Bonjour !
Dans cette séquence de mathématiques, tu vas chercher à répondre à la grande question écrite en haut de la page. Elle se fait en 2 séances. Pour chaque séance : lis la consigne, étudie les documents, réponds aux questions sur ta feuille ou sur l'ENT, puis recopie l'essentiel dans ton cahier. Tu peux imprimer cette page avec le bouton « Imprimer ».
À la fin, je serai capable de :
- Utiliser la linéarité de l'espérance et l'additivité de la variance pour des variables indépendantes
- Appliquer l'inégalité de Bienaymé‑Tchebychev et l'inégalité de concentration
- Comprendre la loi des grands nombres et déterminer une taille d'échantillon
Les mots importants
Ressources de la séquence
Les notions, les repères et les pistes pour aller plus loin, utiles pour toutes les séances.
Les notions à maîtriser
- Linéarité de l'espérance
- E(X + Y) = E(X) + E(Y) et E(aX) = aE(X), sans hypothèse d'indépendance.
- Variance d'une somme
- Si X et Y sont indépendantes, V(X + Y) = V(X) + V(Y) ; V(aX) = a²V(X).
- Échantillon
- n variables X₁, …, Xₙ indépendantes de même loi ; Sₙ = X₁ + … + Xₙ, Mₙ = Sₙ/n ; E(Mₙ) = μ, V(Mₙ) = V(X)/n.
- Bienaymé‑Tchebychev
- P(|X − E(X)| ≥ δ) ≤ V(X)/δ² pour δ > 0.
- Concentration
- P(|Mₙ − μ| ≥ δ) ≤ V(X)/(nδ²).
- Loi des grands nombres
- Pour tout δ > 0, P(|Mₙ − μ| ≥ δ) tend vers 0 quand n tend vers +∞.
Repères
| Date | Événement |
|---|---|
| 1713 | L'Ars conjectandi de Jacques Bernoulli énonce la loi des grands nombres. |
| 1853 | Bienaymé établit l'inégalité, publiée en 1867. |
| 1867 | Tchebychev la démontre indépendamment. |
| 1933 | Kolmogorov fonde axiomatiquement le calcul des probabilités. |
Pour aller plus loin
Sources et bibliographie
- Ian Hacking, L'Émergence de la probabilité, Seuil, 2002.
- David Salsburg, The Lady Tasting Tea, W. H. Freeman, 2001.
- Darrell Huff, How to Lie with Statistics, W. W. Norton, 1954.
Mon parcours : je choisis mon rythme
- Pour les élèves qui ont besoin de plus de temps : énoncé découpé en petites questions, rappel de cours en marge, calculatrice ou tableur autorisés pendant l'entraînement, correction pas à pas en vidéo ou en classe virtuelle.
- Pour les élèves qui avancent vite : question d'approfondissement (démonstration, généralisation, programme Python à écrire), problème ouvert à rédiger et à présenter à l'oral.
Séance 1 · Sommes de variables aléatoires
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes avec coups de pouce.
La question du jour
Combien de temps faut‑il pour un parcours en plusieurs étapes ?
Mon plan de travail
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Je suis le lancement (ou j'écoute la capsule) et je recopie la problématique.
- 12 min → Travail autonome : Je fais l'activité 1 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 18 min → Travail autonome : Je fais l'activité 2 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 15 min → Travail à rendre : Je fais l'activité 3 et je la dépose sur l'ENT (ou j'envoie une photo) dans les trois jours.
- 10 min → Mise en commun : Je corrige avec une autre couleur et je complète la trace écrite.
Le cours à lire · Linéarité et additivité
Pour deux variables aléatoires X et Y sur le même univers, E(X + Y) = E(X) + E(Y) et E(aX + b) = aE(X) + b : la linéarité permet de calculer une espérance sans connaître la loi. Si X et Y sont indépendantes, V(X + Y) = V(X) + V(Y) ; en général V(aX) = a²V(X). Application : une variable binomiale S de paramètres n et p est la somme de n variables de Bernoulli indépendantes, d'où E(S) = np et V(S) = np(1 − p). Pour un échantillon X₁, …, Xₙ de même loi que X (espérance μ, variance V), la somme Sₙ a pour espérance nμ et variance nV ; la moyenne Mₙ = Sₙ/n a pour espérance μ et variance V/n.
Document 1 · La livraison en trois étapes
Situation-problème.
Un livreur effectue trois étapes indépendantes. Les durées (en minutes) ont pour espérances 12, 20 et 8 et pour écarts types 3, 4 et 2.
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · Chercher
12 minSupports : Document 1
Calculez.
- Durée totale moyenne ?
- Variance et écart type de la durée totale ?
- Pourquoi ne pas additionner les écarts types (3 + 4 + 2 = 9) ?
Ce qui est attendu (6 pts) : Résultats justes et justifiés
Activité 2 · S'entraîner
18 minSupports : Cours
Appliquez.
- S ∼ B(50 ; 0,3) : E(S), V(S).
- Moyenne M de 25 lancers d'un dé : E(M), V(M) (V(X) = 35/12).
