Repères pour le professeur
Objectifs et capacités
Objectifs
- Reconnaître un schéma de Bernoulli et justifier l'usage d'une loi binomiale
- Calculer P(X = k), P(X ≤ k), l'espérance et la variance
- Résoudre un problème de seuil (surréservation, au moins un succès)
Capacités travaillées (BO)
- Chercher, expérimenter (outils numériques)
- Modéliser une situation
- Représenter, changer de registre
- Raisonner, démontrer
- Calculer, mettre en oeuvre un algorithme
- Communiquer un résultat, expliquer une démarche
Notions et définitions
Repères historiques
- Huygens, *De ratiociniis in ludo aleae* (1657)
- Jacques Bernoulli, *Ars Conjectandi* (1713)
- Galton, planche à clous (XIXe siècle)
Ressources de la séquence
Ancrage dans le programme, notions, repères, débats, bibliographie et différenciation, communs à toutes les séances.
Ancrage dans le programme officiel
Ce que dit le programme : « Le schéma de Bernoulli est fondamental : succession de n épreuves identiques indépendantes à deux issues. »
Capacité attendue : « Utiliser l'expression de la loi binomiale pour résoudre un problème de seuil, de comparaison, d'optimisation relatif à des probabilités de nombre de succès. »
Exemple d'algorithme : « Problème de la surréservation. »
Histoire des mathématiques : « La parution de l'Ars Conjectandi de Jacques Bernoulli (1713), reprenant notamment d'anciens travaux de Huygens, marque une rupture dans l'histoire des probabilités. »
Épreuve de spécialité (terminale, version consolidée 2024) : écrite, 4 heures, coefficient 16. « Le sujet comporte quatre exercices indépendants les uns des autres, qui permettent d'évaluer les connaissances et compétences des candidats. » « Chaque exercice est noté sur 4 à 8 points. » (définition consolidée de l'épreuve de spécialité (éduscol)).
Notions : définitions rigoureuses
- Épreuve de Bernoulli
- Expérience à deux issues : succès (probabilité p) et échec (1 − p).
- Schéma de Bernoulli
- Répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.
- Coefficient binomial
- Nombre « k parmi n » de chemins de l'arbre comportant k succès.
- Loi binomiale
- Loi du nombre X de succès : P(X = k) = (k parmi n) × pᵏ × (1 − p)ⁿ⁻ᵏ, pour k de 0 à n.
- Espérance et variance
- E(X) = np ; V(X) = np(1 − p).
- Événement contraire
- P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − (1 − p)ⁿ.
Repères
| Date | Événement |
|---|---|
| 1654 | Pascal, Traité du triangle arithmétique (coefficients binomiaux). |
| 1657 | Huygens publie le premier traité de probabilités. |
| 1713 | Ars Conjectandi de Jacques Bernoulli (posthume) : loi des grands nombres. |
| 1867 | Inégalité de Bienaymé-Tchebychev. |
Les historiens en débat
Avec l'Ars Conjectandi, Jacques Bernoulli étudie la distribution binomiale et démontre la loi des grands nombres, qui relie fréquences et probabilité et fonde l'échantillonnage. La loi binomiale sert aujourd'hui au contrôle qualité, aux sondages, à l'épidémiologie et à la gestion des risques (surréservation des transports). Synthèse du professeur.
Pour aller plus loin
- Lire · programmes de mathématiques de la voie générale (éduscol).
- Lire · définition consolidée de l'épreuve de spécialité (éduscol).
- Outil · Basthon, Python dans le navigateur : simuler la planche de Galton.
Sources et bibliographie
- Albert Jacquard, Les Probabilités, PUF, coll. Que sais-je ?, 1974.
- Journ@l électronique d'histoire des probabilités et de la statistique (revue en ligne).
- Gerd Gigerenzer, Penser le risque, trad. fr. 2009.
