Bonjour !
Dans cette séquence de mathématiques, tu vas chercher à répondre à la grande question écrite en haut de la page. Elle se fait en 2 séances. Pour chaque séance : lis la consigne, étudie les documents, réponds aux questions sur ta feuille ou sur l'ENT, puis recopie l'essentiel dans ton cahier. Tu peux imprimer cette page avec le bouton « Imprimer ».
À la fin, je serai capable de :
- Résoudre graphiquement une équation f(x) = g(x)
- Résoudre graphiquement une inéquation f(x) ⩾ g(x) ou f(x) < g(x)
- Interpréter les solutions dans un contexte professionnel et contrôler par le calcul
Les mots importants
Ressources de la séquence
Les notions, les repères et les pistes pour aller plus loin, utiles pour toutes les séances.
Les notions à maîtriser
- Équation f(x) = g(x)
- Ses solutions sont les abscisses des points d'intersection des courbes de f et g.
- Inéquation f(x) ⩾ g(x)
- Ses solutions sont les abscisses des points où la courbe de f est au‑dessus de celle de g (ou la coupe).
- Position relative
- Ordre des deux courbes de part et d'autre des points d'intersection.
- Seuil
- Valeur de x à partir de laquelle une offre devient plus avantageuse.
- Contrôle
- On vérifie une valeur lue en calculant les deux images.
Repères
| Date | Événement |
|---|---|
| XIVe siècle | Nicole Oresme représente des grandeurs variables par des segments. |
| 1637 | Descartes relie équations et courbes dans La Géométrie. |
| Années 1980 | Les premières calculatrices graphiques se diffusent. |
| Aujourd'hui | Tableurs et grapheurs gratuits permettent de comparer des offres en quelques clics. |
Pour aller plus loin
Sources et bibliographie
- Ian Stewart, L'Univers des nombres, Belin, 2000.
- Jordan Ellenberg, L'Art de ne pas dire n'importe quoi, Cassini, 2017.
- Steven Strogatz, The Joy of x, Houghton Mifflin Harcourt, 2012.
Mon parcours : je choisis mon rythme
- Pour les élèves qui ont besoin de plus de temps : énoncé découpé en petites questions, rappel de cours en marge, calculatrice ou tableur autorisés pendant l'entraînement, correction pas à pas en vidéo ou en classe virtuelle.
- Pour les élèves qui avancent vite : question d'approfondissement (démonstration, généralisation, programme Python à écrire), problème ouvert à rédiger et à présenter à l'oral.
Séance 1 · Comparer deux offres
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes avec coups de pouce.
La question du jour
Quelle location choisir ?
Mon plan de travail
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Je suis le lancement (ou j'écoute la capsule) et je recopie la problématique.
- 12 min → Travail autonome : Je fais l'activité 1 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 18 min → Travail autonome : Je fais l'activité 2 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 15 min → Travail à rendre : Je fais l'activité 3 et je la dépose sur l'ENT (ou j'envoie une photo) dans les trois jours.
- 10 min → Mise en commun : Je corrige avec une autre couleur et je complète la trace écrite.
Le cours à lire · Lecture graphique
Pour résoudre graphiquement f(x) = g(x), on trace les courbes de f et g dans le même repère et on lit les abscisses des points d'intersection. Pour f(x) ⩾ g(x), on repère les abscisses pour lesquelles la courbe de f est au‑dessus (ou sur) celle de g ; pour f(x) < g(x), celles où elle est strictement en dessous. Les solutions se lisent sur l'axe des abscisses. Une lecture est approchée : on la contrôle par le calcul. En contexte, l'intersection donne souvent un seuil.
Document 1 · La location d'utilitaire
Situation-problème.
Une entreprise de paysagisme loue un utilitaire. Offre A : 50 € plus 0,40 € par kilomètre. Offre B : 90 € plus 0,20 € par kilomètre. On note x la distance parcourue en km.
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · S'approprier
12 minSupports : Document 1
Modélisez.
- Expressions A(x) et B(x) ?
- Prix de chaque offre pour 100 km ?
- Pour 300 km ?
Ce qui est attendu (6 pts) : S'approprier, réaliser
Activité 2 · Réaliser
18 minSupports : Cours
Tracez au grapheur (x de 0 à 400).
- Abscisse du point d'intersection ?
- Contrôle par le calcul ?
- Solutions de A(x) > B(x) ?
