Bonjour !
Dans cette séquence de mathématiques, tu vas chercher à répondre à la grande question écrite en haut de la page. Elle se fait en 2 séances. Pour chaque séance : lis la consigne, étudie les documents, réponds aux questions sur ta feuille ou sur l'ENT, puis recopie l'essentiel dans ton cahier. Tu peux imprimer cette page avec le bouton « Imprimer ».
À la fin, je serai capable de :
- Définir ln comme réciproque de exp et utiliser ses propriétés algébriques
- Résoudre des équations et inéquations, notamment des problèmes de seuil
- Étudier la fonction ln (dérivée, limites, croissance comparée) et des fonctions qui la contiennent
Les mots importants
Ressources de la séquence
Les notions, les repères et les pistes pour aller plus loin, utiles pour toutes les séances.
Les notions à maîtriser
- Logarithme népérien
- Pour x > 0, ln(x) est l'unique réel y tel que eʸ = x.
- Propriétés algébriques
- ln(ab) = ln a + ln b ; ln(a/b) = ln a − ln b ; ln(aⁿ) = n ln a ; ln(√a) = (ln a)/2.
- Dérivée
- ln est dérivable pour x > 0 et (ln x)' = 1/x ; ln est strictement croissante.
- Limites
- ln(x) tend vers −∞ en 0 et vers +∞ en +∞.
- Croissance comparée
- ln(x)/x tend vers 0 en +∞ ; x ln(x) tend vers 0 en 0.
- Seuil
- qⁿ ≥ a se résout avec ln en tenant compte du signe de ln q.
Repères
| Date | Événement |
|---|---|
| 1614 | Napier publie les premières tables de logarithmes. |
| 1624 | Briggs publie des logarithmes décimaux à 14 chiffres. |
| 1647 | Grégoire de Saint-Vincent relie aires sous l'hyperbole et logarithmes. |
| 1748 | Euler présente exponentielle et logarithme comme fonctions réciproques. |
Pour aller plus loin
- Lire · programmes de mathématiques de la voie générale (éduscol).
- Lire · définition consolidée de l'épreuve de spécialité (éduscol).
- Outil · calculatrice graphique GeoGebra : tracer exp, ln et la droite y = x.
Sources et bibliographie
- Jean Dieudonné (dir.), Abrégé d'histoire des mathématiques, Hermann, 1978.
- Eli Maor, e : The Story of a Number, Princeton University Press, 1994.
- Hervé Lehning, Toutes les mathématiques du monde, Flammarion, 2017.
Mon parcours : je choisis mon rythme
- Pour les élèves qui ont besoin de plus de temps : énoncé découpé en petites questions, rappel de cours en marge, calculatrice ou tableur autorisés pendant l'entraînement, correction pas à pas en vidéo ou en classe virtuelle.
- Pour les élèves qui avancent vite : question d'approfondissement (démonstration, généralisation, programme Python à écrire), problème ouvert à rédiger et à présenter à l'oral.
Séance 1 · Définition et propriétés algébriques du logarithme
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes avec coups de pouce.
La question du jour
Comment résoudre eˣ = 5 ou 1,03ⁿ ≥ 2 ?
Mon plan de travail
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Je suis le lancement (ou j'écoute la capsule) et je recopie la problématique.
- 12 min → Travail autonome : Je fais l'activité 1 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 18 min → Travail autonome : Je fais l'activité 2 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 15 min → Travail à rendre : Je fais l'activité 3 et je la dépose sur l'ENT (ou j'envoie une photo) dans les trois jours.
- 10 min → Mise en commun : Je corrige avec une autre couleur et je complète la trace écrite.
Le cours à lire · ln, réciproque de exp
La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur ℝ, à valeurs dans ]0 ; +∞[ : pour tout x > 0, l'équation eʸ = x a une unique solution, notée ln(x). Ainsi e^(ln x) = x pour x > 0 et ln(eˣ) = x pour tout réel x ; ln 1 = 0, ln e = 1. De eᵃ⁺ᵇ = eᵃ × eᵇ découle l'équation fonctionnelle ln(ab) = ln a + ln b, puis ln(1/a) = −ln a, ln(a/b) = ln a − ln b, ln(aⁿ) = n ln a. Comme ln est strictement croissante, a < b équivaut à ln a < ln b (pour a, b > 0). Pour résoudre qⁿ ≥ a, on compose par ln : n ln q ≥ ln a ; si ln q < 0 (0 < q < 1), on change le sens en divisant.
Document 1 · Le placement de 1re revisité
Situation-problème.
En première, un programme Python a montré qu'un capital placé à 3 % par an double pour la première fois au bout de 24 ans. On veut retrouver ce résultat par le calcul, sans boucle.
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · Calculer
12 minSupports : Cours
Résolvez.
- eˣ = 5.
- ln(x) = 2.
- e^(2x − 1) = 1.