Différenciation : un rythme de travail différent
- Pour les élèves qui ont besoin de plus de temps : énoncé découpé en petites questions, rappel de cours en marge, calculatrice ou tableur autorisés pendant l'entraînement, correction pas à pas en vidéo ou en classe virtuelle.
- Pour les élèves qui avancent vite : question d'approfondissement (démonstration, généralisation, programme Python à écrire), problème ouvert à rédiger et à présenter à l'oral.
Déroulé d'ensemble
| Séance | Titre | Durée | Objectif |
|---|---|---|---|
| Séance 1 | Du schéma de Bernoulli à la loi binomiale | 65 min | modéliser une répétition d'épreuves et établir la loi binomiale |
| Séance 2 | Problèmes de seuil : la surréservation | 65 min | utiliser la loi binomiale pour décider |
| Évaluation | Évaluation de fin de séquence (/20) | 55 min | Vérifier les acquis : connaissances, capacités, rédaction |
Chaque séance dure environ 55 minutes à distance : lancement en classe virtuelle ou par message sur l'ENT, recherche du problème (calculatrice, tableur, GeoGebra ou Python dans le navigateur), mise en commun, cours et trace écrite. Les élèves renvoient la fiche à trous et leur production par l'ENT ou en photo.
Séance 1 · Du schéma de Bernoulli à la loi binomiale
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.
Problématique de la séance
Combien de chemins mènent à k succès ?
Déroulé minuté à distance
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
- 12 min → Travail autonome : Activité 1 (Modéliser) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 18 min → Travail autonome : Activité 2 (Calculer) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Démontrer) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
- 10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.
Le cours développé (récit du professeur) · La loi binomiale
Une épreuve de Bernoulli a deux issues : succès (probabilité p) et échec (1 − p). Un schéma de Bernoulli répète n fois cette épreuve, de façon identique et indépendante : sur l'arbre, la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités. Un chemin avec k succès a pour probabilité pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ, et il y a « k parmi n » tels chemins (coefficient binomial). Le nombre X de succès suit la loi binomiale B(n, p) : P(X = k) = (k parmi n) × pᵏ × (1 − p)ⁿ⁻ᵏ. Relation de Pascal : (k parmi n) + (k + 1 parmi n) = (k + 1 parmi n + 1). Espérance E(X) = np, variance V(X) = np(1 − p).
Document 1 · Le contrôle de trois pièces
Situation-problème.
Dans une production, 20 % des pièces sont défectueuses. On prélève successivement 3 pièces ; la production est assez grande pour assimiler les prélèvements à des tirages avec remise. On note X le nombre de pièces défectueuses.
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · Modéliser
12 minSupports : Document 1
Construisez l'arbre.
- Pourquoi est-ce un schéma de Bernoulli ?✔ Corrigé :
3 épreuves identiques et indépendantes à deux issues (défectueuse : p = 0,2).
- Combien de chemins donnent X = 1 ? Probabilité de chacun ?✔ Corrigé :
3 chemins, chacun de probabilité 0,2 × 0,8² = 0,128.
- P(X = 1) ?✔ Corrigé :
3 × 0,128 = 0,384.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Modélisation | 6 |
| Total de l'activité | 6 |
Activité 2 · Calculer
18 minSupports : Cours
Établissez la loi de X.
- P(X = 0), P(X = 2), P(X = 3) ?✔ Corrigé :
0,512 ; 0,096 ; 0,008.
- Vérifiez que la somme vaut 1.✔ Corrigé :
0,512 + 0,384 + 0,096 + 0,008 = 1.
