Résolution graphique d'équations et d'inéquations : comparer deux offres · version prof

Repères pour le professeur

Voie · niveauLycée professionnel (Bac Pro) · Première

DisciplineMathématiques

Programme officielProgramme de mathématiques de 1re professionnelle, BO spécial n°1 du 6 février 2020 (groupements A, B et C) : suites arithmétiques, polynômes de degré 2, fonction dérivée.

Place dans le programmeProgramme de mathématiques de première professionnelle (BO spécial n°1 du 6 février 2020), domaine « Algèbre-Analyse », module « Résolution graphique d'équations et d'inéquations »

Durée totale2 séances + 1 évaluation ≈ 3 h 05

ModalitéEnseignement à distance : classe virtuelle + travail autonome + rendu sur l'ENT

Objectifs et capacités

Objectifs

Résoudre graphiquement une équation f(x) = g(x)
Résoudre graphiquement une inéquation f(x) ⩾ g(x) ou f(x) < g(x)
Interpréter les solutions dans un contexte professionnel et contrôler par le calcul

Capacités travaillées (BO)

S'approprier : rechercher, extraire et organiser l'information
Analyser, raisonner : émettre une conjecture, choisir une méthode
Réaliser : calculer, représenter, utiliser un outil numérique
Valider : contrôler la vraisemblance, argumenter
Communiquer : rendre compte d'une démarche à l'écrit et à l'oral

Notions et définitions

courbe représentative, point d'intersectionéquation f(x) = g(x)inéquation f(x) ⩾ g(x)position relative de deux courbesseuil de rentabilité

Repères historiques

Descartes, *La Géométrie* (1637)
Oresme, représentation graphique des grandeurs (XIVe siècle)
Les calculatrices graphiques (années 1980)

Ressources de la séquence

Ancrage dans le programme, notions, repères, débats, bibliographie et différenciation, communs à toutes les séances.

Ancrage dans le programme officiel

Objectif du module : « L'objectif de ce module est d'apprendre à résoudre graphiquement des équations du type ƒ(x) = g(x) et des inéquations du type ƒ(x) ⩾ g(x) où ƒ et g sont deux fonctions. »

Outils numériques : « Les représentations graphiques des fonctions ƒ et g sont fournies ou obtenues à l'aide des outils numériques »

Compétences : « valider : critiquer un résultat, argumenter ; contrôler la vraisemblance d'une conjecture ; mener un raisonnement logique et établir une conclusion »

Certification (arrêté du 17 juin 2020, annexe III) : en contrôle en cours de formation, deux situations d'évaluation en première et terminale : « Ces situations d'évaluation ont chacune une durée de quarante-cinq minutes environ et sont notées sur 10 points. » « Un exercice au moins comporte une ou deux questions dont la résolution se fait en présence de l'examinateur. » Pour les candidats hors CCF : « L'épreuve, d'une durée d'une heure, est une évaluation écrite et pratique, notée sur 20 points se déroule en fin de cursus de formation. »

Notions : définitions rigoureuses

Équation f(x) = g(x): Ses solutions sont les abscisses des points d'intersection des courbes de f et g.
Inéquation f(x) ⩾ g(x): Ses solutions sont les abscisses des points où la courbe de f est au‑dessus de celle de g (ou la coupe).
Position relative: Ordre des deux courbes de part et d'autre des points d'intersection.
Seuil: Valeur de x à partir de laquelle une offre devient plus avantageuse.
Contrôle: On vérifie une valeur lue en calculant les deux images.

Repères

Date	Événement
XIVe siècle	Nicole Oresme représente des grandeurs variables par des segments.
1637	Descartes relie équations et courbes dans La Géométrie.
Années 1980	Les premières calculatrices graphiques se diffusent.
Aujourd'hui	Tableurs et grapheurs gratuits permettent de comparer des offres en quelques clics.

