Repères pour le professeur
Objectifs et capacités
Objectifs
- Définir l'intégrale d'une fonction positive comme une aire et l'approcher par la méthode des rectangles
- Calculer une intégrale avec une primitive, utiliser linéarité, Chasles et positivité
- Calculer une valeur moyenne, intégrer par parties, interpréter dans un contexte
Capacités travaillées (BO)
- Chercher, expérimenter (outils numériques)
- Modéliser une situation
- Représenter, changer de registre
- Raisonner, démontrer
- Calculer, mettre en oeuvre un algorithme
- Communiquer un résultat, expliquer une démarche
Notions et définitions
Repères historiques
- Archimède, *La Quadrature de la parabole* (IIIe siècle av. J.‑C.)
- Cavalieri, *Geometria indivisibilibus* (1635)
- Riemann, définition de l'intégrale (1854)
Ressources de la séquence
Ancrage dans le programme, notions, repères, débats, bibliographie et différenciation, communs à toutes les séances.
Ancrage dans le programme officiel
Définition : « La définition de l'intégrale s'appuie sur la notion intuitive d'aire rencontrée au collège. »
Capacité attendue : « Calculer une intégrale à l'aide d'une primitive, à l'aide d'une intégration par parties. »
Exemples d'algorithme : « Méthodes des rectangles, des milieux, des trapèzes. »
Compétences : « L'évaluation doit permettre de repérer les acquis des élèves en lien avec les six compétences mathématiques : chercher, modéliser, représenter, raisonner, calculer, communiquer. »
Épreuve de spécialité (terminale, version consolidée 2024) : écrite, 4 heures, coefficient 16. « Le sujet comporte quatre exercices indépendants les uns des autres, qui permettent d'évaluer les connaissances et compétences des candidats. » « Chaque exercice est noté sur 4 à 8 points. » (définition consolidée de l'épreuve de spécialité (éduscol)).
Notions : définitions rigoureuses
- Intégrale
- Pour f continue positive, ∫ₐᵇ f(x) dx est l'aire du domaine entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites x = a et x = b.
- Théorème fondamental
- x ↦ ∫ₐˣ f(t) dt est la primitive de f qui s'annule en a.
- Calcul
- ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a) pour toute primitive F de f.
- Propriétés
- Linéarité, Chasles, positivité : si f ≥ 0 sur [a ; b] avec a ≤ b, l'intégrale est positive ; on intègre les inégalités.
- Valeur moyenne
- μ = (1/(b − a)) ∫ₐᵇ f(x) dx.
- Intégration par parties
- ∫ₐᵇ u v' = [uv]ₐᵇ − ∫ₐᵇ u' v.
Repères
| Date | Événement |
|---|---|
| IIIe siècle av. J.‑C. | Archimède calcule l'aire d'un segment de parabole par la méthode d'exhaustion. |
| 1635 | Cavalieri publie sa méthode des indivisibles. |
| 1675 | Leibniz introduit le signe ∫, un S allongé pour « somme ». |
| 1854 | Riemann donne une définition rigoureuse de l'intégrale. |
Les historiens en débat
Calculer des aires par découpage est une idée d'Archimède ; Newton et Leibniz découvrent que ce problème est l'inverse de celui des tangentes, ce qui ramène le calcul d'aires au calcul de primitives. Le programme fait dialoguer discret et continu : sommes de rectangles, intégrales exactes et encadrements. Synthèse du professeur.
Pour aller plus loin
Sources et bibliographie
- Jean Dieudonné (dir.), Abrégé d'histoire des mathématiques, Hermann, 1978.
- Mickaël Launay, Le Grand Roman des maths, Flammarion, 2016.
- Ian Stewart, 17 Equations That Changed the World, Profile Books, 2012.
Différenciation : un rythme de travail différent
- Pour les élèves qui ont besoin de plus de temps : énoncé découpé en petites questions, rappel de cours en marge, calculatrice ou tableur autorisés pendant l'entraînement, correction pas à pas en vidéo ou en classe virtuelle.