- E(X) par la définition, puis par np ?✔ Corrigé :
0 × 0,512 + 1 × 0,384 + 2 × 0,096 + 3 × 0,008 = 0,6 = 3 × 0,2.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Loi et espérance | 7 |
| Total de l'activité | 7 |
Activité 3 · Démontrer
15 minSupports : Cours
Démontrez la relation de Pascal par un raisonnement sur les chemins (ou par le calcul avec les factorielles), puis construisez les 6 premières lignes du triangle de Pascal. Pour bien commencer : Un chemin à k succès sur n + 1 épreuves se termine soit par… · On en déduit que… · Chaque nombre du triangle est la somme de…
Chemins : on distingue selon l'issue de la dernière épreuve ; ou calcul avec n!/(k!(n − k)!) ; triangle jusqu'à la ligne n = 5 (1 5 10 10 5 1). Rigueur.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Démonstration | 5 |
| Triangle | 2 |
| Total de l'activité | 7 |
Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)
Un schéma de Bernoulli répète n épreuves identiques et indépendantes. Le nombre de succès suit la loi binomiale B(n, p). Son espérance est E(X) = np.
Barème récapitulatif des activités notées
| Activité | Points |
|---|---|
| Activité 1 · Modéliser | 6 |
| Activité 2 · Calculer | 7 |
| Activité 3 · Démontrer | 7 |
| Total | 20 / 20 |
Séance 2 · Problèmes de seuil : la surréservation
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.
Problématique de la séance
Une compagnie peut-elle vendre plus de billets que de places ?
Déroulé minuté à distance
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
- 12 min → Travail autonome : Activité 1 (Modéliser) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 18 min → Travail autonome : Activité 2 (Calculer) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Programmer) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
- 10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.
Le cours développé (récit du professeur) · Décider avec la loi binomiale
Les compagnies de transport savent qu'une partie des passagers ne se présente pas : elles vendent parfois plus de billets que de places (surréservation). Si chaque passager se présente avec une probabilité p, indépendamment des autres, le nombre X de passagers présents parmi n billets vendus suit B(n, p). Le risque de refuser des passagers est P(X > nombre de places). La calculatrice ou un algorithme donne les probabilités cumulées P(X ≤ k). Pour un seuil « au moins un succès », on passe par l'événement contraire : P(X ≥ 1) = 1 − (1 − p)ⁿ, puis on résout avec ln. L'hypothèse d'indépendance doit être discutée (groupes, familles).
Document 1 · Un petit avion de 50 places
Situation-problème.
Une compagnie dispose d'un avion de 50 places. Elle sait que chaque passager ayant réservé se présente à l'embarquement avec une probabilité 0,95, indépendamment des autres. Elle envisage de vendre 52 billets.
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · Modéliser
12 minSupports : Document 1
Posez le modèle.
- Loi de X, nombre de passagers présents ?✔ Corrigé :
X suit B(52 ; 0,95).
- E(X) et V(X) ?✔ Corrigé :
49,4 et 2,47.
- Quel événement correspond à un problème d'embarquement ?✔ Corrigé :
X > 50, c'est-à-dire X = 51 ou X = 52.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Modélisation | 6 |
| Total de l'activité | 6 |
Activité 2 · Calculer
18 minSupports : Document 1, cours
Calculez (calculatrice).
- P(X = 52) et P(X = 51) ?✔ Corrigé :
0,95⁵² ≈ 0,069 ; 52 × 0,95⁵¹ × 0,05 ≈ 0,190.
- Risque de surréservation ?✔ Corrigé :
P(X > 50) ≈ 0,259 : environ une chance sur quatre.
- Et avec 51 billets vendus ?✔ Corrigé :
P(X = 51) = 0,95⁵¹ ≈ 0,073.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Calculs et interprétation | 7 |
| Total de l'activité | 7 |
Activité 3 · Programmer
15 minSupports : Cours
Écrivez en Python une fonction qui, pour n billets vendus, calcule P(X > 50), puis déterminez le plus grand n tel que ce risque reste inférieur à 0,1. Rédigez une recommandation à la compagnie. Pour bien commencer : Ma fonction calcule P(X > 50) en… · Le plus grand n qui convient est… · Je recommande donc à la compagnie de…
Fonction avec math.comb ; boucle sur n ; n = 51 donne environ 0,073, n = 52 environ 0,259 : on recommande 51 billets ; discussion du coût d'un refus et de l'hypothèse d'indépendance.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Programme | 5 |
| Recommandation | 2 |
| Total de l'activité | 7 |
Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)
Le nombre de passagers présents suit une loi binomiale. Le risque de surréservation est P(X > nombre de places). Pour « au moins un succès », on passe par l'événement contraire.