Les historiens en débat

Résoudre une équation en lisant l'intersection de deux courbes est une idée héritée de Descartes, qui a uni l'algèbre et la géométrie. La méthode graphique est précieuse en situation professionnelle : elle donne une vue d'ensemble, fait apparaître des seuils, puis le calcul vient confirmer la lecture. Synthèse du professeur.

Pour aller plus loin

Lire · programmes de mathématiques de la voie professionnelle (éduscol).
Outil · calculatrice graphique GeoGebra.

Sources et bibliographie

Ian Stewart, L'Univers des nombres, Belin, 2000.
Jordan Ellenberg, L'Art de ne pas dire n'importe quoi, Cassini, 2017.
Steven Strogatz, The Joy of x, Houghton Mifflin Harcourt, 2012.

Différenciation : un rythme de travail différent

Pour les élèves qui ont besoin de plus de temps : énoncé découpé en petites questions, rappel de cours en marge, calculatrice ou tableur autorisés pendant l'entraînement, correction pas à pas en vidéo ou en classe virtuelle.
Pour les élèves qui avancent vite : question d'approfondissement (démonstration, généralisation, programme Python à écrire), problème ouvert à rédiger et à présenter à l'oral.

Déroulé d'ensemble

Séance	Titre	Durée	Objectif
Séance 1	Comparer deux offres	65 min	résoudre graphiquement f(x) = g(x) et f(x) > g(x) avec des fonctions affines
Séance 2	Une parabole et une droite	65 min	résoudre graphiquement avec une fonction non affine
Évaluation	Évaluation de fin de séquence (/20)	55 min	Vérifier les acquis : connaissances, capacités, rédaction

Chaque séance dure environ 55 minutes à distance : lancement en classe virtuelle ou par message sur l'ENT, recherche du problème (calculatrice, tableur, GeoGebra ou Python dans le navigateur), mise en commun, cours et trace écrite. Les élèves renvoient la fiche à trous et leur production par l'ENT ou en photo.

Séance 1 · Comparer deux offres

65 min

Séance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.

Problématique de la séance

Quelle location choisir ?

Déroulé minuté à distance

10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
12 min → Travail autonome : Activité 1 (S'approprier) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
18 min → Travail autonome : Activité 2 (Réaliser) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Valider, communiquer) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.

Le cours développé (récit du professeur) · Lecture graphique

Pour résoudre graphiquement f(x) = g(x), on trace les courbes de f et g dans le même repère et on lit les abscisses des points d'intersection. Pour f(x) ⩾ g(x), on repère les abscisses pour lesquelles la courbe de f est au‑dessus (ou sur) celle de g ; pour f(x) < g(x), celles où elle est strictement en dessous. Les solutions se lisent sur l'axe des abscisses. Une lecture est approchée : on la contrôle par le calcul. En contexte, l'intersection donne souvent un seuil.

Document 1 · La location d'utilitaire

Situation-problème.

Une entreprise de paysagisme loue un utilitaire. Offre A : 50 € plus 0,40 € par kilomètre. Offre B : 90 € plus 0,20 € par kilomètre. On note x la distance parcourue en km.

Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).

Activité 1 · S'approprier

12 min

Essentiel

Supports : Document 1

Consigne :

Modélisez.

Expressions A(x) et B(x) ?
✔ Corrigé :
A(x) = 50 + 0,4x ; B(x) = 90 + 0,2x.
Prix de chaque offre pour 100 km ?
✔ Corrigé :
90 € et 110 €.
Pour 300 km ?
✔ Corrigé :
170 € et 150 €.

Critère de réussite	Points
S'approprier, réaliser	6
Total de l'activité	6

Activité 2 · Réaliser

18 min

Essentiel

Supports : Cours

Consigne :

Tracez au grapheur (x de 0 à 400).

Abscisse du point d'intersection ?
✔ Corrigé :
200.
Contrôle par le calcul ?
✔ Corrigé :
A(200) = B(200) = 130 €.
Solutions de A(x) > B(x) ?
✔ Corrigé :
x > 200 (jusqu'à 400 sur le graphique).

