Repères pour le professeur
Objectifs et capacités
Objectifs
- Déterminer des primitives avec les primitives de référence et les formules de composition
- Résoudre y' = ay et y' = ay + b, avec une condition initiale
- Modéliser refroidissement, charge d'un condensateur ou chute avec frottements
Capacités travaillées (BO)
- Chercher, expérimenter (outils numériques)
- Modéliser une situation
- Représenter, changer de registre
- Raisonner, démontrer
- Calculer, mettre en oeuvre un algorithme
- Communiquer un résultat, expliquer une démarche
Notions et définitions
Repères historiques
- Newton, méthode des fluxions (rédigée en 1671)
- Leibniz, signe ∫ (1675)
- Newton, loi du refroidissement (1701)
Ressources de la séquence
Ancrage dans le programme, notions, repères, débats, bibliographie et différenciation, communs à toutes les séances.
Ancrage dans le programme officiel
Définition : « Par définition, la recherche d'une primitive est l'opération inverse de la dérivation »
Démonstration au programme : « Résolution de l'équation différentielle y' = ay où a est un nombre réel. »
Compétences : « L'évaluation doit permettre de repérer les acquis des élèves en lien avec les six compétences mathématiques : chercher, modéliser, représenter, raisonner, calculer, communiquer. »
Épreuve de spécialité (terminale, version consolidée 2024) : écrite, 4 heures, coefficient 16. « Le sujet comporte quatre exercices indépendants les uns des autres, qui permettent d'évaluer les connaissances et compétences des candidats. » « Chaque exercice est noté sur 4 à 8 points. » (définition consolidée de l'épreuve de spécialité (éduscol)).
Notions : définitions rigoureuses
- Primitive
- F est une primitive de f sur I si F est dérivable et F' = f.
- Ensemble des primitives
- Si F est une primitive, les autres sont F + C, C constante.
- Primitives de référence
- xⁿ ↦ xⁿ⁺¹/(n + 1) (n ≠ −1) ; 1/x ↦ ln x ; eˣ ↦ eˣ ; u'eᵘ ↦ eᵘ ; u'/u ↦ ln u (u > 0) ; u'uⁿ ↦ uⁿ⁺¹/(n + 1).
- Équation différentielle
- Équation dont l'inconnue est une fonction et qui relie cette fonction à ses dérivées.
- y' = ay
- Solutions x ↦ C e^(ax), C réel.
- y' = ay + b
- Solutions x ↦ C e^(ax) − b/a (a ≠ 0) ; une condition initiale fixe C.
Repères
| Date | Événement |
|---|---|
| 1671 | Newton rédige la Méthode des fluxions (publiée en 1736). |
| 1675 | Leibniz introduit le signe ∫ dans ses manuscrits. |
| 1701 | Newton publie anonymement la loi du refroidissement. |
| 1768 | Euler propose une méthode d'approximation des solutions. |
Les historiens en débat
Newton et Leibniz ont fondé le calcul sur deux problèmes inverses : trouver la vitesse connaissant la position (dérivation), retrouver la position connaissant la vitesse (primitive). Les équations différentielles sont devenues le langage des sciences : mécanique, électricité, chimie, démographie. Synthèse du professeur.
Pour aller plus loin
Sources et bibliographie
- Ian Stewart, 17 Equations That Changed the World, Profile Books, 2012.
- Eli Maor, e: The Story of a Number, Princeton University Press, 1994.
- Ivar Ekeland, Le Calcul, l'imprévu, Seuil, 1984.
Différenciation : un rythme de travail différent
- Pour les élèves qui ont besoin de plus de temps : énoncé découpé en petites questions, rappel de cours en marge, calculatrice ou tableur autorisés pendant l'entraînement, correction pas à pas en vidéo ou en classe virtuelle.
- Pour les élèves qui avancent vite : question d'approfondissement (démonstration, généralisation, programme Python à écrire), problème ouvert à rédiger et à présenter à l'oral.
Déroulé d'ensemble
| Séance | Titre | Durée | Objectif |
|---|---|---|---|
| Séance 1 | Primitives | 65 min | retrouver une fonction à partir de sa dérivée |
| Séance 2 | Les équations y' = ay et y' = ay + b | 65 min | résoudre et modéliser |
| Évaluation | Évaluation de fin de séquence (/20) | 55 min | Vérifier les acquis : connaissances, capacités, rédaction |
Chaque séance dure environ 55 minutes à distance : lancement en classe virtuelle ou par message sur l'ENT, recherche du problème (calculatrice, tableur, GeoGebra ou Python dans le navigateur), mise en commun, cours et trace écrite. Les élèves renvoient la fiche à trous et leur production par l'ENT ou en photo.
Séance 1 · Primitives
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.