Ce qui est attendu (6 pts) : Résolutions justes
Activité 2 · Raisonner
18 minSupports : Document 1
Retrouvez le seuil du document.
- Traduisez « le capital a doublé » par une inéquation.
- Résolvez-la avec ln.
- Conclusion ?
Ce qui est attendu (7 pts) : Raisonnement
Activité 3 · Démontrer
15 minSupports : Cours
Démontrez par récurrence que ln(aⁿ) = n ln(a) pour a > 0 et n entier naturel, puis que ln(√a) = ln(a)/2. Pour bien commencer : Initialisation : pour n = 0, … · Hérédité : je suppose que ln(aⁿ) = n ln(a), alors… · Pour la racine carrée, j'utilise que √a × √a = a…
Ce qui est attendu (7 pts) : Démonstration · Rédaction
Trace écrite · document à compléter (papier ou ENT)
Complète la trace écrite avec les mots de la banque, puis recopie-la dans ton cahier.
ln est la fonction réciproque de la fonction _____________. ln(ab) = ln(a) + ______ et ln(aⁿ) = n ln(a). ln étant strictement __________, elle conserve l'ordre.
Séance 2 · Étude de la fonction logarithme et croissance comparée
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes avec coups de pouce.
La question du jour
Qui gagne en +∞ : ln(x) ou x ?
Mon plan de travail
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Je suis le lancement (ou j'écoute la capsule) et je recopie la problématique.
- 12 min → Travail autonome : Je fais l'activité 1 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 18 min → Travail autonome : Je fais l'activité 2 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 15 min → Travail à rendre : Je fais l'activité 3 et je la dépose sur l'ENT (ou j'envoie une photo) dans les trois jours.
- 10 min → Mise en commun : Je corrige avec une autre couleur et je complète la trace écrite.
Le cours à lire · Dérivée, limites, croissance comparée
ln est dérivable pour x > 0 et (ln x)' = 1/x (on dérive e^(ln x) = x : ln'(x) × x = 1). Comme 1/x > 0, ln est strictement croissante. Limites : ln(x) tend vers +∞ en +∞ et vers −∞ en 0. Les courbes de exp et ln sont symétriques par rapport à la droite y = x. Croissance comparée : ln(x)/x tend vers 0 en +∞ (ln croît beaucoup moins vite que x), et x ln(x) tend vers 0 en 0. Pour une fonction composée, (ln u)' = u'/u, avec u > 0. Exemple : f(x) = x − ln x, f'(x) = (x − 1)/x, minimum f(1) = 1, donc ln x < x.
Document 1 · Exp et ln dans le même repère
Activité numérique.
Dans GeoGebra, tracez f(x) = eˣ, g(x) = ln(x) et la droite y = x. Placez un point A sur la courbe de exp et son symétrique A' par rapport à la droite. Tracez ensuite h(x) = ln(x)/x pour x allant jusqu'à 1 000.
Source : Activité construite pour la séance ; logiciel calculatrice graphique GeoGebra.
Activité 1 · Observer
12 minSupports : Document 1
Observez et conjecturez.
- Où se trouve A' ?
- Que devient h(x) quand x devient grand ?
- Conjecture sur ln x et x ?
Ce qui est attendu (6 pts) : Conjectures
Activité 2 · Démontrer
18 minSupports : Cours
Étudiez f(x) = x − ln(x) pour x > 0.
- f'(x) ?
- Variations de f ?
- Conséquence ?
Ce qui est attendu (7 pts) : Étude et conclusion
Activité 3 · Problème
15 minSupports : Cours
Étudiez f(x) = ln(x² + 1) sur ℝ : dérivée, variations, minimum, limites. Pour bien commencer : La dérivée de ln(u) est u′/u, donc… · Le signe de f′(x) est celui de… · Le minimum est atteint en…
Ce qui est attendu (7 pts) : Étude · Rédaction
Trace écrite · document à compléter (papier ou ENT)
Complète la trace écrite avec les mots de la banque, puis recopie-la dans ton cahier.
La dérivée de ln est x ↦ ______, donc ln est strictement croissante. Les courbes de exp et ln sont ___________ par rapport à la droite y = x. En +∞, ln(x)/x tend vers ______.
Fiche à trous · je complète
Complète le texte avec les mots de la banque (sur papier ou dans le document de l'ENT).
Pour tout x > 0, e^(ln x) = ______ et pour tout réel x, ln(eˣ) = x.
ln(ab) = ln(a) + ______.
La dérivée de ln est la fonction x ↦ ______.
En +∞, ln(x)/x tend vers ______.
Ce que j'ai appris
- Définir ln comme réciproque de exp et utiliser ses propriétés algébriques
- Résoudre des équations et inéquations, notamment des problèmes de seuil
- Étudier la fonction ln (dérivée, limites, croissance comparée) et des fonctions qui la contiennent