Bonjour !
Dans cette séquence de mathématiques, tu vas chercher à répondre à la grande question écrite en haut de la page. Elle se fait en 2 séances. Pour chaque séance : lis la consigne, étudie les documents, réponds aux questions sur ta feuille ou sur l'ENT, puis recopie l'essentiel dans ton cahier. Tu peux imprimer cette page avec le bouton « Imprimer ».
À la fin, je serai capable de :
- Démontrer par récurrence une égalité, une inégalité ou une propriété de monotonie
- Déterminer la limite d'une suite (opérations, comparaison, suites géométriques)
- Utiliser le théorème de convergence monotone et étudier une suite récurrente uₙ₊₁ = f(uₙ)
Les mots importants
Ressources de la séquence
Les notions, les repères et les pistes pour aller plus loin, utiles pour toutes les séances.
Les notions à maîtriser
- Récurrence
- Si P(n₀) est vraie et si, pour tout n ≥ n₀, P(n) entraîne P(n + 1), alors P(n) est vraie pour tout n ≥ n₀.
- Convergence
- (uₙ) converge vers ℓ si tout intervalle ouvert contenant ℓ contient tous les termes à partir d'un certain rang.
- Comparaison
- Si uₙ ≥ vₙ et vₙ tend vers +∞, alors uₙ tend vers +∞.
- Gendarmes
- Si vₙ ≤ uₙ ≤ wₙ et (vₙ), (wₙ) tendent vers ℓ, alors uₙ tend vers ℓ.
- Suites géométriques
- qⁿ tend vers +∞ si q > 1, vers 0 si −1 < q < 1.
- Convergence monotone
- Toute suite croissante majorée converge ; toute suite croissante non majorée tend vers +∞.
Repères
| Date | Événement |
|---|---|
| 1575 | Maurolico utilise un raisonnement de proche en proche sur les entiers. |
| 1654 | Pascal emploie explicitement la récurrence dans le Traité du triangle arithmétique. |
| 1821 | Cauchy, Cours d'analyse : définition des limites. |
| 1889 | Peano fait de la récurrence un axiome des entiers naturels. |
Pour aller plus loin
Sources et bibliographie
- Jean Dieudonné, Pour l'honneur de l'esprit humain, Hachette, 1987.
- Mickaël Launay, Le Grand Roman des maths, Flammarion, 2016.
- Benoît Rittaud, Le Fabuleux Destin de √2, Le Pommier, 2006.
Mon parcours : je choisis mon rythme
- Pour les élèves qui ont besoin de plus de temps : énoncé découpé en petites questions, rappel de cours en marge, calculatrice ou tableur autorisés pendant l'entraînement, correction pas à pas en vidéo ou en classe virtuelle.
- Pour les élèves qui avancent vite : question d'approfondissement (démonstration, généralisation, programme Python à écrire), problème ouvert à rédiger et à présenter à l'oral.
Séance 1 · Le raisonnement par récurrence
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes avec coups de pouce.
La question du jour
Comment être sûr que la formule est vraie pour n = 1 000 000 ?
Mon plan de travail
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Je suis le lancement (ou j'écoute la capsule) et je recopie la problématique.
- 12 min → Travail autonome : Je fais l'activité 1 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 18 min → Travail autonome : Je fais l'activité 2 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 15 min → Travail à rendre : Je fais l'activité 3 et je la dépose sur l'ENT (ou j'envoie une photo) dans les trois jours.
- 10 min → Mise en commun : Je corrige avec une autre couleur et je complète la trace écrite.
Le cours à lire · Initialisation et hérédité
Pour démontrer qu'une propriété P(n) est vraie pour tout entier n ≥ n₀ : initialisation, on vérifie P(n₀) ; hérédité, on suppose P(n) vraie pour un entier n ≥ n₀ quelconque (hypothèse de récurrence) et on démontre P(n + 1) ; conclusion, P(n) est vraie pour tout n ≥ n₀. Image : une file infinie de dominos. On l'utilise pour une formule explicite, une inégalité (inégalité de Bernoulli : (1 + a)ⁿ ≥ 1 + na pour a > 0) ou des encadrements et la monotonie d'une suite récurrente uₙ₊₁ = f(uₙ), souvent avec les variations de f. Les deux étapes sont indispensables.
Document 1 · Le placement et la formule
Situation-problème.
Un capital de 2 000 € est placé ; chaque année on ajoute 100 € puis il rapporte 5 %. On note uₙ le capital après n années : u₀ = 2 000, uₙ₊₁ = 1,05(uₙ + 100). Un élève conjecture, à l'aide d'un tableur, que uₙ = 4 100 × 1,05ⁿ − 2 100.
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · Chercher
12 minSupports : Document 1
Testez la conjecture.
- Calculez u₁ et u₂ par la relation de récurrence.
- Calculez‑les avec la formule conjecturée.
- Les tests suffisent‑ils ?
Ce qui est attendu (6 pts) : Résultats justes et justifiés
Activité 2 · Démontrer
18 minSupports : Cours
Rédigez la récurrence.
