Statistique à deux variables : nuage de points et ajustement affine · version prof

Repères pour le professeur

Voie · niveauLycée professionnel (Bac Pro) · Première

DisciplineMathématiques

Programme officielProgramme de mathématiques de 1re professionnelle, BO spécial n°1 du 6 février 2020 (groupements A, B et C) : suites arithmétiques, polynômes de degré 2, fonction dérivée.

Place dans le programmeProgramme de mathématiques de première professionnelle (BO spécial n°1 du 6 février 2020), domaine « Statistique et probabilités », module « Statistique à deux variables quantitatives »

Durée totale2 séances + 1 évaluation ≈ 3 h 05

ModalitéEnseignement à distance : classe virtuelle + travail autonome + rendu sur l'ENT

Objectifs et capacités

Objectifs

Représenter un nuage de points avec un tableur ou une calculatrice
Déterminer une droite d'ajustement par la méthode des moindres carrés et le coefficient de détermination
Interpoler, extrapoler et exercer un regard critique (corrélation et causalité)

Capacités travaillées (BO)

S'approprier : rechercher, extraire et organiser l'information
Analyser, raisonner : émettre une conjecture, choisir une méthode
Réaliser : calculer, représenter, utiliser un outil numérique
Valider : contrôler la vraisemblance, argumenter
Communiquer : rendre compte d'une démarche à l'écrit et à l'oral

Notions et définitions

série statistique à deux variables, nuage de pointspoint moyenajustement affine, méthode des moindres carréscoefficient de détermination R²interpolation, extrapolation, corrélation, causalité

Repères historiques

Legendre, méthode des moindres carrés (1805)
Galton, la « régression vers la moyenne » (1886)
Karl Pearson, coefficient de corrélation (1896)

Ressources de la séquence

Ancrage dans le programme, notions, repères, débats, bibliographie et différenciation, communs à toutes les séances.

Ancrage dans le programme officiel

Objectif du module : « Ce thème d'étude a de nombreuses applications en sciences expérimentales, en sciences sociales et dans le domaine professionnel. »

Coefficient de détermination : « Aucune théorie n'est attendue sur ces coefficients ; un coefficient de détermination proche de 1 signifie qu'il existe une forte corrélation entre les deux variables. »

Compétences : « valider : critiquer un résultat, argumenter ; contrôler la vraisemblance d'une conjecture ; mener un raisonnement logique et établir une conclusion »

Certification (arrêté du 17 juin 2020, annexe III) : en contrôle en cours de formation, deux situations d'évaluation en première et terminale : « Ces situations d'évaluation ont chacune une durée de quarante-cinq minutes environ et sont notées sur 10 points. » « Un exercice au moins comporte une ou deux questions dont la résolution se fait en présence de l'examinateur. » Pour les candidats hors CCF : « L'épreuve, d'une durée d'une heure, est une évaluation écrite et pratique, notée sur 20 points se déroule en fin de cursus de formation. »

Notions : définitions rigoureuses

Nuage de points: Représentation des points de coordonnées (xᵢ ; yᵢ) dans un repère.
Point moyen: G(x̄ ; ȳ), où x̄ et ȳ sont les moyennes des deux séries.
Ajustement affine: Remplacement du nuage par une droite y = ax + b qui le résume.
Moindres carrés: Méthode qui choisit la droite rendant minimale la somme des carrés des écarts verticaux ; elle passe par G.
Coefficient de détermination: R², entre 0 et 1, obtenu avec l'outil numérique ; proche de 1, l'ajustement affine est pertinent.
Interpolation, extrapolation: Estimation à l'intérieur du domaine des données (interpolation) ou en dehors (extrapolation, plus risquée).

Repères

Date	Événement
1805	Legendre publie la méthode des moindres carrés pour calculer l'orbite des comètes.
1809	Gauss la justifie par la théorie des erreurs.
1886	Galton étudie la taille des enfants en fonction de celle des parents.
1896	Pearson définit le coefficient de corrélation.

