Version élève → Mathématiques · Lycée professionnel · 1re · Première

Séquence 2 · Polynômes du second degré et dérivée : la production rentable

Pour quelles quantités une production est-elle rentable, et quelle quantité rapporte le plus ?

Bonjour !

Dans cette séquence de mathématiques, tu vas chercher à répondre à la grande question écrite en haut de la page. Elle se fait en 2 séances. Pour chaque séance : lis la consigne, étudie les documents, réponds aux questions sur ta feuille ou sur l'ENT, puis recopie l'essentiel dans ton cahier. Tu peux imprimer cette page avec le bouton « Imprimer ».

À la fin, je serai capable de :

Les mots importants

fonction polynôme de degré 2, paraboleracine, forme factoriséesigne d'un polynôme de degré 2nombre dérivé, tangente, fonction dérivée f'lien entre signe de f' et variations, extremum

Ressources de la séquence

Les notions, les repères et les pistes pour aller plus loin, utiles pour toutes les séances.

Les notions à maîtriser

Polynôme de degré 2
f(x) = ax² + bx + c avec a non nul ; sa courbe est une parabole tournée vers le haut si a > 0, vers le bas si a < 0.
Racine
Valeur de x telle que f(x) = 0 ; on la teste en remplaçant x par la valeur.
Forme factorisée
f(x) = a(x − x₁)(x − x₂) : les racines x₁ et x₂ se lisent directement.
Signe
Sous forme factorisée, f(x) est du signe de a à l'extérieur des racines et du signe contraire entre les racines.
Nombre dérivé
Coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse a, noté f'(a).
Dérivée et variations
(ax + b)' = a ; (x²)' = 2x ; si f' > 0, f croît ; si f' < 0, f décroît ; un changement de signe de f' signale un extremum.

Repères

DateÉvénement
vers 1636Fermat, méthode pour trouver maxima et minima.
1684Leibniz publie son calcul différentiel.
1687Newton, Principia.
1797Lagrange, Théorie des fonctions analytiques : notation f'.

Pour aller plus loin

Sources et bibliographie

Mon parcours : je choisis mon rythme

Séance 1 · Racines et signe d'un polynôme du second degré

65 min

Séance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes avec coups de pouce.

La question du jour

Pour quelles quantités l'atelier gagne-t-il de l'argent ?

Mon plan de travail

Le cours à lire · Polynômes de degré 2

Une fonction polynôme de degré 2 s'écrit f(x) = ax² + bx + c avec a ≠ 0 ; sa courbe est une parabole. Une racine est une valeur de x qui annule f. Quand f est donnée sous forme factorisée f(x) = a(x − x₁)(x − x₂), les racines sont x₁ et x₂ (un produit est nul si l'un de ses facteurs est nul). Signe : f(x) est du signe de a à l'extérieur des racines et du signe contraire entre les racines. On le vérifie avec un tableau de signes ou sur la courbe. Développer la forme factorisée redonne la forme ax² + bx + c.

Document 1 · Le bénéfice d'un atelier de reliure

Situation professionnelle.

Un atelier fabrique x carnets par jour (x de 0 à 60). Son bénéfice quotidien, en euros, est modélisé par B(x) = −2(x − 10)(x − 50).

Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).

Activité 1 · S'approprier

12 min
Essentiel

Supports : Document 1

Consigne :

Lisez le modèle.

  1. B(0) ? Que représente cette valeur ?
  2. Racines de B ?
  3. Forme développée ?

Ce qui est attendu (6 pts) : Lecture et calcul

Activité 2 · Réaliser

18 min
Essentiel

Supports : Document 1, cours

Consigne :

Étudiez le signe.