Problématique de la séance
Connaissant la vitesse, retrouver la position
Déroulé minuté à distance
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
- 12 min → Travail autonome : Activité 1 (Chercher) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 18 min → Travail autonome : Activité 2 (S'entraîner) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Communiquer) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
- 10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.
Le cours développé (récit du professeur) · Primitives
F est une primitive de f sur I si F' = f : c'est l'opération inverse de la dérivation, et une solution de l'équation différentielle y' = f. Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives (démontré avec les intégrales). Si F est une primitive, les autres sont F + C : une condition initiale F(x₀) = y₀ en sélectionne une seule. On lit les primitives de référence à l'envers du tableau des dérivées, et les formes composées : u'eᵘ a pour primitive eᵘ ; u'/u a pour primitive ln u si u > 0 ; u'uⁿ a pour primitive uⁿ⁺¹/(n + 1). Certaines fonctions, comme e^(−x²), n'ont pas de primitive exprimable avec les fonctions usuelles.
Document 1 · Le vélo électrique
Situation-problème.
Un vélo électrique démarre ; sa vitesse (en m/s) est v(t) = 0,6t pendant les 10 premières secondes. On note d(t) la distance parcourue depuis le départ, avec d(0) = 0.
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · Chercher
12 minSupports : Document 1
Retrouvez la distance.
- Quel lien entre d et v ?✔ Corrigé :
d' = v.
- Proposez une primitive de v.✔ Corrigé :
0,3t² (vérification : sa dérivée vaut 0,6t).
- Distance après 10 s ?✔ Corrigé :
d(t) = 0,3t² car d(0) = 0 ; d(10) = 30 m.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Résultats justes et justifiés | 6 |
| Total de l'activité | 6 |
Activité 2 · S'entraîner
18 minSupports : Cours
Déterminez une primitive.
- 4x³ − 2x + 5.✔ Corrigé :
x⁴ − x² + 5x.
- 3e^(3x) et e^(−x).✔ Corrigé :
e^(3x) ; −e^(−x).
- (2x + 1)(x² + x)⁴.✔ Corrigé :
(x² + x)⁵/5.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Méthode et résultats | 7 |
| Total de l'activité | 7 |
Activité 3 · Communiquer
15 minSupports : Documents et cours
Expliquez (8 lignes) pourquoi une fonction a une infinité de primitives et comment une condition initiale permet de n'en garder qu'une, en reprenant l'exemple du vélo. Pour bien commencer : Si F est une primitive, alors F + C… · Car la dérivée d'une constante… · Dans l'exemple du vélo, la condition…
Dérivée d'une constante nulle ; ensemble F + C ; condition d(0) = 0 qui fixe C = 0 ; interprétation physique (point de départ) ; clarté.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Raisonnement | 5 |
| Rédaction | 2 |
| Total de l'activité | 7 |
Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)
F est une primitive de f si F' = f. Deux primitives diffèrent d'une constante. Une primitive de u'eᵘ est eᵘ. Une condition initiale permet de choisir une seule primitive.
Barème récapitulatif des activités notées
| Activité | Points |
|---|---|
| Activité 1 · Chercher | 6 |
| Activité 2 · S'entraîner | 7 |
| Activité 3 · Communiquer | 7 |
| Total | 20 / 20 |
Séance 2 · Les équations y' = ay et y' = ay + b
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.
Problématique de la séance
À quelle vitesse un café refroidit‑il ?
Déroulé minuté à distance
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
- 12 min → Travail autonome : Activité 1 (Chercher) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 18 min → Travail autonome : Activité 2 (S'entraîner) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Démontrer) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
- 10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.
Le cours développé (récit du professeur) · Équations linéaires du premier ordre
y' = ay (a réel) : les solutions sont les fonctions x ↦ C e^(ax). Démonstration : si f est solution, (f(x) e^(−ax))' = f'(x)e^(−ax) − a f(x)e^(−ax) = 0, donc f(x)e^(−ax) est constant. y' = ay + b (a ≠ 0) : la fonction constante −b/a est solution ; f est solution si et seulement si f + b/a est solution de y' = ay ; les solutions sont donc x ↦ C e^(ax) − b/a. Une condition initiale y(x₀) = y₀ détermine C. Si a < 0, toutes les solutions tendent vers la constante −b/a : c'est l'équilibre du système (température ambiante, tension finale, vitesse limite).
Document 1 · La charge d'un condensateur
Situation-problème.
Dans un circuit RC, la tension u (en V) aux bornes d'un condensateur vérifie u' = −2u + 24 (t en secondes), et u(0) = 0.
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · Chercher
12 minSupports : Document 1
Résolvez.
- Solution constante ?✔ Corrigé :
u = 12.
- Solutions de l'équation ?✔ Corrigé :
u(t) = C e^(−2t) + 12.
- Avec u(0) = 0 ?✔ Corrigé :
C = −12 : u(t) = 12(1 − e^(−2t)).
