Sommes de variables aléatoires, concentration et loi des grands nombres · version prof

Repères pour le professeur

Voie · niveauLycée général · Terminale

DisciplineMathématiques

Programme officielProgramme de spécialité de mathématiques de Terminale générale, BO spécial n°8 du 25 juillet 2019, applicable en 2026-2027 ; le nouveau programme entre en Terminale à la rentrée 2027.

Place dans le programmeProgramme de spécialité de mathématiques de terminale générale (BO spécial n°8 du 25 juillet 2019, applicable en terminale en 2026-2027 ; le nouveau programme du BO du 2 avril 2026 entre en terminale à la rentrée 2027), partie « Probabilités », sections « Sommes de variables aléatoires » et « Concentration, loi des grands nombres »

Durée totale2 séances + 1 évaluation ≈ 3 h 05

ModalitéEnseignement à distance : classe virtuelle + travail autonome + rendu sur l'ENT

Objectifs et capacités

Objectifs

Utiliser la linéarité de l'espérance et l'additivité de la variance pour des variables indépendantes
Appliquer l'inégalité de Bienaymé‑Tchebychev et l'inégalité de concentration
Comprendre la loi des grands nombres et déterminer une taille d'échantillon

Capacités travaillées (BO)

Chercher, expérimenter (outils numériques)
Modéliser une situation
Représenter, changer de registre
Raisonner, démontrer
Calculer, mettre en oeuvre un algorithme
Communiquer un résultat, expliquer une démarche

Notions et définitions

somme de variables aléatoires, E(X + Y)variance d'une somme de variables indépendantesmoyenne d'un échantillon Mₙ, V(Mₙ) = V(X)/ninégalité de Bienaymé‑Tchebychevinégalité de concentration, loi des grands nombres

Repères historiques

Jacques Bernoulli, *Ars conjectandi* (1713) : le « théorème d'or »
Bienaymé (1853) et Tchebychev (1867)
Kolmogorov, loi forte des grands nombres (1930)

Ressources de la séquence

Ancrage dans le programme, notions, repères, débats, bibliographie et différenciation, communs à toutes les séances.

Ancrage dans le programme officiel

Linéarité : « La linéarité de l'espérance donne un outil très puissant permettant de déterminer l'espérance d'une variable aléatoire sans avoir à en déterminer la loi. »

Concentration : « Dans la troisième section, l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev explicite le rôle de la variance comme indicateur de dispersion. »

Compétences : « L'évaluation doit permettre de repérer les acquis des élèves en lien avec les six compétences mathématiques : chercher, modéliser, représenter, raisonner, calculer, communiquer. »

Épreuve de spécialité (terminale, version consolidée 2024) : écrite, 4 heures, coefficient 16. « Le sujet comporte quatre exercices indépendants les uns des autres, qui permettent d'évaluer les connaissances et compétences des candidats. » « Chaque exercice est noté sur 4 à 8 points. » (définition consolidée de l'épreuve de spécialité (éduscol)).

Notions : définitions rigoureuses

Linéarité de l'espérance: E(X + Y) = E(X) + E(Y) et E(aX) = aE(X), sans hypothèse d'indépendance.
Variance d'une somme: Si X et Y sont indépendantes, V(X + Y) = V(X) + V(Y) ; V(aX) = a²V(X).
Échantillon: n variables X₁, …, Xₙ indépendantes de même loi ; Sₙ = X₁ + … + Xₙ, Mₙ = Sₙ/n ; E(Mₙ) = μ, V(Mₙ) = V(X)/n.
Bienaymé‑Tchebychev: P(|X − E(X)| ≥ δ) ≤ V(X)/δ² pour δ > 0.
Concentration: P(|Mₙ − μ| ≥ δ) ≤ V(X)/(nδ²).
Loi des grands nombres: Pour tout δ > 0, P(|Mₙ − μ| ≥ δ) tend vers 0 quand n tend vers +∞.

Repères

Date	Événement
1713	L'Ars conjectandi de Jacques Bernoulli énonce la loi des grands nombres.
1853	Bienaymé établit l'inégalité, publiée en 1867.
1867	Tchebychev la démontre indépendamment.
1933	Kolmogorov fonde axiomatiquement le calcul des probabilités.

