x ; y) et v(x' ; y').
Colinéarité
u et v sont colinéaires si l'un est un multiple de l'autre, ce qui équivaut à det(u, v) = 0.

Repères

DateÉvénement
1586Simon Stevin étudie l'équilibre des forces sur un plan incliné.
1637Descartes relie géométrie et calcul par les coordonnées.
1844Grassmann publie une théorie générale des grandeurs étendues, ancêtre du calcul vectoriel.
1881‑1884Gibbs et Heaviside fixent les notations vectorielles utilisées en physique.

Pour aller plus loin

Sources et bibliographie

Mon parcours : je choisis mon rythme

Séance 1 · Vecteurs, somme et coordonnées

65 min

Séance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes avec coups de pouce.

La question du jour

Comment additionner deux déplacements ?

Mon plan de travail

Le cours à lire · Calcul vectoriel

Le vecteur AB représente le déplacement de A vers B ; deux vecteurs sont égaux s'ils ont même direction, même sens et même longueur (ABDC parallélogramme). Relation de Chasles : AB + BC = AC. Pour additionner deux vecteurs de même origine, on construit le parallélogramme. Dans une base orthonormée, si A(x_A ; y_A) et B(x_B ; y_B), alors AB a pour coordonnées (x_B − x_A ; y_B − y_A) et AB = √((x_B − x_A)² + (y_B − y_A)²). Les coordonnées s'additionnent : u(x ; y) + v(x' ; y') = (x + x' ; y + y'), et k u = (kx ; ky). Le milieu de [AB] a pour coordonnées ((x_A + x_B)/2 ; (y_A + y_B)/2).

Document 1 · Le drone de livraison

Situation-problème.

Un drone part d'une base O(0 ; 0) (unités : centaines de mètres). Il effectue le déplacement u(3 ; 1), puis le déplacement v(1 ; 4), puis revient vers un point de dépôt D(2 ; 2).

Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).

Activité 1 · Chercher

12 min
Essentiel

Supports : Document 1

Consigne :

Calculez les positions.

  1. Position A après le premier déplacement, B après le second ?
  2. Coordonnées du vecteur OB ; comparez avec u + v.
  3. Distance BD en mètres ?

Ce qui est attendu (6 pts) : Résultats justes et justifiés

Activité 2 · S'entraîner

18 min
Essentiel

Supports : Cours

Consigne :

Calculez.

  1. u(2 ; −1) et v(−3 ; 4) : 2u − v ?
  2. Norme de v ?
  3. E(−1 ; 3), F(5 ; −1) : milieu de [EF] ?

Ce qui est attendu (7 pts) : Méthode et résultats

Activité 3 · Communiquer

15 min
Travail à rendre

Supports : Documents et cours

Consigne :

Rédigez le compte rendu de vol du drone (6 à 8 lignes) : positions, déplacement total, distance parcourue et distance à vol d'oiseau entre la base et le point B. Comparez. Pour bien commencer : Le drone part de… puis… · Le déplacement total est le vecteur… · La distance parcourue est plus grande que…

Ce qui est attendu (7 pts) : Raisonnement · Rédaction

Trace écrite · document à compléter (papier ou ENT)

Complète la trace écrite avec les mots de la banque, puis recopie-la dans ton cahier.

ACextrémitémoyenne√(x² + y²)

Relation de Chasles : AB + BC = ______ en vecteurs. Les coordonnées du vecteur AB s'obtiennent en faisant _________ moins origine. Dans une base orthonormée, la norme de u(x ; y) vaut __________. Le milieu d'un segment a pour coordonnées la _______ des coordonnées des extrémités.

Séance 2 · Colinéarité, alignement et parallélisme

65 min

Séance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes avec coups de pouce.

La question du jour

Trois points sont‑ils alignés ?

Mon plan de travail

Le cours à lire · Le déterminant

Deux vecteurs u et v sont colinéaires si l'un est un multiple de l'autre (v = k u). Dans une base orthonormée, le déterminant de u(x ; y) et v(x' ; y') est det(u, v) = xy' − yx'. Propriété (démontrée) : u et v sont colinéaires si et seulement si det(u, v) = 0, ce qui équivaut, pour des vecteurs à coordonnées non nulles, à la proportionnalité des coordonnées. Applications : A, B, C sont alignés si et seulement si AB et AC sont colinéaires ; (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si AB et CD sont colinéaires. Sans repère, on utilise la relation de Chasles pour exprimer les vecteurs en fonction de deux vecteurs non colinéaires.

Document 1 · Le tracé d'une piste cyclable

Situation-problème.

Sur le plan d'une commune (repère orthonormé, unité 100 m), une piste doit relier A(1 ; 2) à C(7 ; 10) en passant par l'arrêt de bus B(4 ; 6). Une seconde piste relie D(0 ; 5) à E(6 ; 13).

Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).

Activité 1 · Chercher

12 min
Essentiel

Supports : Document 1

Consigne :

Calculez.

  1. Coordonnées de AB et AC ?
  2. det(AB, AC) ? Conclusion ?
  3. Les deux pistes sont‑elles parallèles ?

Ce qui est attendu (6 pts) : Résultats justes et justifiés

Activité 2 · Démontrer

18 min
Essentiel

Supports : Cours

Consigne :

Démontrez dans le cas général.

  1. Si v = k u, montrez que det(u, v) = 0.
  2. u(2 ; 3) et v(4 ; 6,1) sont‑ils colinéaires ?
  3. Trouvez m pour que u(m ; 4) et v(3 ; 6) soient colinéaires.

Ce qui est attendu (7 pts) : Méthode et résultats

Activité 3 · Communiquer

15 min
Travail à rendre

Supports : Documents et cours

Consigne :

Rédigez la note destinée au service urbanisme (6 à 8 lignes) : la piste A‑C passe‑t‑elle par l'arrêt B ? Les deux pistes sont‑elles parallèles ? Justifiez par des déterminants. Pour bien commencer : Pour savoir si B est sur la piste, … · Le déterminant vaut…, donc… · En conclusion, …

Ce qui est attendu (7 pts) : Raisonnement · Rédaction

Trace écrite · document à compléter (papier ou ENT)

Complète la trace écrite avec les mots de la banque, puis recopie-la dans ton cahier.

alignésdéterminantparallèlesyx'

Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur ___________ est nul. A, B, C sont _______ si AB et AC sont colinéaires. (AB) et (CD) sont __________ si AB et CD sont colinéaires. det(u, v) = xy' − ______.

Fiche à trous · je complète

Complète le texte avec les mots de la banque (sur papier ou dans le document de l'ENT).

(x_B − x_A ; y_B − y_A)ACdéterminantparallélogramme

Les vecteurs AB et CD sont égaux si ABDC est un _______________.

Relation de Chasles : AB + BC = ______ (en vecteurs).

Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur ___________ est nul.

Si A(x_A ; y_A) et B(x_B ; y_B), le vecteur AB a pour coordonnées _______________________.

Ce que j'ai appris

Les 3 idées que je retiens :
Une méthode ou une formule que je veux retenir :
Ce qui reste difficile pour moi / ma question pour le professeur :