- Initialisation ?
- Hérédité : si uₙ = 4 100 × 1,05ⁿ − 2 100, calculez uₙ₊₁.
- Démontrez l'inégalité de Bernoulli (1 + a)ⁿ ≥ 1 + na pour a > 0.
Ce qui est attendu (7 pts) : Méthode et résultats
Activité 3 · Communiquer
15 minSupports : Documents et cours
Rédigez la démonstration complète de la formule du capital, puis expliquez en 3 lignes pourquoi l'initialisation et l'hérédité sont toutes deux nécessaires. Pour bien commencer : Notons P(n) : « uₙ = … ». · Supposons P(n) vraie pour un entier n… · Sans initialisation, …
Ce qui est attendu (7 pts) : Raisonnement · Rédaction
Trace écrite · document à compléter (papier ou ENT)
Complète la trace écrite avec les mots de la banque, puis recopie-la dans ton cahier.
Une démonstration par récurrence comporte une ______________ et une ________. Dans l'hérédité, on utilise l'hypothèse de __________. L'inégalité de _________ permet d'étudier la limite de qⁿ.
Séance 2 · Limites de suites
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes avec coups de pouce.
La question du jour
Vers quelle valeur se stabilise une population régulée ?
Mon plan de travail
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Je suis le lancement (ou j'écoute la capsule) et je recopie la problématique.
- 12 min → Travail autonome : Je fais l'activité 1 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 18 min → Travail autonome : Je fais l'activité 2 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 15 min → Travail à rendre : Je fais l'activité 3 et je la dépose sur l'ENT (ou j'envoie une photo) dans les trois jours.
- 10 min → Mise en commun : Je corrige avec une autre couleur et je complète la trace écrite.
Le cours à lire · Limites et théorèmes
(uₙ) tend vers +∞ si tout intervalle [A ; +∞[ contient tous les termes à partir d'un certain rang ; elle converge vers ℓ si tout intervalle ouvert contenant ℓ contient tous les termes à partir d'un certain rang. Opérations : somme, produit, quotient (attention aux formes indéterminées « ∞ − ∞ », « 0 × ∞ », « ∞/∞ », que l'on lève en factorisant par le terme dominant). Comparaison et gendarmes. Suites géométriques : grâce à Bernoulli, qⁿ tend vers +∞ si q > 1 ; vers 0 si −1 < q < 1. Convergence monotone : une suite croissante majorée converge. Si uₙ₊₁ = f(uₙ) converge vers ℓ et f est continue, alors ℓ = f(ℓ).
Document 1 · La réserve naturelle
Situation-problème.
Une réserve compte 1 000 oiseaux. Chaque année, 20 % des oiseaux disparaissent et 300 nouveaux oiseaux arrivent. On note uₙ l'effectif l'année n : u₀ = 1 000 et uₙ₊₁ = 0,8 uₙ + 300.
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · Chercher
12 minSupports : Document 1
Conjecturez.
- u₁, u₂, u₃ ?
- Conjecture sur la limite (tableur jusqu'à n = 30) ?
- Posez vₙ = uₙ − 1 500 : nature de (vₙ) ?
Ce qui est attendu (6 pts) : Résultats justes et justifiés
Activité 2 · S'entraîner
18 minSupports : Cours
Déterminez les limites.
- uₙ = 1 500 − 500 × 0,8ⁿ.
- n² − 3n.
- (3n² + 1)/(n² + n).
Ce qui est attendu (7 pts) : Méthode et résultats
Activité 3 · Communiquer
15 minSupports : Documents et cours
Rédigez une note pour le gestionnaire de la réserve (8 lignes) : effectif à long terme, et vérifiez que l'effectif reste toujours inférieur à 1 500. Pour bien commencer : La suite auxiliaire vₙ est géométrique… · On en déduit que uₙ = … · À long terme, l'effectif…
Ce qui est attendu (7 pts) : Raisonnement · Rédaction
Trace écrite · document à compléter (papier ou ENT)
Complète la trace écrite avec les mots de la banque, puis recopie-la dans ton cahier.
Si −1 < q < 1, qⁿ tend vers ______. Une suite croissante _______ converge. Pour lever une forme indéterminée, on _________ par le terme dominant. Si uₙ₊₁ = f(uₙ) converge vers ℓ et f est continue, ℓ = ______.
Fiche à trous · je complète
Complète le texte avec les mots de la banque (sur papier ou dans le document de l'ENT).
Une récurrence comporte une ______________ et une hérédité.
Si q > 1, la suite (qⁿ) tend vers ______.
Si −1 < q < 1, la suite (qⁿ) tend vers ______.
Toute suite croissante et _______ converge.
Ce que j'ai appris
- Démontrer par récurrence une égalité, une inégalité ou une propriété de monotonie
- Déterminer la limite d'une suite (opérations, comparaison, suites géométriques)
- Utiliser le théorème de convergence monotone et étudier une suite récurrente uₙ₊₁ = f(uₙ)