- Pour les élèves qui avancent vite : question d'approfondissement (démonstration, généralisation, programme Python à écrire), problème ouvert à rédiger et à présenter à l'oral.
Déroulé d'ensemble
| Séance | Titre | Durée | Objectif |
|---|---|---|---|
| Séance 1 | Intégrale et aire | 65 min | approcher une aire par des rectangles et la calculer avec une primitive |
| Séance 2 | Propriétés, valeur moyenne et intégration par parties | 65 min | calculer et interpréter des intégrales dans des contextes variés |
| Évaluation | Évaluation de fin de séquence (/20) | 55 min | Vérifier les acquis : connaissances, capacités, rédaction |
Chaque séance dure environ 55 minutes à distance : lancement en classe virtuelle ou par message sur l'ENT, recherche du problème (calculatrice, tableur, GeoGebra ou Python dans le navigateur), mise en commun, cours et trace écrite. Les élèves renvoient la fiche à trous et leur production par l'ENT ou en photo.
Séance 1 · Intégrale et aire
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.
Problématique de la séance
Quelle est l'aire sous la parabole ?
Déroulé minuté à distance
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
- 12 min → Travail autonome : Activité 1 (Chercher) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 18 min → Travail autonome : Activité 2 (S'entraîner) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Communiquer) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
- 10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.
Le cours développé (récit du professeur) · Intégrale d'une fonction positive
Dans un repère orthogonal, l'unité d'aire est l'aire du rectangle construit sur les vecteurs unités. Pour f continue et positive sur [a ; b], ∫ₐᵇ f(x) dx est l'aire du domaine compris entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites x = a et x = b. Méthode des rectangles : on découpe [a ; b] en n intervalles de longueur (b − a)/n et on additionne les aires de rectangles ; pour f croissante, les rectangles « inférieurs » et « supérieurs » donnent un encadrement. Théorème fondamental : F(x) = ∫ₐˣ f(t) dt est la primitive de f qui s'annule en a, d'où ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a), noté [F(x)]ₐᵇ, pour toute primitive F.
Document 1 · La parabole d'Archimède
Situation-problème.
On cherche l'aire A du domaine compris entre la parabole y = x², l'axe des abscisses et les droites x = 0 et x = 1. Le professeur dépose sur l'ENT un programme Python qui calcule la somme des aires de n rectangles.
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · Chercher
12 minSupports : Document 1
Encadrez l'aire.
- Avec 4 rectangles inférieurs puis supérieurs, encadrez A.✔ Corrigé :
(0 + 1 + 4 + 9)/64 ≈ 0,219 et (1 + 4 + 9 + 16)/64 ≈ 0,469.
- Que donne le programme pour n = 1 000 ?✔ Corrigé :
Environ 0,3328 et 0,3338.
- Conjecture ?✔ Corrigé :
A = 1/3.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Résultats justes et justifiés | 6 |
| Total de l'activité | 6 |
Activité 2 · S'entraîner
18 minSupports : Cours
Calculez avec une primitive.
- ∫₀¹ x² dx.✔ Corrigé :
[x³/3]₀¹ = 1/3.
- ∫₁⁴ √x dx.✔ Corrigé :
[(2/3)x^(3/2)]₁⁴ = 16/3 − 2/3 = 14/3.
- ∫₀^(ln 2) eˣ dx.✔ Corrigé :
2 − 1 = 1.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Méthode et résultats | 7 |
| Total de l'activité | 7 |
Activité 3 · Communiquer
15 minSupports : Documents et cours
Rédigez un texte (8 à 10 lignes) qui explique comment la méthode des rectangles et le calcul par primitive donnent la même aire pour la parabole, et pourquoi c'est remarquable. Pour bien commencer : Les rectangles inférieurs et supérieurs encadrent… · Quand n augmente, l'encadrement… · Le calcul avec une primitive donne…
Encadrement explicite ; convergence vers 1/3 ; calcul exact [x³/3] ; lien aire et primitive (théorème fondamental) ; référence à Archimède ; clarté.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Raisonnement | 5 |
| Rédaction | 2 |
| Total de l'activité | 7 |
Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)
Pour f continue et positive, ∫ₐᵇ f(x) dx est une aire. Si F est une primitive de f, l'intégrale vaut F(b) − F(a). La méthode des rectangles donne un encadrement. L'intégrale de x² entre 0 et 1 vaut 1/3.