Les historiens en débat

La loi des grands nombres, « théorème d'or » de Jacques Bernoulli, justifie qu'on estime une probabilité par une fréquence et qu'on étudie une population par un échantillon. L'inégalité de Bienaymé‑Tchebychev donne une première mesure du risque d'erreur ; elle est grossière mais universelle, et explique le facteur 1/√n de la statistique. Synthèse du professeur.

Pour aller plus loin

Lire · programmes de mathématiques de la voie générale (éduscol).
Lire · définition consolidée de l'épreuve de spécialité (éduscol).
Outil · calculatrice graphique GeoGebra.

Sources et bibliographie

Ian Hacking, L'Émergence de la probabilité, Seuil, 2002.
David Salsburg, The Lady Tasting Tea, W. H. Freeman, 2001.
Darrell Huff, How to Lie with Statistics, W. W. Norton, 1954.

Différenciation : un rythme de travail différent

Pour les élèves qui ont besoin de plus de temps : énoncé découpé en petites questions, rappel de cours en marge, calculatrice ou tableur autorisés pendant l'entraînement, correction pas à pas en vidéo ou en classe virtuelle.
Pour les élèves qui avancent vite : question d'approfondissement (démonstration, généralisation, programme Python à écrire), problème ouvert à rédiger et à présenter à l'oral.

Déroulé d'ensemble

Séance	Titre	Durée	Objectif
Séance 1	Sommes de variables aléatoires	65 min	calculer espérance et variance d'une somme
Séance 2	Concentration et loi des grands nombres	65 min	mesurer le risque d'écart et dimensionner un échantillon
Évaluation	Évaluation de fin de séquence (/20)	55 min	Vérifier les acquis : connaissances, capacités, rédaction

Chaque séance dure environ 55 minutes à distance : lancement en classe virtuelle ou par message sur l'ENT, recherche du problème (calculatrice, tableur, GeoGebra ou Python dans le navigateur), mise en commun, cours et trace écrite. Les élèves renvoient la fiche à trous et leur production par l'ENT ou en photo.

Séance 1 · Sommes de variables aléatoires

65 min

Séance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.

Problématique de la séance

Combien de temps faut‑il pour un parcours en plusieurs étapes ?

Déroulé minuté à distance

10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
12 min → Travail autonome : Activité 1 (Chercher) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
18 min → Travail autonome : Activité 2 (S'entraîner) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Communiquer) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.

Le cours développé (récit du professeur) · Linéarité et additivité

Pour deux variables aléatoires X et Y sur le même univers, E(X + Y) = E(X) + E(Y) et E(aX + b) = aE(X) + b : la linéarité permet de calculer une espérance sans connaître la loi. Si X et Y sont indépendantes, V(X + Y) = V(X) + V(Y) ; en général V(aX) = a²V(X). Application : une variable binomiale S de paramètres n et p est la somme de n variables de Bernoulli indépendantes, d'où E(S) = np et V(S) = np(1 − p). Pour un échantillon X₁, …, Xₙ de même loi que X (espérance μ, variance V), la somme Sₙ a pour espérance nμ et variance nV ; la moyenne Mₙ = Sₙ/n a pour espérance μ et variance V/n.

Document 1 · La livraison en trois étapes

Situation-problème.

Un livreur effectue trois étapes indépendantes. Les durées (en minutes) ont pour espérances 12, 20 et 8 et pour écarts types 3, 4 et 2.

Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).

Activité 1 · Chercher

12 min

Essentiel

Supports : Document 1

Consigne :

Calculez.

Durée totale moyenne ?
✔ Corrigé :
40 min.
Variance et écart type de la durée totale ?
✔ Corrigé :
9 + 16 + 4 = 29 ; σ ≈ 5,4 min.
Pourquoi ne pas additionner les écarts types (3 + 4 + 2 = 9) ?
✔ Corrigé :
Ce sont les variances qui s'additionnent pour des variables indépendantes.

Critère de réussite	Points
Résultats justes et justifiés	6
Total de l'activité	6

Activité 2 · S'entraîner

18 min

Essentiel

Supports : Cours

Consigne :

Appliquez.

S ∼ B(50 ; 0,3) : E(S), V(S).
✔ Corrigé :
15 ; 10,5.
Moyenne M de 25 lancers d'un dé : E(M), V(M) (V(X) = 35/12).
✔ Corrigé :
3,5 ; 35/300 ≈ 0,117.
E(X − Y) et V(X − Y) pour X, Y indépendantes ?
✔ Corrigé :
E(X) − E(Y) ; V(X) + V(Y).

