Repères pour le professeur
Objectifs et capacités
Objectifs
- Générer les termes d'une suite par le calcul, le tableur ou Python
- Reconnaître une suite arithmétique, utiliser sa raison et l'expression du terme de rang n
- Calculer une somme de termes et déterminer un rang à partir duquel un seuil est dépassé
Capacités travaillées (BO)
- S'approprier : rechercher, extraire et organiser l'information
- Analyser, raisonner : émettre une conjecture, choisir une méthode
- Réaliser : calculer, représenter, utiliser un outil numérique
- Valider : contrôler la vraisemblance, argumenter
- Communiquer : rendre compte d'une démarche à l'écrit et à l'oral
Notions et définitions
Repères historiques
- Fibonacci, *Liber abaci* (1202) : une suite célèbre
- Gauss enfant et la somme 1 + 2 + … + 100 (anecdote rapportée par ses biographes)
- Le tableur et la recopie de formule : une suite en une colonne
Ressources de la séquence
Ancrage dans le programme, notions, repères, débats, bibliographie et différenciation, communs à toutes les séances.
Ancrage dans le programme officiel
Ce que dit le programme (objectif du module) : « L'objectif de ce module est de résoudre des problèmes concernant des phénomènes discrets modélisés par une suite numérique, plus particulièrement par une suite arithmétique. »
Commentaires du programme : « On présente également des suites qui ne sont pas arithmétiques. » « La connaissance de la formule donnant la somme des n premiers termes d'une suite arithmétique n'est pas exigée. » On calcule donc les sommes au tableur ou avec Python, et la formule, si elle est vue, est démontrée et non apprise par coeur.
Certification (arrêté du 17 juin 2020, annexe III) : en contrôle en cours de formation, deux situations d'évaluation en première et terminale : « Ces situations d'évaluation ont chacune une durée de quarante-cinq minutes environ et sont notées sur 10 points. » « Un exercice au moins comporte une ou deux questions dont la résolution se fait en présence de l'examinateur. » Pour les candidats hors CCF : « L'épreuve, d'une durée d'une heure, est une évaluation écrite et pratique, notée sur 20 points se déroule en fin de cursus de formation. »
Notions : définitions rigoureuses
- Suite numérique
- Liste de nombres numérotés : u(1), u(2), u(3)… notée aussi u₁, u₂, u₃ ; n est le rang.
- Suite arithmétique
- Chaque terme s'obtient en ajoutant au précédent un même nombre r, la raison : uₙ₊₁ = uₙ + r.
- Terme de rang n
- Si le premier terme est u₁, alors uₙ = u₁ + (n − 1)r.
- Lien avec les fonctions affines
- Les points (n ; uₙ) sont alignés : une suite arithmétique est une fonction affine définie sur les entiers.
- Sens de variation
- Raison positive : suite croissante ; raison négative : suite décroissante.
- Somme de termes
- Somme des termes consécutifs, calculée au tableur ou par la méthode de Gauss : nombre de termes × (premier + dernier) / 2.
Repères
| Date | Événement |
|---|---|
| 1202 | Fibonacci, Liber abaci. |
| v. 1786 | Anecdote de Gauss et de la somme des entiers de 1 à 100. |
| 1979 | VisiCalc : premier tableur. |
| 1991 | Première version publique de Python. |
Les historiens en débat
Les suites sont aussi anciennes que le calcul commercial : les tablettes babyloniennes et les traités d'arithmétique marchande du Moyen Âge contiennent déjà des progressions. Aujourd'hui, tableur et programmation les rendent immédiatement utiles dans les métiers (plans de production, stocks, abonnements). Synthèse du professeur.
Pour aller plus loin
Sources et bibliographie
- Jean Dieudonné (dir.), Abrégé d'histoire des mathématiques, Hermann, 1978.
- Denis Guedj, Le Théorème du perroquet, Seuil, 1998.
- Documentation officielle de Python (python.org), chapitre sur les boucles.
Différenciation : un rythme de travail différent
- Pour les élèves qui ont besoin de plus de temps : énoncé découpé en petites questions, rappel de cours en marge, calculatrice ou tableur autorisés pendant l'entraînement, correction pas à pas en vidéo ou en classe virtuelle.
- Pour les élèves qui avancent vite : question d'approfondissement (démonstration, généralisation, programme Python à écrire), problème ouvert à rédiger et à présenter à l'oral.
Déroulé d'ensemble
| Séance | Titre | Durée | Objectif |
|---|---|---|---|
| Séance 1 | Générer une suite et reconnaître une suite arithmétique | 65 min | calculer des termes et reconnaître une progression régulière |
| Séance 2 | Sommes de termes et seuils : un plan de production | 65 min | calculer une somme de termes et déterminer un seuil avec un algorithme |
| Évaluation | Évaluation de fin de séquence (/20) | 55 min | Vérifier les acquis : connaissances, capacités, rédaction |
Chaque séance dure environ 55 minutes à distance : lancement en classe virtuelle ou par message sur l'ENT, recherche du problème (calculatrice, tableur, GeoGebra ou Python dans le navigateur), mise en commun, cours et trace écrite. Les élèves renvoient la fiche à trous et leur production par l'ENT ou en photo.
