Probabilités : réunion, intersection, tableaux croisés et conditionnement · version élève

Bonjour !

Dans cette séquence de mathématiques, tu vas chercher à répondre à la grande question écrite en haut de la page. Elle se fait en 2 séances. Pour chaque séance : lis la consigne, étudie les documents, réponds aux questions sur ta feuille ou sur l'ENT, puis recopie l'essentiel dans ton cahier. Tu peux imprimer cette page avec le bouton « Imprimer ».

À la fin, je serai capable de :

Traduire des évènements en langage ensembliste (∩, ∪, contraire)
Calculer P(A ∪ B) avec la relation P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Exploiter un tableau croisé d'effectifs et calculer une fréquence conditionnelle

Les mots importants

univers fini, évènementintersection A ∩ B, réunion A ∪ Bévènements incompatibles, évènement contrairetableau croisé d'effectifsfréquence conditionnelle, probabilité conditionnelle

Ressources de la séquence

Les notions, les repères et les pistes pour aller plus loin, utiles pour toutes les séances.

Les notions à maîtriser

Univers: Ensemble des issues d'une expérience aléatoire.
Intersection: A ∩ B : A et B sont réalisés tous les deux.
Réunion: A ∪ B : au moins un des deux est réalisé.
Incompatibles: A ∩ B est impossible ; alors P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
Relation: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) ; P(Ā) = 1 − P(A).
Fréquence conditionnelle: Effectif de A ∩ B divisé par l'effectif de B : proportion de A parmi B.

Repères

Date	Événement
1657	Huygens publie le premier traité de calcul des probabilités.
1812	Laplace définit la probabilité comme rapport des cas favorables aux cas possibles.
1880	John Venn popularise les diagrammes qui portent son nom.
1933	Kolmogorov fonde les probabilités sur la théorie des ensembles.

Pour aller plus loin

Lire · programmes de mathématiques de la voie professionnelle (éduscol).
Outil · calculatrice graphique GeoGebra.

Sources et bibliographie

Nicolas Gauvrit, Vous avez dit hasard ?, Belin, 2009.
Darrell Huff, How to Lie with Statistics, W. W. Norton, 1954.
Ian Hacking, L'Émergence de la probabilité, Seuil, 2002.

Mon parcours : je choisis mon rythme

Pour les élèves qui ont besoin de plus de temps : énoncé découpé en petites questions, rappel de cours en marge, calculatrice ou tableur autorisés pendant l'entraînement, correction pas à pas en vidéo ou en classe virtuelle.
Pour les élèves qui avancent vite : question d'approfondissement (démonstration, généralisation, programme Python à écrire), problème ouvert à rédiger et à présenter à l'oral.

Séance 1 · Réunion, intersection, contraire

65 min

Séance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes avec coups de pouce.

La question du jour

Quelle chance de tirer un coeur ou une figure ?

Mon plan de travail

10 min → Lancement en classe virtuelle : Je suis le lancement (ou j'écoute la capsule) et je recopie la problématique.
12 min → Travail autonome : Je fais l'activité 1 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
18 min → Travail autonome : Je fais l'activité 2 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
15 min → Travail à rendre : Je fais l'activité 3 et je la dépose sur l'ENT (ou j'envoie une photo) dans les trois jours.
10 min → Mise en commun : Je corrige avec une autre couleur et je complète la trace écrite.

Le cours à lire · Opérations sur les évènements

Dans un univers fini avec équiprobabilité, P(A) = nombre d'issues de A / nombre total d'issues. L'intersection A ∩ B (« A et B ») est l'ensemble des issues communes ; la réunion A ∪ B (« A ou B », au sens inclusif) est l'ensemble des issues qui sont dans l'un au moins. Deux évènements sont incompatibles si A ∩ B est vide. Relation : P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) (on retire ce qui a été compté deux fois). L'évènement contraire Ā a pour probabilité 1 − P(A). Un diagramme ou un tableau aide à visualiser.

Document 1 · Le jeu de cartes

Situation-problème.

Pour une animation au foyer, on tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes (4 couleurs : coeur, carreau, trèfle, pique ; 8 valeurs : 7, 8, 9, 10, valet, dame, roi, as). On gagne si la carte est un coeur ou une figure (valet, dame, roi).

Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).

Activité 1 · S'approprier

12 min

Essentiel

Supports : Document 1

Consigne :

Dénombrez.

Combien de coeurs ? de figures ?
Combien de figures de coeur ?
Combien de cartes font gagner ?

Ce qui est attendu (6 pts) : S'approprier, réaliser

Activité 2 · Réaliser

18 min

Essentiel

Supports : Cours

Consigne :

Calculez.

P(A ∪ B) ?
P(« ni coeur ni figure ») ?
A : « tirer un as », B : « tirer un roi » : incompatibles ? P(A ∪ B) ?

