Bonjour !
Dans cette séquence de mathématiques, tu vas chercher à répondre à la grande question écrite en haut de la page. Elle se fait en 2 séances. Pour chaque séance : lis la consigne, étudie les documents, réponds aux questions sur ta feuille ou sur l'ENT, puis recopie l'essentiel dans ton cahier. Tu peux imprimer cette page avec le bouton « Imprimer ».
À la fin, je serai capable de :
- Déterminer une équation cartésienne ou réduite d'une droite (deux points, point et vecteur directeur, point et pente)
- Lire et interpréter la pente ; reconnaître des droites parallèles ou sécantes
- Calculer le point d'intersection de deux droites et l'interpréter dans un problème
Les mots importants
Ressources de la séquence
Les notions, les repères et les pistes pour aller plus loin, utiles pour toutes les séances.
Les notions à maîtriser
- Vecteur directeur
- Vecteur non nul dont la direction est celle de la droite.
- Équation cartésienne
- Toute droite a une équation ax + by + c = 0 avec (a ; b) ≠ (0 ; 0) ; (−b ; a) est un vecteur directeur.
- Équation réduite
- y = mx + p pour une droite non parallèle à l'axe des ordonnées, x = k sinon.
- Pente
- m = (y_B − y_A)/(x_B − x_A) : quand x augmente de 1, y augmente de m.
- Parallélisme
- Deux droites d'équations réduites sont parallèles si et seulement si elles ont la même pente.
- Intersection
- Le point commun à deux droites sécantes s'obtient en résolvant le système formé par leurs équations.
Repères
| Date | Événement |
|---|---|
| vers 1636 | Fermat montre qu'une équation du premier degré à deux inconnues représente une droite. |
| 1637 | Descartes publie La Géométrie, en appendice du Discours de la méthode. |
| 1799 | Monge publie sa Géométrie descriptive, base du dessin technique. |
| 1844 | Grassmann généralise la notion de direction avec les vecteurs. |
Pour aller plus loin
Sources et bibliographie
- Richard Courant et Herbert Robbins, What Is Mathematics?, Oxford University Press, 1941.
- Mickaël Launay, Le Grand Roman des maths, Flammarion, 2016.
- Hervé Lehning, Toutes les mathématiques du monde, Flammarion, 2017.
Mon parcours : je choisis mon rythme
- Pour les élèves qui ont besoin de plus de temps : énoncé découpé en petites questions, rappel de cours en marge, calculatrice ou tableur autorisés pendant l'entraînement, correction pas à pas en vidéo ou en classe virtuelle.
- Pour les élèves qui avancent vite : question d'approfondissement (démonstration, généralisation, programme Python à écrire), problème ouvert à rédiger et à présenter à l'oral.
Séance 1 · Équations de droites
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes avec coups de pouce.
La question du jour
Comment décrire une droite par une relation entre x et y ?
Mon plan de travail
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Je suis le lancement (ou j'écoute la capsule) et je recopie la problématique.
- 12 min → Travail autonome : Je fais l'activité 1 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 18 min → Travail autonome : Je fais l'activité 2 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 15 min → Travail à rendre : Je fais l'activité 3 et je la dépose sur l'ENT (ou j'envoie une photo) dans les trois jours.
- 10 min → Mise en commun : Je corrige avec une autre couleur et je complète la trace écrite.
Le cours à lire · Équation cartésienne et équation réduite
Un vecteur directeur d'une droite est un vecteur non nul qui en donne la direction. Un point M(x ; y) est sur la droite passant par A et dirigée par u si et seulement si AM et u sont colinéaires : det(AM, u) = 0. On obtient une équation cartésienne ax + by + c = 0 ; le vecteur (−b ; a) dirige la droite. Si b ≠ 0, on isole y : y = mx + p (équation réduite) ; m est la pente et p l'ordonnée à l'origine. Avec deux points A et B : m = (y_B − y_A)/(x_B − x_A), puis p avec les coordonnées de A. Une droite parallèle à l'axe des ordonnées a une équation x = k. Pour tracer, on place deux points.
Document 1 · La rampe d'accès
Situation-problème.
Un architecte dessine une rampe pour fauteuils roulants dans un repère (unités : mètres). Elle part du point A(0 ; 0) et arrive au point B(12 ; 0,6). La réglementation impose une pente inférieure ou égale à 5 % pour une rampe de cette longueur.
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · Chercher
12 minSupports : Document 1
Calculez.
- Pente de la droite (AB) ?
- Équation réduite de (AB) ?
- À quelle hauteur est la rampe à 8 m du départ ?
Ce qui est attendu (6 pts) : Résultats justes et justifiés
Activité 2 · S'entraîner
18 minSupports : Cours
Déterminez une équation.