Séance 1 · Générer une suite et reconnaître une suite arithmétique
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.
Problématique de la séance
Comment prévoir les ventes d'un jeune artisan dans un an ?
Déroulé minuté à distance
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
- 12 min → Travail autonome : Activité 1 (S'approprier) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 18 min → Travail autonome : Activité 2 (Réaliser) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Valider) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
- 10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.
Le cours développé (récit du professeur) · Suites et suites arithmétiques
Une suite numérique associe à chaque entier n (le rang) un nombre u(n), noté aussi uₙ. On peut la définir par une expression (uₙ = n², par exemple : 1, 4, 9, 16…) ou de proche en proche. Une suite est arithmétique si l'on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre r, la raison : uₙ₊₁ = uₙ + r. Alors uₙ = u₁ + (n − 1)r. Les points (n ; uₙ) sont alignés : c'est le lien avec les fonctions affines. La suite des carrés n'est pas arithmétique : les écarts 3, 5, 7… ne sont pas constants.
Document 1 · Les ventes d'un atelier de céramique
Situation professionnelle.
Un jeune artisan vend 150 bols le premier mois de son activité. Il prévoit d'en vendre 30 de plus chaque mois, grâce à un nouveau point de vente. On note uₙ le nombre de bols vendus le mois n.
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · S'approprier
12 minSupports : Document 1
Calculez les premiers termes.
- u₁, u₂, u₃, u₄ ?✔ Corrigé :
150 ; 180 ; 210 ; 240.
- Pourquoi la suite est-elle arithmétique ? Raison ?✔ Corrigé :
On ajoute 30 chaque mois : raison 30.
- La suite 1, 4, 9, 16 est-elle arithmétique ?✔ Corrigé :
Non : les écarts (3, 5, 7) ne sont pas constants.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Calculs et justification | 6 |
| Total de l'activité | 6 |
Activité 2 · Réaliser
18 minSupports : Document 1, cours
Utilisez l'expression du terme de rang n et le tableur.
- Expression de uₙ ?✔ Corrigé :
uₙ = 150 + 30(n − 1) = 30n + 120.
- Ventes du 12e mois ?✔ Corrigé :
u₁₂ = 480 bols.
- Nuage de points (n ; uₙ) au tableur : que constatez-vous ?✔ Corrigé :
Les points sont alignés : la croissance est régulière.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Expression et représentation | 7 |
| Total de l'activité | 7 |
Activité 3 · Valider
15 minSupports : Documents et cours
L'artisan pense qu'il vendra 600 bols par mois avant la fin de la première année. A-t-il raison ? Déterminez le rang à partir duquel uₙ ≥ 600 et rédigez votre réponse en 5 à 8 lignes. Pour bien commencer : D'après la formule, uₙ ≥ 600 à partir du rang… · La première année compte… mois · L'artisan a donc…
30n + 120 ≥ 600 donne n ≥ 16 : il vendra 600 bols le 16e mois, donc pas avant la fin de la première année (u₁₂ = 480) ; vérification au tableur ; esprit critique sur l'hypothèse d'une hausse constante.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Validation | 5 |
| Communication | 2 |
| Total de l'activité | 7 |
Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)
Une suite est arithmétique si l'on ajoute toujours le même nombre r, la raison. Alors uₙ = u₁ + (n − 1)r. Les points (n ; uₙ) sont alignés.
Barème récapitulatif des activités notées
| Activité | Points |
|---|---|
| Activité 1 · S'approprier | 6 |
| Activité 2 · Réaliser | 7 |
| Activité 3 · Valider | 7 |
| Total | 20 / 20 |
Séance 2 · Sommes de termes et seuils : un plan de production
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.
Problématique de la séance
Combien de bols l'artisan aura-t-il vendus en un an ?
Déroulé minuté à distance
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
- 15 min → Travail autonome : Activité 1 (Réaliser) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 15 min → Travail autonome : Activité 2 (Analyser, raisonner) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Communiquer) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
- 10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.
Le cours développé (récit du professeur) · Somme et seuil
Pour connaître un total cumulé, on calcule la somme de termes consécutifs : au tableur (fonction SOMME) ou avec une boucle Python. Pour une suite arithmétique, on peut aussi utiliser la méthode attribuée à Gauss : on écrit la somme dans un sens puis dans l'autre ; chaque paire (premier + dernier) a la même valeur, d'où somme = nombre de termes × (premier terme + dernier terme) / 2. Cette formule se retrouve par ce raisonnement, elle n'est pas à apprendre. Pour chercher le rang à partir duquel une suite dépasse un seuil, on utilise une boucle while (« tant que ») ou le tableur.
Document 1 · Algorithme de seuil
Programme Python commenté.
u = 150 (ventes du mois 1) ; n = 1 ; while u < 600 : u = u + 30 ; n = n + 1 ; print(n). La boucle s'arrête dès que u atteint 600.