Les historiens en débat

La méthode des moindres carrés est née de l'astronomie au début du XIXe siècle ; Galton et Pearson l'ont appliquée à la biologie et aux sciences sociales. L'outil numérique calcule aujourd'hui instantanément droite et coefficient : l'enjeu est d'interpréter, de prévoir prudemment et de ne pas confondre corrélation et causalité. Synthèse du professeur.

Pour aller plus loin

Lire · programmes de mathématiques de la voie professionnelle (éduscol).
Outil · calculatrice graphique GeoGebra.

Sources et bibliographie

Darrell Huff, How to Lie with Statistics, W. W. Norton, 1954.
David Salsburg, The Lady Tasting Tea, W. H. Freeman, 2001.
Hans Rosling, Factfulness, Flammarion, 2019.

Différenciation : un rythme de travail différent

Pour les élèves qui ont besoin de plus de temps : énoncé découpé en petites questions, rappel de cours en marge, calculatrice ou tableur autorisés pendant l'entraînement, correction pas à pas en vidéo ou en classe virtuelle.
Pour les élèves qui avancent vite : question d'approfondissement (démonstration, généralisation, programme Python à écrire), problème ouvert à rédiger et à présenter à l'oral.

Déroulé d'ensemble

Séance	Titre	Durée	Objectif
Séance 1	Nuage de points et ajustement affine	65 min	représenter un nuage et obtenir une droite d'ajustement au tableur
Séance 2	Prévoir et critiquer	65 min	interpoler, extrapoler et distinguer corrélation et causalité
Évaluation	Évaluation de fin de séquence (/20)	55 min	Vérifier les acquis : connaissances, capacités, rédaction

Chaque séance dure environ 55 minutes à distance : lancement en classe virtuelle ou par message sur l'ENT, recherche du problème (calculatrice, tableur, GeoGebra ou Python dans le navigateur), mise en commun, cours et trace écrite. Les élèves renvoient la fiche à trous et leur production par l'ENT ou en photo.

Séance 1 · Nuage de points et ajustement affine

65 min

Séance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.

Problématique de la séance

La consommation d'un véhicule dépend‑elle de sa vitesse ?

Déroulé minuté à distance

10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
12 min → Travail autonome : Activité 1 (S'approprier) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
18 min → Travail autonome : Activité 2 (Réaliser) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Valider, communiquer) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.

Le cours développé (récit du professeur) · Ajustement affine

Une série statistique à deux variables associe à chaque individu deux valeurs (xᵢ ; yᵢ). On la représente par un nuage de points. Le point moyen G a pour coordonnées les moyennes x̄ et ȳ. Si les points sont presque alignés, on réalise un ajustement affine : la méthode des moindres carrés, calculée par le tableur (courbe de tendance linéaire) ou la calculatrice, donne la droite y = ax + b qui passe au plus près des points ; elle passe par G. Le coefficient de détermination R² (entre 0 et 1) mesure la qualité de l'ajustement : plus il est proche de 1, plus le nuage est proche de la droite.

Document 1 · La flotte de véhicules

Situation-problème.

Une entreprise de maintenance veut réduire la consommation de ses véhicules utilitaires. Un test donne la consommation (L/100 km) selon la vitesse stabilisée (km/h) : 50 : 6,1 ; 70 : 6,9 ; 90 : 7,8 ; 110 : 9,0 ; 130 : 10,3.

Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).

Activité 1 · S'approprier

12 min

Essentiel

Supports : Document 1

Consigne :

Représentez.

Tracez le nuage de points au tableur.
✔ Corrigé :
Points presque alignés, croissants.
Coordonnées du point moyen G ?
✔ Corrigé :
(90 ; 8,02).
Un ajustement affine semble‑t‑il pertinent ?
✔ Corrigé :
Oui, les points sont proches d'une droite.

Critère de réussite	Points
S'approprier, réaliser	6
Total de l'activité	6

Activité 2 · Réaliser

18 min

Essentiel

Supports : Cours

Consigne :

Ajustez avec l'outil numérique.