- Droite passant par C(1 ; 4) et D(3 ; −2).
- Droite passant par E(2 ; 1) de vecteur directeur u(4 ; 2).
- Droite passant par F(−1 ; 5) de pente 2.
Ce qui est attendu (7 pts) : Méthode et résultats
Activité 3 · Communiquer
15 minSupports : Documents et cours
Rédigez la vérification réglementaire (6 à 8 lignes) : la rampe dessinée respecte‑t‑elle la pente maximale ? Quelle longueur horizontale faudrait‑il pour monter 0,8 m avec une pente de 5 % ? Pour bien commencer : La pente de la rampe se calcule… · Elle est donc… à la limite autorisée. · Pour une hauteur de 0,8 m, …
Ce qui est attendu (7 pts) : Raisonnement · Rédaction
Trace écrite · document à compléter (papier ou ENT)
Complète la trace écrite avec les mots de la banque, puis recopie-la dans ton cahier.
Une droite non parallèle à l'axe des ordonnées a une équation _______ y = mx + p. m est la ______ et p l'ordonnée à l'_______. Si ax + by + c = 0 est une équation de la droite, (−b ; a) est un vecteur _________.
Séance 2 · Droites parallèles, droites sécantes
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes avec coups de pouce.
La question du jour
Où et quand deux trajectoires se croisent‑elles ?
Mon plan de travail
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Je suis le lancement (ou j'écoute la capsule) et je recopie la problématique.
- 12 min → Travail autonome : Je fais l'activité 1 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 18 min → Travail autonome : Je fais l'activité 2 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 15 min → Travail à rendre : Je fais l'activité 3 et je la dépose sur l'ENT (ou j'envoie une photo) dans les trois jours.
- 10 min → Mise en commun : Je corrige avec une autre couleur et je complète la trace écrite.
Le cours à lire · Position relative et systèmes
Deux droites d'équations réduites y = mx + p et y = m'x + p' sont parallèles si et seulement si m = m' (confondues si de plus p = p'). Sinon, elles sont sécantes en un unique point dont les coordonnées vérifient les deux équations : on résout mx + p = m'x + p', puis on calcule y. Plus généralement, deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires (déterminant nul). L'intersection de deux droites traduit souvent un seuil : prix égal, rencontre de deux mobiles, équilibre entre offre et demande.
Document 1 · Deux cyclistes
Situation-problème.
Sur une route rectiligne, Lina part à 9 h du kilomètre 0 et roule à 18 km/h. Malo part à 9 h du kilomètre 30 et roule vers elle à 12 km/h. On note t le temps en heures depuis 9 h et d la position en km.
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · Chercher
12 minSupports : Document 1
Modélisez.
- Équations des positions d_L(t) et d_M(t) ?
- Quand se croisent‑ils ?
- Où ?
Ce qui est attendu (6 pts) : Résultats justes et justifiés
Activité 2 · S'entraîner
18 minSupports : Cours
Étudiez la position relative.
- y = 3x − 1 et y = 3x + 4 ?
- y = 2x + 1 et y = −x + 7 ?
- x − 2y + 3 = 0 et y = 0,5x + 1 ?
Ce qui est attendu (7 pts) : Méthode et résultats
Activité 3 · Communiquer
15 minSupports : Documents et cours
Rédigez la réponse à la question « À quelle heure et où les cyclistes se croisent‑ils ? » (6 à 8 lignes), avec le graphique GeoGebra des deux droites et une vérification. Pour bien commencer : On modélise chaque trajet par… · Les droites se coupent au point… · Les cyclistes se croisent donc…
Ce qui est attendu (7 pts) : Raisonnement · Rédaction
Trace écrite · document à compléter (papier ou ENT)
Complète la trace écrite avec les mots de la banque, puis recopie-la dans ton cahier.
Deux droites d'équations réduites sont __________ si elles ont la même pente. Sinon elles sont ________ en un unique point. Pour trouver ce point, on résout l'________ mx + p = m'x + p' puis on calcule ______.
Fiche à trous · je complète
Complète le texte avec les mots de la banque (sur papier ou dans le document de l'ENT).
Une droite non parallèle à l'axe des ordonnées a une équation réduite de la forme y = ______.
Le nombre m est la ______ ou coefficient directeur de la droite.
Deux droites d'équations réduites sont parallèles si elles ont la même ______.
Le vecteur de coordonnées (−b ; a) est un vecteur _________ de la droite d'équation ax + by + c = 0.
Ce que j'ai appris
- Déterminer une équation cartésienne ou réduite d'une droite (deux points, point et vecteur directeur, point et pente)
- Lire et interpréter la pente ; reconnaître des droites parallèles ou sécantes
- Calculer le point d'intersection de deux droites et l'interpréter dans un problème