Repères pour le professeur
Objectifs et capacités
Objectifs
- Reconnaître et représenter les solides usuels (pavé, cylindre, cône, pyramide, boule)
- Déterminer la nature de la section d'un solide par un plan parallèle à une face ou à la base
- Calculer des volumes de solides composés et convertir les unités
Capacités travaillées (BO)
- S'approprier : rechercher, extraire et organiser l'information
- Analyser, raisonner : émettre une conjecture, choisir une méthode
- Réaliser : calculer, représenter, utiliser un outil numérique
- Valider : contrôler la vraisemblance, argumenter
- Communiquer : rendre compte d'une démarche à l'écrit et à l'oral
Notions et définitions
Repères historiques
- Archimède, volume de la sphère (IIIe siècle av. J.‑C.)
- Cavalieri, principe des indivisibles (1635)
- Monge, géométrie descriptive (1799)
Ressources de la séquence
Ancrage dans le programme, notions, repères, débats, bibliographie et différenciation, communs à toutes les séances.
Ancrage dans le programme officiel
Problèmes : « ils résolvent des problèmes mettant en jeu des solides ou leur section par un plan. »
Outils numériques : « Dans le cadre de la résolution de problèmes, l'utilisation de logiciels de géométrie dynamique donne aux élèves une plus grande autonomie et encourage leur prise d'initiative. »
Compétences : « valider : critiquer un résultat, argumenter ; contrôler la vraisemblance d'une conjecture ; mener un raisonnement logique et établir une conclusion »
Certification (arrêté du 17 juin 2020, annexe III) : en contrôle en cours de formation, deux situations d'évaluation en première et terminale : « Ces situations d'évaluation ont chacune une durée de quarante-cinq minutes environ et sont notées sur 10 points. » « Un exercice au moins comporte une ou deux questions dont la résolution se fait en présence de l'examinateur. » Pour les candidats hors CCF : « L'épreuve, d'une durée d'une heure, est une évaluation écrite et pratique, notée sur 20 points se déroule en fin de cursus de formation. »
Notions : définitions rigoureuses
- Pavé droit
- V = L × l × h.
- Cylindre
- V = π × r² × h.
- Cône, pyramide
- V = (1/3) × aire de la base × h.
- Boule
- V = (4/3) × π × r³.
- Section plane
- Intersection d'un solide et d'un plan : rectangle, disque, triangle, carré…
- Capacité
- 1 dm³ = 1 L ; 1 m³ = 1000 L.
Repères
| Date | Événement |
|---|---|
| IIIe siècle av. J.‑C. | Archimède établit le volume de la sphère, les deux tiers du cylindre qui la contient. |
| 1635 | Cavalieri compare les volumes par leurs sections. |
| 1799 | Monge publie la Géométrie descriptive, base du dessin technique. |
| Aujourd'hui | La conception assistée par ordinateur représente et calcule les solides. |
Les historiens en débat
Archimède était si fier de son résultat sur la sphère et le cylindre qu'il voulut le voir gravé sur sa tombe. Le principe de Cavalieri compare des volumes par leurs sections planes ; la géométrie descriptive de Monge a donné le dessin technique, ancêtre des logiciels de conception utilisés aujourd'hui dans les ateliers et bureaux d'études. Synthèse du professeur.
Pour aller plus loin
Sources et bibliographie
- Euclide, Les Éléments, trad. Bernard Vitrac, PUF, 1990‑2001.
- Richard Courant et Herbert Robbins, Qu'est‑ce que les mathématiques ?, Cassini, 2015.
- Denis Guedj, Le Théorème du perroquet, Seuil, 1998.
Différenciation : un rythme de travail différent
- Pour les élèves qui ont besoin de plus de temps : énoncé découpé en petites questions, rappel de cours en marge, calculatrice ou tableur autorisés pendant l'entraînement, correction pas à pas en vidéo ou en classe virtuelle.
- Pour les élèves qui avancent vite : question d'approfondissement (démonstration, généralisation, programme Python à écrire), problème ouvert à rédiger et à présenter à l'oral.
Déroulé d'ensemble
| Séance | Titre | Durée | Objectif |
|---|---|---|---|
| Séance 1 | Solides et sections | 65 min | reconnaître les solides usuels et leurs sections planes |
| Séance 2 | Volumes de solides composés | 65 min | calculer le volume d'un solide composé et convertir |
| Évaluation | Évaluation de fin de séquence (/20) | 55 min | Vérifier les acquis : connaissances, capacités, rédaction |
Chaque séance dure environ 55 minutes à distance : lancement en classe virtuelle ou par message sur l'ENT, recherche du problème (calculatrice, tableur, GeoGebra ou Python dans le navigateur), mise en commun, cours et trace écrite. Les élèves renvoient la fiche à trous et leur production par l'ENT ou en photo.
Séance 1 · Solides et sections
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.
Problématique de la séance
Que voit‑on quand on tranche un solide ?