Critère de réussite	Points
Analyser, raisonner, réaliser	7
Total de l'activité	7

Activité 3 · Valider, communiquer

15 min

Travail à rendre

Supports : Documents et cours

Consigne :

Rédigez un conseil (6 lignes) pour le chef d'équipe : quelle offre choisir selon la distance prévue ? Pour bien commencer : Les deux offres coûtent le même prix pour… · En dessous de cette distance, … · Au‑delà, …

✔ Corrigé rédigé :

Seuil de 200 km et prix de 130 € ; conclusion pour chaque cas ; lien avec le graphique ; clarté.

Critère de réussite	Points
Valider	5
Communiquer	2
Total de l'activité	7

Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)

Les solutions de f(x) = g(x) sont les abscisses des points d'intersection. f(x) ⩾ g(x) quand la courbe de f est au‑dessus de celle de g. Les deux offres coûtent le même prix à 200 km. On contrôle une lecture par le calcul.

Barème récapitulatif des activités notées

Activité	Points
Activité 1 · S'approprier	6
Activité 2 · Réaliser	7
Activité 3 · Valider, communiquer	7
Total	20 / 20

Séance 2 · Une parabole et une droite

65 min

Séance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.

Problématique de la séance

Combien de solutions quand une courbe n'est pas une droite ?

Déroulé minuté à distance

10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
12 min → Travail autonome : Activité 1 (S'approprier) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
18 min → Travail autonome : Activité 2 (Analyser, raisonner) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Valider, communiquer) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.

Le cours développé (récit du professeur) · Cas non affine

La méthode graphique s'applique à toutes les fonctions. Exemple : f(x) = x² et g(x) = x + 2. La parabole et la droite se coupent en deux points d'abscisses −1 et 2 : l'équation x² = x + 2 a deux solutions. La parabole est au‑dessus de la droite pour x ⩽ −1 ou x ⩾ 2 : ce sont les solutions de f(x) ⩾ g(x). Entre −1 et 2, la parabole est en dessous. Une équation peut avoir zéro, une ou plusieurs solutions selon le nombre de points d'intersection.

Document 1 · Le bénéfice d'un atelier

Situation-problème.

Un atelier fabrique x centaines de pièces par jour (x entre 0 et 6). Le coût de production, en centaines d'euros, est C(x) = x² et la recette est R(x) = x + 2. L'atelier est bénéficiaire quand R(x) ⩾ C(x).

Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).

Activité 1 · S'approprier

12 min

Essentiel

Supports : Document 1

Consigne :

Calculez quelques valeurs.

C(1) et R(1) ?
✔ Corrigé :
1 et 3.
C(3) et R(3) ?
✔ Corrigé :
9 et 5.
Que signifie R(x) ⩾ C(x) ?
✔ Corrigé :
La recette couvre le coût : l'atelier ne perd pas d'argent.

Critère de réussite	Points
S'approprier, réaliser	6
Total de l'activité	6

Activité 2 · Analyser, raisonner

18 min

Essentiel

Supports : Cours

Consigne :

Tracez les deux courbes au grapheur.

Abscisses des points d'intersection ?
✔ Corrigé :
−1 et 2 ; seul 2 a un sens ici (x ⩾ 0).
Contrôle de x = 2 ?
✔ Corrigé :
C(2) = 4 = R(2).
Pour quelles productions l'atelier est‑il bénéficiaire ?
✔ Corrigé :
De 0 à 2 centaines de pièces, la droite est au‑dessus de la parabole.

Critère de réussite	Points
Analyser, raisonner, réaliser	7
Total de l'activité	7

Activité 3 · Valider, communiquer

15 min

Travail à rendre

Supports : Documents et cours

Consigne :

Rédigez une note au gérant (6 à 8 lignes) : quelle production maximale conseiller, et pourquoi produire plus fait perdre de l'argent dans ce modèle ? Pour bien commencer : Le graphique montre que… · Au‑delà de 200 pièces, … · Je conseille donc…

✔ Corrigé rédigé :

Seuil x = 2 lu et contrôlé ; interprétation (200 pièces) ; position des courbes ; limite du modèle ; rédaction claire.