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Résultats justes et justifiés | 6 |
| Total de l'activité | 6 |
Activité 2 · S'entraîner
18 minSupports : Cours
Résolvez.
- y' = 3y, y(0) = 2.✔ Corrigé :
y = 2e^(3x).
- y' + 0,5y = 4.✔ Corrigé :
y' = −0,5y + 4 : y = C e^(−0,5x) + 8.
- Limite de u en +∞ ? Instant où u = 11,9 V ?✔ Corrigé :
12 V ; e^(−2t) = 1/120, t = ln(120)/2 ≈ 2,4 s.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Méthode et résultats | 7 |
| Total de l'activité | 7 |
Activité 3 · Démontrer
15 minSupports : Documents et cours
Démontrez que les solutions de y' = ay sont les fonctions C e^(ax), puis rédigez l'étude du café de 80 °C dans une pièce à 20 °C avec T' = −0,1(T − 20) (8 à 10 lignes). Pour bien commencer : Soit f une solution ; je considère g(x) = f(x) e^(−ax)… · g' est nulle, donc… · Pour le café, …
Démonstration complète avec la réciproque ; T(t) = 20 + 60 e^(−0,1t) ; interprétation de l'équilibre 20 °C ; calcul d'un instant ; rigueur.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Raisonnement | 5 |
| Rédaction | 2 |
| Total de l'activité | 7 |
Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)
Les solutions de y' = ay sont les fonctions C e^(ax). La fonction constante −b/a est solution de y' = ay + b. Une condition initiale détermine la constante C. Si a < 0, les solutions tendent vers l'équilibre.
Barème récapitulatif des activités notées
| Activité | Points |
|---|---|
| Activité 1 · Chercher | 6 |
| Activité 2 · S'entraîner | 7 |
| Activité 3 · Démontrer | 7 |
| Total | 20 / 20 |
Fiche à trous · corrigé
F est une primitive de f si F' = f.
Deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante.
Les solutions de y' = ay sont les fonctions x ↦ C e^(ax).
La solution constante de y' = ay + b est y = −b/a.
La version élève contient la même fiche avec une banque de mots (papier ou ENT).
Évaluation de fin de séquence (/20) · barème et corrigé
Évaluation sur 20 à faire en temps limité sur l'ENT ou sur papier, puis à renvoyer en photo ; le corrigé et le barème servent aussi à l'autoévaluation. En Bac Pro, elle est construite comme une situation de contrôle en cours de formation (problème contextualisé, compétences évaluées) ; en 1re générale, elle prépare à l'épreuve anticipée (automatismes sans calculatrice et exercices) ; en Terminale générale, aux exercices indépendants de l'épreuve de spécialité.
| N° | Question | Barème | Corrigé et critères |
|---|---|---|---|
| 1 | Déterminez une primitive de : f(x) = 3x² − 4x + 1 ; g(x) = e^(2x) ; h(x) = 2x/(x² + 1) ; k(x) = 1/x² sur ]0 ; +∞[. | 4 pts | x³ − 2x² + x ; e^(2x)/2 ; ln(x² + 1) ; −1/x. Un point par primitive. |
| 2 | Résolvez y' = −2y + 6 et donnez la solution telle que y(0) = 1. Quelle est sa limite en +∞ ? | 8 pts | Solution constante 3 ; solutions y = C e^(−2x) + 3 ; y(0) = 1 donne C = −2 : y = 3 − 2e^(−2x), limite 3. Solution générale (4 pts), condition initiale (2 pts), limite (2 pts). |
| 3 | Un café à 80 °C est posé dans une pièce à 20 °C. Selon la loi de Newton, sa température T (°C) vérifie T' = −0,1(T − 20), t en minutes. Déterminez T(t), puis l'instant où le café atteint 50 °C. Pour bien commencer : *L'équation s'écrit sous la forme y' = ay + b avec…* · *Avec la condition initiale, …* · *Le café atteint 50 °C au bout de…* | 8 pts | T' = −0,1T + 2, solution constante 20, T = C e^(−0,1t) + 20, T(0) = 80 donne C = 60 : T(t) = 20 + 60 e^(−0,1t). 60 e^(−0,1t) = 30, t = 10 ln 2 ≈ 6,9 min. Résolution (5 pts), seuil (3 pts). |
| Total | 20 pts | ||
Pistes pour un rythme de travail différent
- Laisser deux jours de plus aux élèves qui ont peu de connexion et accepter un rendu sur papier photographié.
- Proposer la fiche à trous, un énoncé découpé en petites questions et une vidéo de correction pas à pas.
- Pour les élèves rapides : une démonstration, un programme Python à écrire ou un problème ouvert à présenter à l'oral.
- Automatismes : dérivées usuelles, propriétés de exp et ln.
- Pour aller plus loin : méthode d'Euler pour une équation différentielle, comparaison avec la solution exacte.