Bonjour !
Dans cette séquence de mathématiques, tu vas chercher à répondre à la grande question écrite en haut de la page. Elle se fait en 2 séances. Pour chaque séance : lis la consigne, étudie les documents, réponds aux questions sur ta feuille ou sur l'ENT, puis recopie l'essentiel dans ton cahier. Tu peux imprimer cette page avec le bouton « Imprimer ».
À la fin, je serai capable de :
- Générer les termes d'une suite par le calcul, le tableur ou Python
- Reconnaître une suite arithmétique, utiliser sa raison et l'expression du terme de rang n
- Calculer une somme de termes et déterminer un rang à partir duquel un seuil est dépassé
Les mots importants
Ressources de la séquence
Les notions, les repères et les pistes pour aller plus loin, utiles pour toutes les séances.
Les notions à maîtriser
- Suite numérique
- Liste de nombres numérotés : u(1), u(2), u(3)… notée aussi u₁, u₂, u₃ ; n est le rang.
- Suite arithmétique
- Chaque terme s'obtient en ajoutant au précédent un même nombre r, la raison : uₙ₊₁ = uₙ + r.
- Terme de rang n
- Si le premier terme est u₁, alors uₙ = u₁ + (n − 1)r.
- Lien avec les fonctions affines
- Les points (n ; uₙ) sont alignés : une suite arithmétique est une fonction affine définie sur les entiers.
- Sens de variation
- Raison positive : suite croissante ; raison négative : suite décroissante.
- Somme de termes
- Somme des termes consécutifs, calculée au tableur ou par la méthode de Gauss : nombre de termes × (premier + dernier) / 2.
Repères
| Date | Événement |
|---|---|
| 1202 | Fibonacci, Liber abaci. |
| v. 1786 | Anecdote de Gauss et de la somme des entiers de 1 à 100. |
| 1979 | VisiCalc : premier tableur. |
| 1991 | Première version publique de Python. |
Pour aller plus loin
Sources et bibliographie
- Jean Dieudonné (dir.), Abrégé d'histoire des mathématiques, Hermann, 1978.
- Denis Guedj, Le Théorème du perroquet, Seuil, 1998.
- Documentation officielle de Python (python.org), chapitre sur les boucles.
Mon parcours : je choisis mon rythme
- Pour les élèves qui ont besoin de plus de temps : énoncé découpé en petites questions, rappel de cours en marge, calculatrice ou tableur autorisés pendant l'entraînement, correction pas à pas en vidéo ou en classe virtuelle.
- Pour les élèves qui avancent vite : question d'approfondissement (démonstration, généralisation, programme Python à écrire), problème ouvert à rédiger et à présenter à l'oral.
Séance 1 · Générer une suite et reconnaître une suite arithmétique
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes avec coups de pouce.
La question du jour
Comment prévoir les ventes d'un jeune artisan dans un an ?
Mon plan de travail
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Je suis le lancement (ou j'écoute la capsule) et je recopie la problématique.
- 12 min → Travail autonome : Je fais l'activité 1 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 18 min → Travail autonome : Je fais l'activité 2 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 15 min → Travail à rendre : Je fais l'activité 3 et je la dépose sur l'ENT (ou j'envoie une photo) dans les trois jours.
- 10 min → Mise en commun : Je corrige avec une autre couleur et je complète la trace écrite.
Le cours à lire · Suites et suites arithmétiques
Une suite numérique associe à chaque entier n (le rang) un nombre u(n), noté aussi uₙ. On peut la définir par une expression (uₙ = n², par exemple : 1, 4, 9, 16…) ou de proche en proche. Une suite est arithmétique si l'on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre r, la raison : uₙ₊₁ = uₙ + r. Alors uₙ = u₁ + (n − 1)r. Les points (n ; uₙ) sont alignés : c'est le lien avec les fonctions affines. La suite des carrés n'est pas arithmétique : les écarts 3, 5, 7… ne sont pas constants.
Document 1 · Les ventes d'un atelier de céramique
Situation professionnelle.
Un jeune artisan vend 150 bols le premier mois de son activité. Il prévoit d'en vendre 30 de plus chaque mois, grâce à un nouveau point de vente. On note uₙ le nombre de bols vendus le mois n.
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · S'approprier
12 minSupports : Document 1
Calculez les premiers termes.
- u₁, u₂, u₃, u₄ ?
- Pourquoi la suite est-elle arithmétique ? Raison ?
- La suite 1, 4, 9, 16 est-elle arithmétique ?
Ce qui est attendu (6 pts) : Calculs et justification
Activité 2 · Réaliser
18 minSupports : Document 1, cours
Utilisez l'expression du terme de rang n et le tableur.
