Bonjour !
Dans cette séquence de mathématiques, tu vas chercher à répondre à la grande question écrite en haut de la page. Elle se fait en 2 séances. Pour chaque séance : lis la consigne, étudie les documents, réponds aux questions sur ta feuille ou sur l'ENT, puis recopie l'essentiel dans ton cahier. Tu peux imprimer cette page avec le bouton « Imprimer ».
À la fin, je serai capable de :
- Définir l'intégrale d'une fonction positive comme une aire et l'approcher par la méthode des rectangles
- Calculer une intégrale avec une primitive, utiliser linéarité, Chasles et positivité
- Calculer une valeur moyenne, intégrer par parties, interpréter dans un contexte
Les mots importants
Ressources de la séquence
Les notions, les repères et les pistes pour aller plus loin, utiles pour toutes les séances.
Les notions à maîtriser
- Intégrale
- Pour f continue positive, ∫ₐᵇ f(x) dx est l'aire du domaine entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites x = a et x = b.
- Théorème fondamental
- x ↦ ∫ₐˣ f(t) dt est la primitive de f qui s'annule en a.
- Calcul
- ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a) pour toute primitive F de f.
- Propriétés
- Linéarité, Chasles, positivité : si f ≥ 0 sur [a ; b] avec a ≤ b, l'intégrale est positive ; on intègre les inégalités.
- Valeur moyenne
- μ = (1/(b − a)) ∫ₐᵇ f(x) dx.
- Intégration par parties
- ∫ₐᵇ u v' = [uv]ₐᵇ − ∫ₐᵇ u' v.
Repères
| Date | Événement |
|---|---|
| IIIe siècle av. J.‑C. | Archimède calcule l'aire d'un segment de parabole par la méthode d'exhaustion. |
| 1635 | Cavalieri publie sa méthode des indivisibles. |
| 1675 | Leibniz introduit le signe ∫, un S allongé pour « somme ». |
| 1854 | Riemann donne une définition rigoureuse de l'intégrale. |
Pour aller plus loin
Sources et bibliographie
- Jean Dieudonné (dir.), Abrégé d'histoire des mathématiques, Hermann, 1978.
- Mickaël Launay, Le Grand Roman des maths, Flammarion, 2016.
- Ian Stewart, 17 Equations That Changed the World, Profile Books, 2012.
Mon parcours : je choisis mon rythme
- Pour les élèves qui ont besoin de plus de temps : énoncé découpé en petites questions, rappel de cours en marge, calculatrice ou tableur autorisés pendant l'entraînement, correction pas à pas en vidéo ou en classe virtuelle.
- Pour les élèves qui avancent vite : question d'approfondissement (démonstration, généralisation, programme Python à écrire), problème ouvert à rédiger et à présenter à l'oral.
Séance 1 · Intégrale et aire
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes avec coups de pouce.
La question du jour
Quelle est l'aire sous la parabole ?
Mon plan de travail
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Je suis le lancement (ou j'écoute la capsule) et je recopie la problématique.
- 12 min → Travail autonome : Je fais l'activité 1 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 18 min → Travail autonome : Je fais l'activité 2 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 15 min → Travail à rendre : Je fais l'activité 3 et je la dépose sur l'ENT (ou j'envoie une photo) dans les trois jours.
- 10 min → Mise en commun : Je corrige avec une autre couleur et je complète la trace écrite.
Le cours à lire · Intégrale d'une fonction positive
Dans un repère orthogonal, l'unité d'aire est l'aire du rectangle construit sur les vecteurs unités. Pour f continue et positive sur [a ; b], ∫ₐᵇ f(x) dx est l'aire du domaine compris entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites x = a et x = b. Méthode des rectangles : on découpe [a ; b] en n intervalles de longueur (b − a)/n et on additionne les aires de rectangles ; pour f croissante, les rectangles « inférieurs » et « supérieurs » donnent un encadrement. Théorème fondamental : F(x) = ∫ₐˣ f(t) dt est la primitive de f qui s'annule en a, d'où ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a), noté [F(x)]ₐᵇ, pour toute primitive F.
Document 1 · La parabole d'Archimède
Situation-problème.
On cherche l'aire A du domaine compris entre la parabole y = x², l'axe des abscisses et les droites x = 0 et x = 1. Le professeur dépose sur l'ENT un programme Python qui calcule la somme des aires de n rectangles.
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · Chercher
12 minSupports : Document 1
Encadrez l'aire.
- Avec 4 rectangles inférieurs puis supérieurs, encadrez A.
- Que donne le programme pour n = 1 000 ?
- Conjecture ?
Ce qui est attendu (6 pts) : Résultats justes et justifiés
Activité 2 · S'entraîner
18 minSupports : Cours
Calculez avec une primitive.
- ∫₀¹ x² dx.
- ∫₁⁴ √x dx.
- ∫₀^(ln 2) eˣ dx.