- E(X − Y) et V(X − Y) pour X, Y indépendantes ?
Ce qui est attendu (7 pts) : Méthode et résultats
Activité 3 · Communiquer
15 minSupports : Documents et cours
Rédigez une note pour la plateforme de livraison (8 lignes) : durée moyenne, dispersion, et pourquoi la dispersion relative diminue quand on regroupe beaucoup de livraisons. Pour bien commencer : La durée totale a pour espérance… · Grâce à l'indépendance, la variance… · Pour n livraisons, la moyenne…
Ce qui est attendu (7 pts) : Raisonnement · Rédaction
Trace écrite · document à compléter (papier ou ENT)
Complète la trace écrite avec les mots de la banque, puis recopie-la dans ton cahier.
L'espérance d'une somme est la ______ des espérances. Pour des variables indépendantes, les _________ s'additionnent. La moyenne Mₙ d'un échantillon a pour variance ______. Une variable binomiale B(n ; p) a pour espérance ______.
Séance 2 · Concentration et loi des grands nombres
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes avec coups de pouce.
La question du jour
Combien de personnes interroger pour un sondage fiable ?
Mon plan de travail
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Je suis le lancement (ou j'écoute la capsule) et je recopie la problématique.
- 12 min → Travail autonome : Je fais l'activité 1 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 18 min → Travail autonome : Je fais l'activité 2 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 15 min → Travail à rendre : Je fais l'activité 3 et je la dépose sur l'ENT (ou j'envoie une photo) dans les trois jours.
- 10 min → Mise en commun : Je corrige avec une autre couleur et je complète la trace écrite.
Le cours à lire · Inégalités de concentration
Inégalité de Bienaymé‑Tchebychev : pour tout δ > 0, P(|X − E(X)| ≥ δ) ≤ V(X)/δ² ; elle montre que la variance contrôle la dispersion (avec δ = 2σ, la probabilité d'un écart d'au moins deux écarts types est au plus 1/4). Appliquée à Mₙ : inégalité de concentration P(|Mₙ − μ| ≥ δ) ≤ V(X)/(nδ²). Quand n tend vers +∞, ce majorant tend vers 0 : c'est la loi (faible) des grands nombres. Pour une proportion, X suit une loi de Bernoulli de variance p(1 − p) ≤ 1/4 : on choisit n pour que 1/(4nδ²) soit inférieur au risque accepté. Ces majorations sont prudentes : la réalité est souvent bien meilleure.
Document 1 · Le sondage
Situation-problème.
Un institut veut estimer la proportion p de lycéens favorables à un nouveau calendrier, avec une précision de 0,05 et un risque d'erreur au plus égal à 10 %.
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · Chercher
12 minSupports : Document 1
Dimensionnez.
- Écrivez l'inégalité de concentration pour Mₙ.
- Majorez p(1 − p).
- Taille n suffisante ?
Ce qui est attendu (6 pts) : Résultats justes et justifiés
Activité 2 · Programmer
18 minSupports : Cours
Étudiez un programme Python qui simule N = 1 000 échantillons de taille n = 1 000 avec p = 0,4 et compte la proportion d'échantillons pour lesquels |Mₙ − 0,4| ≥ 0,05.
- Valeur garantie par l'inégalité ?
- Ordre de grandeur observé en simulation ?
- Que montre la simulation quand n augmente ?
Ce qui est attendu (7 pts) : Méthode et résultats
Activité 3 · Communiquer
15 minSupports : Documents et cours
Rédigez un encadré pour une affiche de vulgarisation (8 à 10 lignes) : « Pourquoi peut‑on se fier à un sondage ? » avec la loi des grands nombres et la taille d'échantillon calculée. Pour bien commencer : Plus l'échantillon est grand, plus… · L'inégalité de concentration garantit que… · Attention cependant : …
Ce qui est attendu (7 pts) : Raisonnement · Rédaction
Trace écrite · document à compléter (papier ou ENT)
Complète la trace écrite avec les mots de la banque, puis recopie-la dans ton cahier.
L'inégalité de Bienaymé‑Tchebychev majore la probabilité d'un écart par _______. L'inégalité de _____________ s'applique à la moyenne d'un échantillon. Quand n tend vers +∞, le majorant tend vers ______. Pour une proportion, la variance est au plus ______.
Fiche à trous · je complète
Complète le texte avec les mots de la banque (sur papier ou dans le document de l'ENT).
Pour toutes variables aléatoires X et Y, E(X + Y) = E(X) + ______.
Si X et Y sont indépendantes, V(X + Y) = V(X) + ______.
La variance de la moyenne d'un échantillon de taille n vaut ______.
Selon la loi des grands nombres, la probabilité que |Mₙ − μ| ≥ δ tend vers ______.
Ce que j'ai appris
- Utiliser la linéarité de l'espérance et l'additivité de la variance pour des variables indépendantes
- Appliquer l'inégalité de Bienaymé‑Tchebychev et l'inégalité de concentration
- Comprendre la loi des grands nombres et déterminer une taille d'échantillon