Critère de réussite	Points
Méthode et résultats	7
Total de l'activité	7

Activité 3 · Communiquer

15 min

Travail à rendre

Supports : Documents et cours

Consigne :

Rédigez une note pour la plateforme de livraison (8 lignes) : durée moyenne, dispersion, et pourquoi la dispersion relative diminue quand on regroupe beaucoup de livraisons. Pour bien commencer : La durée totale a pour espérance… · Grâce à l'indépendance, la variance… · Pour n livraisons, la moyenne…

✔ Corrigé rédigé :

Espérance 40, écart type ≈ 5,4 ; additivité des variances ; V(Mₙ) = V/n, écart type en 1/√n ; conclusion sur la régularité ; vocabulaire.

Critère de réussite	Points
Raisonnement	5
Rédaction	2
Total de l'activité	7

Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)

L'espérance d'une somme est la somme des espérances. Pour des variables indépendantes, les variances s'additionnent. La moyenne Mₙ d'un échantillon a pour variance V/n. Une variable binomiale B(n ; p) a pour espérance np.

Barème récapitulatif des activités notées

Activité	Points
Activité 1 · Chercher	6
Activité 2 · S'entraîner	7
Activité 3 · Communiquer	7
Total	20 / 20

Séance 2 · Concentration et loi des grands nombres

65 min

Séance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.

Problématique de la séance

Combien de personnes interroger pour un sondage fiable ?

Déroulé minuté à distance

10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
12 min → Travail autonome : Activité 1 (Chercher) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
18 min → Travail autonome : Activité 2 (Programmer) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Communiquer) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.

Le cours développé (récit du professeur) · Inégalités de concentration

Inégalité de Bienaymé‑Tchebychev : pour tout δ > 0, P(|X − E(X)| ≥ δ) ≤ V(X)/δ² ; elle montre que la variance contrôle la dispersion (avec δ = 2σ, la probabilité d'un écart d'au moins deux écarts types est au plus 1/4). Appliquée à Mₙ : inégalité de concentration P(|Mₙ − μ| ≥ δ) ≤ V(X)/(nδ²). Quand n tend vers +∞, ce majorant tend vers 0 : c'est la loi (faible) des grands nombres. Pour une proportion, X suit une loi de Bernoulli de variance p(1 − p) ≤ 1/4 : on choisit n pour que 1/(4nδ²) soit inférieur au risque accepté. Ces majorations sont prudentes : la réalité est souvent bien meilleure.

Document 1 · Le sondage

Situation-problème.

Un institut veut estimer la proportion p de lycéens favorables à un nouveau calendrier, avec une précision de 0,05 et un risque d'erreur au plus égal à 10 %.

Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).

Activité 1 · Chercher

12 min

Essentiel

Supports : Document 1

Consigne :

Dimensionnez.

Écrivez l'inégalité de concentration pour Mₙ.
✔ Corrigé :
P(|Mₙ − p| ≥ 0,05) ≤ p(1 − p)/(0,0025 n).
Majorez p(1 − p).
✔ Corrigé :
Le maximum de p(1 − p) est 1/4, atteint en p = 1/2.
Taille n suffisante ?
✔ Corrigé :
1/(4 × 0,0025 n) ≤ 0,1 donne n ≥ 1 000.

Critère de réussite	Points
Résultats justes et justifiés	6
Total de l'activité	6

Activité 2 · Programmer

18 min

Essentiel

Supports : Cours

Consigne :

Étudiez un programme Python qui simule N = 1 000 échantillons de taille n = 1 000 avec p = 0,4 et compte la proportion d'échantillons pour lesquels |Mₙ − 0,4| ≥ 0,05.

Valeur garantie par l'inégalité ?
✔ Corrigé :
Au plus 0,1 (et même 0,24/2,5 ≈ 0,096 avec p = 0,4).
Ordre de grandeur observé en simulation ?
✔ Corrigé :
Presque toujours 0 : l'inégalité est très prudente.
Que montre la simulation quand n augmente ?
✔ Corrigé :
Les moyennes se concentrent autour de 0,4 : loi des grands nombres.