Ce qui est attendu (7 pts) : Méthode et résultats
Activité 3 · Communiquer
15 minSupports : Documents et cours
Rédigez un texte (8 à 10 lignes) qui explique comment la méthode des rectangles et le calcul par primitive donnent la même aire pour la parabole, et pourquoi c'est remarquable. Pour bien commencer : Les rectangles inférieurs et supérieurs encadrent… · Quand n augmente, l'encadrement… · Le calcul avec une primitive donne…
Ce qui est attendu (7 pts) : Raisonnement · Rédaction
Trace écrite · document à compléter (papier ou ENT)
Complète la trace écrite avec les mots de la banque, puis recopie-la dans ton cahier.
Pour f continue et positive, ∫ₐᵇ f(x) dx est une ______. Si F est une primitive de f, l'intégrale vaut F(b) − ______. La méthode des __________ donne un encadrement. L'intégrale de x² entre 0 et 1 vaut ______.
Séance 2 · Propriétés, valeur moyenne et intégration par parties
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes avec coups de pouce.
La question du jour
Quelle est la puissance moyenne consommée par une machine ?
Mon plan de travail
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Je suis le lancement (ou j'écoute la capsule) et je recopie la problématique.
- 12 min → Travail autonome : Je fais l'activité 1 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 18 min → Travail autonome : Je fais l'activité 2 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 15 min → Travail à rendre : Je fais l'activité 3 et je la dépose sur l'ENT (ou j'envoie une photo) dans les trois jours.
- 10 min → Mise en commun : Je corrige avec une autre couleur et je complète la trace écrite.
Le cours à lire · Calculer avec les intégrales
On étend la définition à une fonction continue de signe quelconque par ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a) ; si f est négative, l'intégrale est l'opposé de l'aire. Linéarité : ∫(αf + βg) = α∫f + β∫g. Chasles : ∫ₐᵇ f + ∫ᵇᶜ f = ∫ₐᶜ f. Positivité : si f ≥ 0 sur [a ; b] (a ≤ b), alors ∫ₐᵇ f ≥ 0 ; on en déduit qu'on peut intégrer des inégalités. Valeur moyenne : μ = (1/(b − a)) ∫ₐᵇ f(x) dx, hauteur du rectangle de même aire. Intégration par parties : ∫ₐᵇ u(x) v'(x) dx = [u(x) v(x)]ₐᵇ − ∫ₐᵇ u'(x) v(x) dx, utile pour x eˣ, x ln x.
Document 1 · La consommation d'un atelier
Situation-problème.
La puissance électrique (en kW) consommée par un atelier entre 8 h et 18 h est modélisée par P(t) = −0,3t² + 7,8t − 30, t en heures (8 ≤ t ≤ 18). L'énergie consommée (en kWh) est l'intégrale de la puissance.
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · Chercher
12 minSupports : Document 1
Calculez.
- Une primitive de P ?
- Énergie consommée entre 8 h et 18 h ?
- Puissance moyenne ?
Ce qui est attendu (6 pts) : Résultats justes et justifiés
Activité 2 · S'entraîner
18 minSupports : Cours
Calculez.
- ∫₀² (x − 1) dx : interprétation ?
- ∫₁ᵉ ln x dx par parties (u = ln x, v' = 1).
- Encadrez ∫₀¹ e^(−x²) dx sachant que e^(−1) ≤ e^(−x²) ≤ 1 sur [0 ; 1].
Ce qui est attendu (7 pts) : Méthode et résultats
Activité 3 · Communiquer
15 minSupports : Documents et cours
Rédigez un bilan énergétique pour le responsable de l'atelier (8 lignes) : énergie journalière, puissance moyenne, coût à 0,20 € le kWh, et interprétation graphique de la valeur moyenne. Pour bien commencer : L'énergie consommée est l'intégrale… · La puissance moyenne vaut… · Graphiquement, cela correspond…
Ce qui est attendu (7 pts) : Raisonnement · Rédaction
Trace écrite · document à compléter (papier ou ENT)
Complète la trace écrite avec les mots de la banque, puis recopie-la dans ton cahier.
La valeur moyenne de f sur ______ est l'intégrale divisée par ______. Relation de _______ : ∫ₐᵇ f + ∫ᵇᶜ f = ∫ₐᶜ f. Si f est négative, l'intégrale est l'______ de l'aire. L'intégration par _______ permet de calculer ∫ x eˣ dx.
Fiche à trous · je complète
Complète le texte avec les mots de la banque (sur papier ou dans le document de l'ENT).
Si f est continue et positive sur ______, ∫ₐᵇ f(x) dx est l'______ sous la courbe entre a et b.
Si F est une primitive de f, ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − ______.
Relation de Chasles : ∫ₐᵇ f + ∫ᵇᶜ f = ______.
La valeur moyenne de f sur ______ est _________ × ∫ₐᵇ f(x) dx.
Ce que j'ai appris
- Définir l'intégrale d'une fonction positive comme une aire et l'approcher par la méthode des rectangles
- Calculer une intégrale avec une primitive, utiliser linéarité, Chasles et positivité
- Calculer une valeur moyenne, intégrer par parties, interpréter dans un contexte