- Expression de uₙ ?
- Ventes du 12e mois ?
- Nuage de points (n ; uₙ) au tableur : que constatez-vous ?
Ce qui est attendu (7 pts) : Expression et représentation
Activité 3 · Valider
15 minSupports : Documents et cours
L'artisan pense qu'il vendra 600 bols par mois avant la fin de la première année. A-t-il raison ? Déterminez le rang à partir duquel uₙ ≥ 600 et rédigez votre réponse en 5 à 8 lignes. Pour bien commencer : D'après la formule, uₙ ≥ 600 à partir du rang… · La première année compte… mois · L'artisan a donc…
Ce qui est attendu (7 pts) : Validation · Communication
Trace écrite · document à compléter (papier ou ENT)
Complète la trace écrite avec les mots de la banque, puis recopie-la dans ton cahier.
Une suite est ____________ si l'on ajoute toujours le même nombre r, la raison. Alors uₙ = u₁ + (n − 1)r. Les points (n ; uₙ) sont _______.
Séance 2 · Sommes de termes et seuils : un plan de production
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes avec coups de pouce.
La question du jour
Combien de bols l'artisan aura-t-il vendus en un an ?
Mon plan de travail
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Je suis le lancement (ou j'écoute la capsule) et je recopie la problématique.
- 15 min → Travail autonome : Je fais l'activité 1 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 15 min → Travail autonome : Je fais l'activité 2 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 15 min → Travail à rendre : Je fais l'activité 3 et je la dépose sur l'ENT (ou j'envoie une photo) dans les trois jours.
- 10 min → Mise en commun : Je corrige avec une autre couleur et je complète la trace écrite.
Le cours à lire · Somme et seuil
Pour connaître un total cumulé, on calcule la somme de termes consécutifs : au tableur (fonction SOMME) ou avec une boucle Python. Pour une suite arithmétique, on peut aussi utiliser la méthode attribuée à Gauss : on écrit la somme dans un sens puis dans l'autre ; chaque paire (premier + dernier) a la même valeur, d'où somme = nombre de termes × (premier terme + dernier terme) / 2. Cette formule se retrouve par ce raisonnement, elle n'est pas à apprendre. Pour chercher le rang à partir duquel une suite dépasse un seuil, on utilise une boucle while (« tant que ») ou le tableur.
Document 1 · Algorithme de seuil
Programme Python commenté.
u = 150 (ventes du mois 1) ; n = 1 ; while u < 600 : u = u + 30 ; n = n + 1 ; print(n). La boucle s'arrête dès que u atteint 600.
Source : Programme écrit pour la séance par le professeur, exécutable dans Basthon.
Activité 1 · Réaliser
15 minSupports : Document 1, séance 1
Calculez le total des ventes sur 12 mois.
- Au tableur ?
- Par la méthode de Gauss ?
- Moyenne mensuelle ?
Ce qui est attendu (7 pts) : Somme
Activité 2 · Analyser, raisonner
15 minSupports : Document 1
Étudiez l'algorithme.
- Que vaut n à la fin ?
- Que faut-il modifier pour un seuil de 900 ?
- Pourquoi utiliser while plutôt que for ?
Ce qui est attendu (6 pts) : Algorithme
Activité 3 · Communiquer
15 minSupports : Documents et cours
L'artisan doit commander de l'argile : 1 kg par bol. Rédigez une note de 6 à 8 lignes indiquant la quantité à prévoir pour la première année, en expliquant votre méthode. Pour bien commencer : Le nombre total de bols sur douze mois est… · J'ai calculé cette somme en… · Il faut donc commander…
Ce qui est attendu (7 pts) : Argumentation · Communication
Trace écrite · document à compléter (papier ou ENT)
Complète la trace écrite avec les mots de la banque, puis recopie-la dans ton cahier.
On calcule une somme de termes au tableur, avec Python ou par la méthode de ______. Pour trouver un rang à partir duquel un seuil est dépassé, on utilise une boucle ______. Il faut toujours vérifier la _____________ du résultat.
Fiche à trous · je complète
Complète le texte avec les mots de la banque (sur papier ou dans le document de l'ENT).
Une suite est arithmétique quand on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre, la ______.
Si la raison est positive, la suite est __________.
Les points de coordonnées (n ; uₙ) d'une suite arithmétique sont _______.
Le rang à partir duquel un seuil est dépassé se trouve avec le tableur ou un __________.
Ce que j'ai appris
- Générer les termes d'une suite par le calcul, le tableur ou Python
- Reconnaître une suite arithmétique, utiliser sa raison et l'expression du terme de rang n
- Calculer une somme de termes et déterminer un rang à partir duquel un seuil est dépassé