Ce qui est attendu (7 pts) : Analyser, raisonner, réaliser
Activité 3 · Valider, communiquer
15 minSupports : Documents et cours
Rédigez un conseil (6 lignes) pour le chef d'équipe : quelle offre choisir selon la distance prévue ? Pour bien commencer : Les deux offres coûtent le même prix pour… · En dessous de cette distance, … · Au‑delà, …
Ce qui est attendu (7 pts) : Valider · Communiquer
Trace écrite · document à compléter (papier ou ENT)
Complète la trace écrite avec les mots de la banque, puis recopie-la dans ton cahier.
Les solutions de f(x) = g(x) sont les abscisses des points d'____________. f(x) ⩾ g(x) quand la courbe de f est au‑______ de celle de g. Les deux offres coûtent le même prix à ______ km. On contrôle une lecture par le ______.
Séance 2 · Une parabole et une droite
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes avec coups de pouce.
La question du jour
Combien de solutions quand une courbe n'est pas une droite ?
Mon plan de travail
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Je suis le lancement (ou j'écoute la capsule) et je recopie la problématique.
- 12 min → Travail autonome : Je fais l'activité 1 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 18 min → Travail autonome : Je fais l'activité 2 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 15 min → Travail à rendre : Je fais l'activité 3 et je la dépose sur l'ENT (ou j'envoie une photo) dans les trois jours.
- 10 min → Mise en commun : Je corrige avec une autre couleur et je complète la trace écrite.
Le cours à lire · Cas non affine
La méthode graphique s'applique à toutes les fonctions. Exemple : f(x) = x² et g(x) = x + 2. La parabole et la droite se coupent en deux points d'abscisses −1 et 2 : l'équation x² = x + 2 a deux solutions. La parabole est au‑dessus de la droite pour x ⩽ −1 ou x ⩾ 2 : ce sont les solutions de f(x) ⩾ g(x). Entre −1 et 2, la parabole est en dessous. Une équation peut avoir zéro, une ou plusieurs solutions selon le nombre de points d'intersection.
Document 1 · Le bénéfice d'un atelier
Situation-problème.
Un atelier fabrique x centaines de pièces par jour (x entre 0 et 6). Le coût de production, en centaines d'euros, est C(x) = x² et la recette est R(x) = x + 2. L'atelier est bénéficiaire quand R(x) ⩾ C(x).
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · S'approprier
12 minSupports : Document 1
Calculez quelques valeurs.
- C(1) et R(1) ?
- C(3) et R(3) ?
- Que signifie R(x) ⩾ C(x) ?
Ce qui est attendu (6 pts) : S'approprier, réaliser
Activité 2 · Analyser, raisonner
18 minSupports : Cours
Tracez les deux courbes au grapheur.
- Abscisses des points d'intersection ?
- Contrôle de x = 2 ?
- Pour quelles productions l'atelier est‑il bénéficiaire ?
Ce qui est attendu (7 pts) : Analyser, raisonner, réaliser
Activité 3 · Valider, communiquer
15 minSupports : Documents et cours
Rédigez une note au gérant (6 à 8 lignes) : quelle production maximale conseiller, et pourquoi produire plus fait perdre de l'argent dans ce modèle ? Pour bien commencer : Le graphique montre que… · Au‑delà de 200 pièces, … · Je conseille donc…
Ce qui est attendu (7 pts) : Valider · Communiquer
Trace écrite · document à compléter (papier ou ENT)
Complète la trace écrite avec les mots de la banque, puis recopie-la dans ton cahier.
x² = x + 2 a deux solutions : −1 et ______. La parabole est au‑dessus de la droite pour x ⩽ −1 ou x ⩾ ______. Une équation peut avoir zéro, une ou plusieurs _________. Dans le contexte, seules les valeurs _________ ont un sens.
Fiche à trous · je complète
Complète le texte avec les mots de la banque (sur papier ou dans le document de l'ENT).
Les solutions de f(x) = g(x) sont les abscisses des points d'____________ des deux courbes.
f(x) ⩾ g(x) quand la courbe de f est _________ de celle de g.
On lit les solutions sur l'axe des _________.
On contrôle une solution lue en _________ f(x) et g(x).
Ce que j'ai appris
- Résoudre graphiquement une équation f(x) = g(x)
- Résoudre graphiquement une inéquation f(x) ⩾ g(x) ou f(x) < g(x)
- Interpréter les solutions dans un contexte professionnel et contrôler par le calcul