Source : Programme écrit pour la séance par le professeur, exécutable dans Basthon.
Activité 1 · Réaliser
15 minSupports : Document 1, séance 1
Calculez le total des ventes sur 12 mois.
- Au tableur ?✔ Corrigé :
3 780 bols.
- Par la méthode de Gauss ?✔ Corrigé :
12 × (150 + 480) / 2 = 3 780.
- Moyenne mensuelle ?✔ Corrigé :
315 bols par mois.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Somme | 7 |
| Total de l'activité | 7 |
Activité 2 · Analyser, raisonner
15 minSupports : Document 1
Étudiez l'algorithme.
- Que vaut n à la fin ?✔ Corrigé :
16.
- Que faut-il modifier pour un seuil de 900 ?✔ Corrigé :
Remplacer 600 par 900 : résultat 26.
- Pourquoi utiliser while plutôt que for ?✔ Corrigé :
On ne connaît pas à l'avance le nombre de tours de boucle.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Algorithme | 6 |
| Total de l'activité | 6 |
Activité 3 · Communiquer
15 minSupports : Documents et cours
L'artisan doit commander de l'argile : 1 kg par bol. Rédigez une note de 6 à 8 lignes indiquant la quantité à prévoir pour la première année, en expliquant votre méthode. Pour bien commencer : Le nombre total de bols sur douze mois est… · J'ai calculé cette somme en… · Il faut donc commander…
Total 3 780 bols, donc 3 780 kg (3,78 tonnes) d'argile ; méthode (tableur ou Gauss) ; marge de sécurité discutée ; présentation professionnelle.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Argumentation | 5 |
| Communication | 2 |
| Total de l'activité | 7 |
Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)
On calcule une somme de termes au tableur, avec Python ou par la méthode de Gauss. Pour trouver un rang à partir duquel un seuil est dépassé, on utilise une boucle while. Il faut toujours vérifier la vraisemblance du résultat.
Barème récapitulatif des activités notées
| Activité | Points |
|---|---|
| Activité 1 · Réaliser | 7 |
| Activité 2 · Analyser, raisonner | 6 |
| Activité 3 · Communiquer | 7 |
| Total | 20 / 20 |
Fiche à trous · corrigé
Une suite est arithmétique quand on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre, la raison.
Si la raison est positive, la suite est croissante.
Les points de coordonnées (n ; uₙ) d'une suite arithmétique sont alignés.
Le rang à partir duquel un seuil est dépassé se trouve avec le tableur ou un algorithme.
La version élève contient la même fiche avec une banque de mots (papier ou ENT).
Évaluation de fin de séquence (/20) · barème et corrigé
Évaluation sur 20 à faire en temps limité sur l'ENT ou sur papier, puis à renvoyer en photo ; le corrigé et le barème servent aussi à l'autoévaluation. En Bac Pro, elle est construite comme une situation de contrôle en cours de formation (problème contextualisé, compétences évaluées) ; en 1re générale, elle prépare à l'épreuve anticipée (automatismes sans calculatrice et exercices) ; en Terminale générale, aux exercices indépendants de l'épreuve de spécialité.
| N° | Question | Barème | Corrigé et critères |
|---|---|---|---|
| 1 | Une citerne contient 900 L au début du premier jour ; elle perd 15 L par jour. On note uₙ le volume au début du jour n (u₁ = 900). Nature de la suite, raison, expression de uₙ en fonction de n. | 6 pts | Suite arithmétique de premier terme u₁ = 900 et de raison −15 ; uₙ = 900 − 15(n − 1) = 915 − 15n. Justification : on retire chaque jour la même quantité. |
| 2 | Calculez u₂₀ et déterminez le jour où la citerne est vide. | 6 pts | u₂₀ = 900 − 15 × 19 = 615 L ; 915 − 15n = 0 donne n = 61 : la citerne est vide au début du 61e jour. Vérification au tableur. |
| 3 | Un algorithme Python doit afficher le premier jour où le volume passe sous 300 L. Écrivez-le (boucle while) et donnez le résultat. Puis expliquez en 4 lignes pourquoi la suite est décroissante. Pour bien commencer : *Mon programme répète tant que…* · *Le résultat affiché est…* · *La suite est décroissante car…* | 8 pts | u = 900 ; n = 1 ; while u >= 300 : u = u − 15 ; n = n + 1 ; print(n). Résultat : 42 (u₄₁ = 300, u₄₂ = 285). Raison négative : chaque terme est inférieur au précédent ; rédaction claire. |
| Total | 20 pts | ||
Pistes pour un rythme de travail différent
- Laisser deux jours de plus aux élèves qui ont peu de connexion et accepter un rendu sur papier photographié.
- Proposer la fiche à trous, un énoncé découpé en petites questions et une vidéo de correction pas à pas.
- Pour les élèves rapides : une démonstration, un programme Python à écrire ou un problème ouvert à présenter à l'oral.
- Automatismes : ajouter ou retrancher un même nombre, calculer une expression pour plusieurs valeurs.
- Pour aller plus loin : comparer avec une suite non arithmétique (carrés, nombres triangulaires).