Critère de réussite	Points
Méthode et résultats	7
Total de l'activité	7

Activité 3 · Communiquer

15 min

Travail à rendre

Supports : Documents et cours

Consigne :

Rédigez un encadré pour une affiche de vulgarisation (8 à 10 lignes) : « Pourquoi peut‑on se fier à un sondage ? » avec la loi des grands nombres et la taille d'échantillon calculée. Pour bien commencer : Plus l'échantillon est grand, plus… · L'inégalité de concentration garantit que… · Attention cependant : …

✔ Corrigé rédigé :

Idée de concentration ; formule et calcul n ≥ 1 000 ; prudence du majorant ; limites (échantillon au hasard, biais de sélection) ; clarté.

Critère de réussite	Points
Raisonnement	5
Rédaction	2
Total de l'activité	7

Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)

L'inégalité de Bienaymé‑Tchebychev majore la probabilité d'un écart par V(X)/δ². L'inégalité de concentration s'applique à la moyenne d'un échantillon. Quand n tend vers +∞, le majorant tend vers 0. Pour une proportion, la variance est au plus 1/4.

Barème récapitulatif des activités notées

Activité	Points
Activité 1 · Chercher	6
Activité 2 · Programmer	7
Activité 3 · Communiquer	7
Total	20 / 20

Fiche à trous · corrigé

Pour toutes variables aléatoires X et Y, E(X + Y) = E(X) + E(Y).

Si X et Y sont indépendantes, V(X + Y) = V(X) + V(Y).

La variance de la moyenne d'un échantillon de taille n vaut V(X)/n.

Selon la loi des grands nombres, la probabilité que |Mₙ − μ| ≥ δ tend vers 0.

La version élève contient la même fiche avec une banque de mots (papier ou ENT).

Évaluation de fin de séquence (/20) · barème et corrigé

Évaluation sur 20 à faire en temps limité sur l'ENT ou sur papier, puis à renvoyer en photo ; le corrigé et le barème servent aussi à l'autoévaluation. En Bac Pro, elle est construite comme une situation de contrôle en cours de formation (problème contextualisé, compétences évaluées) ; en 1re générale, elle prépare à l'épreuve anticipée (automatismes sans calculatrice et exercices) ; en Terminale générale, aux exercices indépendants de l'épreuve de spécialité.

N°	Question	Barème	Corrigé et critères
1	X et Y sont indépendantes avec E(X) = 3, V(X) = 2, E(Y) = −1, V(Y) = 5. Calculez E(2X − Y), V(X + Y) et V(2X − Y).	4 pts	6 + 1 = 7 ; 7 ; 4 × 2 + 5 = 13. Un point, un point, deux points.
2	Un dé équilibré est lancé 600 fois ; S est le nombre de 6. Donnez E(S), V(S), puis majorez P(\|S − 100\| ≥ 20) avec l'inégalité de Bienaymé‑Tchebychev.	8 pts	S suit B(600 ; 1/6) : E = 100, V = 600 × 1/6 × 5/6 ≈ 83,3 ; P ≤ 83,3/400 ≈ 0,21. Loi (2 pts), espérance et variance (3 pts), inégalité (3 pts).
3	Un institut veut estimer une proportion p avec une précision de 0,03 et un risque d'erreur d'au plus 5 %. Avec l'inégalité de concentration et V(X) = p(1 − p) ≤ 1/4, trouvez une taille d'échantillon suffisante n. Commentez. Pour bien commencer : L'inégalité de concentration donne… · Comme p(1 − p) ≤ 1/4, … · Il suffit donc d'interroger…	8 pts	P(\|Mₙ − p\| ≥ 0,03) ≤ p(1 − p)/(n × 0,0009) ≤ 1/(4 × 0,0009 n) ≤ 0,05 donne n ≥ 1/(0,00018) ≈ 5 556. L'inégalité est prudente : en pratique, des méthodes plus fines donnent environ 1 000 personnes. Inégalité (4 pts), calcul (2 pts), commentaire (2 pts).
Total		20 pts

Pistes pour un rythme de travail différent

Laisser deux jours de plus aux élèves qui ont peu de connexion et accepter un rendu sur papier photographié.
Proposer la fiche à trous, un énoncé découpé en petites questions et une vidéo de correction pas à pas.
Pour les élèves rapides : une démonstration, un programme Python à écrire ou un problème ouvert à présenter à l'oral.
Automatismes : espérance et variance de la loi binomiale, calculs de puissances de 10.
Pour aller plus loin : simuler en Python la moyenne de n lancers de dé et observer la concentration autour de 3,5.