Équation donnée par le tableur ?
✔ Corrigé :
y ≈ 0,052x + 3,34.
R² ?
✔ Corrigé :
≈ 0,99.
Vérifiez que G est (presque) sur la droite.
✔ Corrigé :
0,052 × 90 + 3,34 = 8,02.

Critère de réussite	Points
Analyser, raisonner, réaliser	7
Total de l'activité	7

Activité 3 · Valider, communiquer

15 min

Travail à rendre

Supports : Documents et cours

Consigne :

Rédigez une note au responsable de la flotte (6 à 8 lignes) : quelle économie de carburant en roulant à 110 km/h au lieu de 130 km/h sur 500 km ? Pour bien commencer : D'après l'ajustement, … · Sur 500 km, la consommation passe de… à… · Je propose donc…

✔ Corrigé rédigé :

Valeurs du tableau ou de la droite (9,0 et 10,3) ; économie ≈ 6,5 L pour 500 km ; validité du modèle ; proposition argumentée.

Critère de réussite	Points
Valider	5
Communiquer	2
Total de l'activité	7

Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)

La droite d'ajustement passe par le point moyen. La méthode des moindres carrés est calculée par le tableur. Plus R² est proche de 1, meilleur est l'ajustement. Les points (xᵢ ; yᵢ) forment un nuage.

Barème récapitulatif des activités notées

Activité	Points
Activité 1 · S'approprier	6
Activité 2 · Réaliser	7
Activité 3 · Valider, communiquer	7
Total	20 / 20

Séance 2 · Prévoir et critiquer

65 min

Séance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.

Problématique de la séance

Peut‑on prévoir la consommation à 160 km/h ?

Déroulé minuté à distance

10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
12 min → Travail autonome : Activité 1 (S'approprier) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
18 min → Travail autonome : Activité 2 (Analyser, raisonner) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Valider, communiquer) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.

Le cours développé (récit du professeur) · Utiliser un ajustement

Avec la droite d'ajustement, on estime une valeur : à l'intérieur de l'intervalle des données, c'est une interpolation (fiable si R² est proche de 1) ; en dehors, une extrapolation, plus risquée, car rien ne garantit que la tendance se prolonge. On peut aussi résoudre ax + b = c pour estimer x. Un R² proche de 1 signifie une forte corrélation entre les variables, mais pas forcément une causalité : un troisième facteur peut expliquer les deux (effet de « variable cachée »). On contrôle toujours la vraisemblance d'une prévision.

Document 1 · Les ventes du marchand de glaces

Situation-problème.

Sur une plage, un poste de secours relève chaque jour d'été le nombre de coups de soleil soignés et le nombre de glaces vendues par le kiosque voisin. Sur 20 jours, l'ajustement affine donne R² = 0,95.

Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).

Activité 1 · S'approprier

12 min

Essentiel

Supports : Document 1

Consigne :

Interprétez.

Que signifie R² = 0,95 ?
✔ Corrigé :
Les deux séries sont fortement corrélées.
Les glaces causent‑elles les coups de soleil ?
✔ Corrigé :
Non.
Quel facteur commun ?
✔ Corrigé :
L'ensoleillement et la chaleur, qui font vendre des glaces et provoquent des coups de soleil.

Critère de réussite	Points
S'approprier, réaliser	6
Total de l'activité	6

Activité 2 · Analyser, raisonner

18 min

Essentiel

Supports : Cours

Consigne :

Revenez aux véhicules (y = 0,052x + 3,34).

Estimation à 100 km/h ?
✔ Corrigé :
≈ 8,54 L/100 km (interpolation).
Estimation à 160 km/h ?
✔ Corrigé :
≈ 11,7 L/100 km, extrapolation incertaine.
Pourquoi l'extrapolation est‑elle risquée ici ?
✔ Corrigé :
La consommation augmente plus vite aux grandes vitesses (résistance de l'air) : la tendance n'est sans doute plus affine.