  1. Signe de a ? Conséquence ?
  2. Tableau de signes de 0 à 60 ?
  3. Vérifiez avec B(20) et B(55).

Ce qui est attendu (7 pts) : Signe

Activité 3 · Communiquer

15 min
Travail à rendre

Supports : Documents et cours

Consigne :

Expliquez au gérant, en 6 à 8 lignes, pour quelles productions l'atelier est rentable et pourquoi produire trop fait perdre de l'argent (heures supplémentaires, invendus). Pour bien commencer : L'atelier est rentable quand… · D'après le graphique, cela correspond à… · Au‑delà, …

Ce qui est attendu (7 pts) : Argumentation · Communication

Trace écrite · document à compléter (papier ou ENT)

Complète la trace écrite avec les mots de la banque, puis recopie-la dans ton cahier.

annuleextérieur

Une racine est une valeur qui ______ le polynôme. Sous forme factorisée a(x − x₁)(x − x₂), le polynôme est du signe de a à l'_________ des racines et du signe contraire entre elles.

Séance 2 · Dérivée et variations : trouver la production optimale

65 min

Séance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes avec coups de pouce.

La question du jour

Combien de carnets fabriquer pour gagner le plus ?

Mon plan de travail

Le cours à lire · Dérivée et extremum

Le nombre dérivé f'(a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse a (on l'observe dans GeoGebra comme limite des sécantes). La fonction dérivée f' associe à x le nombre dérivé en x. Formules à connaître : (ax + b)' = a ; (x²)' = 2x ; (k × f)' = k × f' ; (f + g)' = f' + g'. Théorème (admis) : si f' > 0 sur un intervalle, f y est croissante ; si f' < 0, décroissante. Si f' s'annule en changeant de signe, f admet un extremum en ce point.

Document 1 · Bénéfice et tangentes

Activité numérique GeoGebra.

Tracer B(x) = −2x² + 120x − 1000 pour x de 0 à 60. Placer un point A mobile sur la courbe, afficher la tangente en A (commande Tangente) et son coefficient directeur. Observer quand la tangente est horizontale.

Source : Activité construite pour la séance par le professeur.

Activité 1 · Analyser, raisonner

12 min
Essentiel

Supports : Document 1

Consigne :

Observez dans GeoGebra.

  1. Coefficient directeur de la tangente en x = 20 ? en x = 40 ?
  2. Où la tangente est-elle horizontale ?
  3. Que conjecturez-vous ?

Ce qui est attendu (6 pts) : Conjecture

Activité 2 · Réaliser

18 min
Essentiel

Supports : Document 1, cours

Consigne :

Démontrez par le calcul.

  1. B'(x) ?
  2. Signe de B'(x) ?
  3. Tableau de variations et maximum ?

Ce qui est attendu (7 pts) : Dérivée et variations

Activité 3 · Valider

15 min
Travail à rendre

Supports : Documents et cours

Consigne :

Comparez avec les valeurs B(29) et B(31), puis rédigez une recommandation (6 à 8 lignes) au gérant en rappelant les limites du modèle. Pour bien commencer : B(29) et B(31) sont… que B(30) · Le bénéfice maximal est donc obtenu pour… · Ce modèle a des limites car…

Ce qui est attendu (7 pts) : Validation · Communication

Trace écrite · document à compléter (papier ou ENT)

Complète la trace écrite avec les mots de la banque, puis recopie-la dans ton cahier.

croissanteextremumtangente

Le nombre dérivé f'(a) est le coefficient directeur de la ________. Si f' est positive, f est __________ ; si f' est négative, f est décroissante. Quand f' change de signe, f admet un ________.

Fiche à trous · je complète

Complète le texte avec les mots de la banque (sur papier ou dans le document de l'ENT).

croissantefactoriséeracinestangente

Les _______ d'un polynôme sont les valeurs de x qui l'annulent.

a(x − x₁)(x − x₂) est la forme __________ d'un polynôme de degré 2.

Si f'(x) > 0 sur un intervalle, f est __________ sur cet intervalle.

Le nombre dérivé f'(a) est le coefficient directeur de la ________ au point d'abscisse a.

Ce que j'ai appris

Les 3 idées que je retiens :
Une méthode ou une formule que je veux retenir :
Ce qui reste difficile pour moi / ma question pour le professeur :