Barème récapitulatif des activités notées
| Activité | Points |
|---|---|
| Activité 1 · Chercher | 6 |
| Activité 2 · S'entraîner | 7 |
| Activité 3 · Communiquer | 7 |
| Total | 20 / 20 |
Séance 2 · Propriétés, valeur moyenne et intégration par parties
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.
Problématique de la séance
Quelle est la puissance moyenne consommée par une machine ?
Déroulé minuté à distance
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
- 12 min → Travail autonome : Activité 1 (Chercher) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 18 min → Travail autonome : Activité 2 (S'entraîner) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Communiquer) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
- 10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.
Le cours développé (récit du professeur) · Calculer avec les intégrales
On étend la définition à une fonction continue de signe quelconque par ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a) ; si f est négative, l'intégrale est l'opposé de l'aire. Linéarité : ∫(αf + βg) = α∫f + β∫g. Chasles : ∫ₐᵇ f + ∫ᵇᶜ f = ∫ₐᶜ f. Positivité : si f ≥ 0 sur [a ; b] (a ≤ b), alors ∫ₐᵇ f ≥ 0 ; on en déduit qu'on peut intégrer des inégalités. Valeur moyenne : μ = (1/(b − a)) ∫ₐᵇ f(x) dx, hauteur du rectangle de même aire. Intégration par parties : ∫ₐᵇ u(x) v'(x) dx = [u(x) v(x)]ₐᵇ − ∫ₐᵇ u'(x) v(x) dx, utile pour x eˣ, x ln x.
Document 1 · La consommation d'un atelier
Situation-problème.
La puissance électrique (en kW) consommée par un atelier entre 8 h et 18 h est modélisée par P(t) = −0,3t² + 7,8t − 30, t en heures (8 ≤ t ≤ 18). L'énergie consommée (en kWh) est l'intégrale de la puissance.
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · Chercher
12 minSupports : Document 1
Calculez.
- Une primitive de P ?✔ Corrigé :
−0,1t³ + 3,9t² − 30t.
- Énergie consommée entre 8 h et 18 h ?✔ Corrigé :
F(18) − F(8) = (−583,2 + 1 263,6 − 540) − (−51,2 + 249,6 − 240) = 140,4 + 41,6 = 182 kWh.
- Puissance moyenne ?✔ Corrigé :
182/10 = 18,2 kW.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Résultats justes et justifiés | 6 |
| Total de l'activité | 6 |
Activité 2 · S'entraîner
18 minSupports : Cours
Calculez.
- ∫₀² (x − 1) dx : interprétation ?✔ Corrigé :
0 : les aires au‑dessus et au‑dessous se compensent.
- ∫₁ᵉ ln x dx par parties (u = ln x, v' = 1).✔ Corrigé :
[x ln x]₁ᵉ − ∫₁ᵉ 1 dx = e − (e − 1) = 1.
- Encadrez ∫₀¹ e^(−x²) dx sachant que e^(−1) ≤ e^(−x²) ≤ 1 sur [0 ; 1].✔ Corrigé :
Entre e^(−1) ≈ 0,37 et 1.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Méthode et résultats | 7 |
| Total de l'activité | 7 |
Activité 3 · Communiquer
15 minSupports : Documents et cours
Rédigez un bilan énergétique pour le responsable de l'atelier (8 lignes) : énergie journalière, puissance moyenne, coût à 0,20 € le kWh, et interprétation graphique de la valeur moyenne. Pour bien commencer : L'énergie consommée est l'intégrale… · La puissance moyenne vaut… · Graphiquement, cela correspond…
182 kWh ; 18,2 kW ; coût 36,40 € ; rectangle de même aire ; unités ; rédaction claire.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Raisonnement | 5 |
| Rédaction | 2 |
| Total de l'activité | 7 |
Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)
La valeur moyenne de f sur a ; b est l'intégrale divisée par b − a. Relation de Chasles : ∫ₐᵇ f + ∫ᵇᶜ f = ∫ₐᶜ f. Si f est négative, l'intégrale est l'opposé de l'aire. L'intégration par parties permet de calculer ∫ x eˣ dx.