Barème récapitulatif des activités notées
| Activité | Points |
|---|---|
| Activité 1 · Modéliser | 6 |
| Activité 2 · Calculer | 7 |
| Activité 3 · Programmer | 7 |
| Total | 20 / 20 |
Fiche à trous · corrigé
Un schéma de Bernoulli est la répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.
Le nombre de succès suit une loi binomiale B(n, p).
L'espérance d'une loi binomiale B(n, p) est E(X) = np.
P(au moins un succès) = 1 − P(X = 0).
La version élève contient la même fiche avec une banque de mots (papier ou ENT).
Évaluation de fin de séquence (/20) · barème et corrigé
Évaluation sur 20 à faire en temps limité sur l'ENT ou sur papier, puis à renvoyer en photo ; le corrigé et le barème servent aussi à l'autoévaluation. En Bac Pro, elle est construite comme une situation de contrôle en cours de formation (problème contextualisé, compétences évaluées) ; en 1re générale, elle prépare à l'épreuve anticipée (automatismes sans calculatrice et exercices) ; en Terminale générale, aux exercices indépendants de l'épreuve de spécialité.
| N° | Question | Barème | Corrigé et critères |
|---|---|---|---|
| 1 | Un QCM comporte 10 questions à 4 réponses dont une seule juste. Un élève répond au hasard. Justifiez que le nombre X de bonnes réponses suit une loi binomiale dont vous donnerez les paramètres. | 4 pts | Chaque question : épreuve de Bernoulli (succès : bonne réponse, p = 0,25) ; 10 répétitions identiques et indépendantes ; X compte les succès : X suit B(10 ; 0,25). |
| 2 | Une machine produit des pièces dont 30 % présentent un défaut d'aspect, indépendamment les unes des autres. On prélève 10 pièces ; X est le nombre de pièces avec défaut. Calculez P(X = 2), P(X ≤ 1) et E(X), et interprétez E(X). | 8 pts | X suit B(10 ; 0,3). P(X = 2) = 45 × 0,3² × 0,7⁸ ≈ 0,233 ; P(X ≤ 1) = 0,7¹⁰ + 10 × 0,3 × 0,7⁹ ≈ 0,149 ; E(X) = 3 : en moyenne, 3 pièces sur 10 présentent un défaut. Formules, calculs, interprétation. |
| 3 | Un joueur a une probabilité 0,1 de gagner à chaque partie, les parties étant indépendantes. Combien de parties doit-il jouer au minimum pour que la probabilité de gagner au moins une fois dépasse 0,99 ? | 8 pts | P(au moins un gain) = 1 − 0,9ⁿ ≥ 0,99 ; 0,9ⁿ ≤ 0,01 ; n ≥ ln(0,01)/ln(0,9) ≈ 43,7 (changement de sens car ln 0,9 < 0) ; donc 44 parties. Événement contraire, logarithme, conclusion. |
| Total | 20 pts | ||
Pistes pour un rythme de travail différent
- Laisser deux jours de plus aux élèves qui ont peu de connexion et accepter un rendu sur papier photographié.
- Proposer la fiche à trous, un énoncé découpé en petites questions et une vidéo de correction pas à pas.
- Pour les élèves rapides : une démonstration, un programme Python à écrire ou un problème ouvert à présenter à l'oral.
- Automatismes : arbres, produits de probabilités, coefficients binomiaux à la calculatrice.
- Pour aller plus loin : simuler la planche de Galton en Python et comparer avec la loi binomiale.