Ce qui est attendu (7 pts) : Analyser, raisonner, réaliser

Activité 3 · Communiquer

15 min

Travail à rendre

Supports : Documents et cours

Consigne :

Expliquez à un camarade (6 lignes) pourquoi on ne peut pas simplement additionner 8/32 et 12/32 pour calculer la probabilité de gagner. Pour bien commencer : Si on additionne, on compte… · Les figures de coeur sont… · Il faut donc retirer…

Ce qui est attendu (7 pts) : Valider · Communiquer

Trace écrite · document à compléter (papier ou ENT)

Complète la trace écrite avec les mots de la banque, puis recopie-la dans ton cahier.

etincompatiblesP(A ∩ B)un

A ∩ B est réalisé quand A ______ B sont réalisés. A ∪ B est réalisé quand au moins ______ des deux l'est. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − ________. Pour deux évènements _____________, on additionne simplement.

Séance 2 · Tableaux croisés et fréquences conditionnelles

65 min

Séance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes avec coups de pouce.

La question du jour

La formation sécurité est‑elle suivie partout ?

Mon plan de travail

10 min → Lancement en classe virtuelle : Je suis le lancement (ou j'écoute la capsule) et je recopie la problématique.
12 min → Travail autonome : Je fais l'activité 1 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
18 min → Travail autonome : Je fais l'activité 2 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
15 min → Travail à rendre : Je fais l'activité 3 et je la dépose sur l'ENT (ou j'envoie une photo) dans les trois jours.
10 min → Mise en commun : Je corrige avec une autre couleur et je complète la trace écrite.

Le cours à lire · Tableaux croisés

Un tableau croisé d'effectifs répartit une population selon deux critères (service et formation, par exemple), avec les totaux en ligne et en colonne. En choisissant un individu au hasard, P(A ∩ B) = effectif de la case / effectif total. La fréquence conditionnelle de A parmi B est effectif de A ∩ B / effectif de B : on change de population de référence. Elle permet de comparer des sous‑groupes ; une proportion globale peut masquer de grandes différences. Notation : P_B(A), probabilité de A sachant B.

Document 1 · La formation sécurité

Situation-problème.

Dans une entreprise de 200 salariés, 120 travaillent en atelier et 80 dans les bureaux. 90 salariés de l'atelier et 20 salariés des bureaux ont suivi une formation sécurité.

Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).

Activité 1 · S'approprier

12 min

Essentiel

Supports : Document 1

Consigne :

Complétez le tableau.

Effectifs des non formés par service ?
Total des formés ?
P(un salarié pris au hasard est formé) ?

Ce qui est attendu (6 pts) : S'approprier, réaliser

Activité 2 · Analyser, raisonner

18 min

Essentiel

Supports : Cours

Consigne :

Calculez les fréquences conditionnelles.

Proportion de formés parmi l'atelier ?
Parmi les bureaux ?
Proportion de salariés d'atelier parmi les formés ?

Ce qui est attendu (7 pts) : Analyser, raisonner, réaliser

Activité 3 · Valider, communiquer

15 min

Travail à rendre

Supports : Documents et cours

Consigne :

Rédigez une note au comité d'entreprise (6 à 8 lignes) : la direction affirme que la sécurité est assurée partout car 55 % des salariés sont formés. Discutez. Pour bien commencer : Globalement, … · Cependant, dans les bureaux, … · Je propose donc…

Ce qui est attendu (7 pts) : Valider · Communiquer

Trace écrite · document à compléter (papier ou ENT)

Complète la trace écrite avec les mots de la banque, puis recopie-la dans ton cahier.

conditionnelledifférencessachanttotaux

Une fréquence ______________ se calcule en divisant par l'effectif d'un sous‑groupe. Un tableau croisé comporte des ______ en ligne et en colonne. Une proportion globale peut masquer des ___________ entre sous‑groupes. P_B(A) se lit : probabilité de A _______ B.

Fiche à trous · je complète

Complète le texte avec les mots de la banque (sur papier ou dans le document de l'ENT).

etincompatiblesouP(A ∩ B)

L'évènement A ∩ B est réalisé quand A ______ B sont réalisés.

L'évènement A ∪ B est réalisé quand A ______ B est réalisé.

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − ________.

Deux évènements _____________ ne peuvent pas être réalisés en même temps.

Ce que j'ai appris

Traduire des évènements en langage ensembliste (∩, ∪, contraire)
Calculer P(A ∪ B) avec la relation P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Exploiter un tableau croisé d'effectifs et calculer une fréquence conditionnelle

Les 3 idées que je retiens :

Une méthode ou une formule que je veux retenir :

Ce qui reste difficile pour moi / ma question pour le professeur :