Barème récapitulatif des activités notées
| Activité | Points |
|---|---|
| Activité 1 · Chercher | 6 |
| Activité 2 · S'entraîner | 7 |
| Activité 3 · Communiquer | 7 |
| Total | 20 / 20 |
Fiche à trous · corrigé
Si f est continue et positive sur a ; b, ∫ₐᵇ f(x) dx est l'aire sous la courbe entre a et b.
Si F est une primitive de f, ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a).
Relation de Chasles : ∫ₐᵇ f + ∫ᵇᶜ f = ∫ₐᶜ f.
La valeur moyenne de f sur a ; b est 1/(b − a) × ∫ₐᵇ f(x) dx.
La version élève contient la même fiche avec une banque de mots (papier ou ENT).
Évaluation de fin de séquence (/20) · barème et corrigé
Évaluation sur 20 à faire en temps limité sur l'ENT ou sur papier, puis à renvoyer en photo ; le corrigé et le barème servent aussi à l'autoévaluation. En Bac Pro, elle est construite comme une situation de contrôle en cours de formation (problème contextualisé, compétences évaluées) ; en 1re générale, elle prépare à l'épreuve anticipée (automatismes sans calculatrice et exercices) ; en Terminale générale, aux exercices indépendants de l'épreuve de spécialité.
| N° | Question | Barème | Corrigé et critères |
|---|---|---|---|
| 1 | Calculez : ∫₀² (3x² + 1) dx ; ∫₀¹ eˣ dx ; ∫₁ᵉ (1/x) dx ; ∫₋₁¹ x³ dx. | 4 pts | 8 + 2 = 10 ; e − 1 ; 1 ; 0. Un point par intégrale. |
| 2 | La vitesse d'un train qui freine est v(t) = 30 − 1,5t (m/s) pour 0 ≤ t ≤ 20. Calculez la distance de freinage et la vitesse moyenne pendant le freinage. | 8 pts | ∫₀²⁰ (30 − 1,5t) dt = [30t − 0,75t²]₀²⁰ = 600 − 300 = 300 m ; vitesse moyenne 300/20 = 15 m/s. Primitive (3 pts), calcul (3 pts), moyenne (2 pts). |
| 3 | Calculez I = ∫₀¹ x eˣ dx par une intégration par parties, puis interprétez I comme une aire. Rédigez. Pour bien commencer : *Je pose u(x) = … et v'(x) = …* · *La formule d'intégration par parties donne…* · *Comme x eˣ est positive sur [0 ; 1], …* | 8 pts | u = x, v' = eˣ : I = [x eˣ]₀¹ − ∫₀¹ eˣ dx = e − (e − 1) = 1. La fonction est positive sur [0 ; 1] : l'aire sous la courbe vaut 1 unité d'aire. Formule (3 pts), calcul (3 pts), interprétation (2 pts). |
| Total | 20 pts | ||
Pistes pour un rythme de travail différent
- Laisser deux jours de plus aux élèves qui ont peu de connexion et accepter un rendu sur papier photographié.
- Proposer la fiche à trous, un énoncé découpé en petites questions et une vidéo de correction pas à pas.
- Pour les élèves rapides : une démonstration, un programme Python à écrire ou un problème ouvert à présenter à l'oral.
- Automatismes : primitives usuelles, calcul de F(b) − F(a).
- Pour aller plus loin : encadrer ln 2 par la méthode des rectangles avec n rectangles, en Python.