Critère de réussite	Points
Valider	5
Communiquer	2
Total de l'activité	7

Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)

x² = x + 2 a deux solutions : −1 et 2. La parabole est au‑dessus de la droite pour x ⩽ −1 ou x ⩾ 2. Une équation peut avoir zéro, une ou plusieurs solutions. Dans le contexte, seules les valeurs positives ont un sens.

Barème récapitulatif des activités notées

Activité	Points
Activité 1 · S'approprier	6
Activité 2 · Analyser, raisonner	7
Activité 3 · Valider, communiquer	7
Total	20 / 20

Fiche à trous · corrigé

Les solutions de f(x) = g(x) sont les abscisses des points d'intersection des deux courbes.

f(x) ⩾ g(x) quand la courbe de f est au‑dessus de celle de g.

On lit les solutions sur l'axe des abscisses.

On contrôle une solution lue en calculant f(x) et g(x).

La version élève contient la même fiche avec une banque de mots (papier ou ENT).

Évaluation de fin de séquence (/20) · barème et corrigé

Évaluation sur 20 à faire en temps limité sur l'ENT ou sur papier, puis à renvoyer en photo ; le corrigé et le barème servent aussi à l'autoévaluation. En Bac Pro, elle est construite comme une situation de contrôle en cours de formation (problème contextualisé, compétences évaluées) ; en 1re générale, elle prépare à l'épreuve anticipée (automatismes sans calculatrice et exercices) ; en Terminale générale, aux exercices indépendants de l'épreuve de spécialité.

N°	Question	Barème	Corrigé et critères
1	Sur un graphique, la courbe de f et la droite de g se coupent aux points d'abscisses −1 et 2. Que pouvez‑vous dire de l'équation f(x) = g(x) ?	4 pts	Elle a deux solutions, −1 et 2 (lues sur l'axe des abscisses). 4 points.
2	Location d'un utilitaire : offre A, 50 € plus 0,40 € par km ; offre B, 90 € plus 0,20 € par km. Tracez les deux droites pour une distance de 0 à 400 km, résolvez graphiquement A(x) = B(x), puis A(x) > B(x), et contrôlez par le calcul.	8 pts	Intersection en x = 200 (90 € pour les deux) ; A(x) > B(x) pour x > 200 : au‑delà de 200 km, B est plus avantageuse. Contrôle : 50 + 80 = 90 + 40 = 130 €. Graphique (3 pts), résolutions (3 pts), contrôle (2 pts).
3	Un artisan doit conseiller un client qui prévoit 150 km par semaine pendant un mois (4 semaines). Quelle offre lui conseillez‑vous ? Justifiez à partir du graphique. Pour bien commencer : Sur un mois, la distance prévue est… · Le graphique montre que, au‑delà de 200 km, … · Je conseille donc…	8 pts	600 km : A(600) = 290 €, B(600) = 210 € ; 600 > 200, donc l'offre B est la plus avantageuse ; économie de 80 €. Calcul (3 pts), lecture graphique (3 pts), rédaction (2 pts).
Total		20 pts

Pistes pour un rythme de travail différent

Laisser deux jours de plus aux élèves qui ont peu de connexion et accepter un rendu sur papier photographié.
Proposer la fiche à trous, un énoncé découpé en petites questions et une vidéo de correction pas à pas.
Pour les élèves rapides : une démonstration, un programme Python à écrire ou un problème ouvert à présenter à l'oral.
Automatismes : image d'un nombre par une fonction affine, lecture d'un graphique, équation du premier degré.
Pour aller plus loin : comparer trois offres et repérer plusieurs seuils au tableur grapheur.