Critère de réussite	Points
Analyser, raisonner, réaliser	7
Total de l'activité	7

Activité 3 · Valider, communiquer

15 min

Travail à rendre

Supports : Documents et cours

Consigne :

Rédigez un court article (8 lignes) pour le journal du lycée : « Corrélation n'est pas causalité », avec l'exemple des glaces et une règle de prudence pour les prévisions. Pour bien commencer : Une forte corrélation signifie… · Dans l'exemple de la plage, … · Avant de prévoir, il faut…

✔ Corrigé rédigé :

Définition intuitive de la corrélation ; facteur caché ; distinction interpolation et extrapolation ; ton de vulgarisation ; exemple juste.

Critère de réussite	Points
Valider	5
Communiquer	2
Total de l'activité	7

Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)

Une estimation à l'intérieur des données est une interpolation. En dehors des données, on parle d'extrapolation. Une forte corrélation ne prouve pas une causalité. Un troisième facteur peut expliquer les deux variables.

Barème récapitulatif des activités notées

Activité	Points
Activité 1 · S'approprier	6
Activité 2 · Analyser, raisonner	7
Activité 3 · Valider, communiquer	7
Total	20 / 20

Fiche à trous · corrigé

Un ensemble de points (xᵢ ; yᵢ) forme un nuage de points.

La droite d'ajustement par les moindres carrés passe par le point moyen.

Un coefficient de détermination proche de 1 indique une forte corrélation.

Une forte corrélation ne prouve pas une relation de cause à effet.

La version élève contient la même fiche avec une banque de mots (papier ou ENT).

Évaluation de fin de séquence (/20) · barème et corrigé

Évaluation sur 20 à faire en temps limité sur l'ENT ou sur papier, puis à renvoyer en photo ; le corrigé et le barème servent aussi à l'autoévaluation. En Bac Pro, elle est construite comme une situation de contrôle en cours de formation (problème contextualisé, compétences évaluées) ; en 1re générale, elle prépare à l'épreuve anticipée (automatismes sans calculatrice et exercices) ; en Terminale générale, aux exercices indépendants de l'épreuve de spécialité.

N°	Question	Barème	Corrigé et critères
1	Le tableau donne la consommation d'un véhicule utilitaire (L/100 km) selon sa vitesse (km/h) : (50 ; 6,1), (70 ; 6,9), (90 ; 7,8), (110 ; 9,0), (130 ; 10,3). Représentez le nuage de points au tableur et calculez les coordonnées du point moyen.	4 pts	Nuage croissant presque aligné ; point moyen (90 ; 8,02). Nuage (2 pts), point moyen (2 pts).
2	Le tableur donne la droite d'ajustement y = 0,052x + 3,34 et R² ≈ 0,99. Interprétez R², estimez la consommation à 100 km/h, puis la vitesse correspondant à 8,5 L/100 km.	8 pts	R² proche de 1 : ajustement affine pertinent ; y(100) ≈ 8,54 L/100 km ; 0,052x + 3,34 = 8,5, x ≈ 99 km/h. Interprétation (2 pts), estimations (6 pts).
3	Une étude montre une forte corrélation (R² = 0,95) entre le nombre de glaces vendues et le nombre de coups de soleil sur une plage. Un journal titre : « Les glaces provoquent des coups de soleil. » Commentez ce titre. Pour bien commencer : Le coefficient de détermination indique… · Cependant, cela ne signifie pas… · En réalité, …	8 pts	La corrélation n'est pas une causalité : un troisième facteur (l'ensoleillement, la chaleur) explique les deux phénomènes. Le titre est trompeur. Distinction corrélation et causalité (4 pts), facteur commun (2 pts), rédaction (2 pts).
Total		20 pts

Pistes pour un rythme de travail différent

Laisser deux jours de plus aux élèves qui ont peu de connexion et accepter un rendu sur papier photographié.
Proposer la fiche à trous, un énoncé découpé en petites questions et une vidéo de correction pas à pas.
Pour les élèves rapides : une démonstration, un programme Python à écrire ou un problème ouvert à présenter à l'oral.
Automatismes : lecture de graphiques, calcul d'une moyenne, image par une fonction affine.
Pour aller plus loin : chercher des données réelles (Insee, Météo‑France) et tester un ajustement affine.