Déroulé minuté à distance
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
- 12 min → Travail autonome : Activité 1 (S'approprier) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 18 min → Travail autonome : Activité 2 (Réaliser) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Communiquer) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
- 10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.
Le cours développé (récit du professeur) · Sections planes
Les solides usuels sont le pavé droit (et le cube), le cylindre, le cône, la pyramide et la boule. On les représente en perspective cavalière (les arêtes cachées en pointillés). La section d'un solide par un plan est la figure obtenue en le coupant : pavé coupé parallèlement à une face, un rectangle identique à la face ; cylindre coupé parallèlement à la base, un disque de même rayon ; cône ou pyramide coupé parallèlement à la base, une réduction de la base ; boule coupée par un plan, un disque (le plus grand passe par le centre).
Document 1 · La découpe en atelier
Situation-problème.
Un atelier de menuiserie et de chaudronnerie découpe des pièces : une poutre en forme de pavé (20 cm × 10 cm × 2 m), un tube cylindrique plein de rayon 5 cm, un cône en métal de rayon 6 cm et de hauteur 12 cm, une boule décorative de rayon 8 cm.
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · S'approprier
12 minSupports : Document 1
Nommez les sections.
- Poutre coupée parallèlement à sa petite face ?✔ Corrigé :
Un rectangle de 20 cm × 10 cm.
- Tube coupé parallèlement à sa base ?✔ Corrigé :
Un disque de rayon 5 cm.
- Boule coupée par un plan passant par son centre ?✔ Corrigé :
Un disque de rayon 8 cm.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| S'approprier, réaliser | 6 |
| Total de l'activité | 6 |
Activité 2 · Réaliser
18 minSupports : Cours
Le cône est coupé parallèlement à sa base, à mi‑hauteur.
- Nature de la section ?✔ Corrigé :
Un disque.
- Rayon (réduction de rapport 1/2) ?✔ Corrigé :
3 cm.
- Aire de cette section ?✔ Corrigé :
π × 9 ≈ 28,3 cm².
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Analyser, raisonner, réaliser | 7 |
| Total de l'activité | 7 |
Activité 3 · Communiquer
15 minSupports : Documents et cours
Rédigez une fiche de consignes (6 lignes) pour un apprenti : comment prévoir la forme d'une section avant la découpe ? Pour bien commencer : Pour un solide coupé parallèlement à… · Si le solide est un cône, … · Avant de couper, il faut…
Règles pour au moins trois solides ; vocabulaire précis ; réduction pour le cône ; clarté.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Valider | 5 |
| Communiquer | 2 |
| Total de l'activité | 7 |
Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)
La section d'un pavé parallèle à une face est un rectangle. La section d'un cylindre parallèle à la base est un disque. Le cône coupé parallèlement à sa base donne une réduction de la base. Les arêtes cachées sont en pointillés.
Barème récapitulatif des activités notées
| Activité | Points |
|---|---|
| Activité 1 · S'approprier | 6 |
| Activité 2 · Réaliser | 7 |
| Activité 3 · Communiquer | 7 |
| Total | 20 / 20 |
Séance 2 · Volumes de solides composés
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.
Problématique de la séance
Combien de grain dans le silo ?
Déroulé minuté à distance
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
- 12 min → Travail autonome : Activité 1 (S'approprier) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 18 min → Travail autonome : Activité 2 (Analyser, raisonner) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Valider, communiquer) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
- 10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.
Le cours développé (récit du professeur) · Volumes
Formules : pavé V = L × l × h ; cylindre V = π × r² × h ; cône et pyramide V = (1/3) × aire de la base × h ; boule V = (4/3) × π × r³. Un solide composé se découpe en solides usuels dont on additionne (ou soustrait) les volumes. On garde la valeur exacte (avec π) le plus longtemps possible, puis on arrondit. Conversions : 1 m³ = 1000 dm³ = 1000 L. La masse se déduit du volume par la masse volumique.
Document 1 · Le silo agricole
Situation-problème.
Une coopérative agricole possède un silo formé d'un cylindre de rayon 3 m et de hauteur 8 m, surmonté d'un toit conique de même rayon et de hauteur 2 m.
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · S'approprier
12 minSupports : Document 1
Décomposez.
- Quels solides ?✔ Corrigé :
Un cylindre et un cône.
- Aire de la base commune ?✔ Corrigé :
π × 9 = 9π m².
- Unités du résultat ?✔ Corrigé :
m³.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| S'approprier, réaliser | 6 |
| Total de l'activité | 6 |
Activité 2 · Analyser, raisonner
18 minSupports : Cours
Calculez.
- Volume du cylindre ?✔ Corrigé :
72π ≈ 226,2 m³.
- Volume du cône ?✔ Corrigé :
6π ≈ 18,8 m³.
- Volume total en litres ?✔ Corrigé :
78π ≈ 245 m³, soit environ 245 000 L.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Analyser, raisonner, réaliser | 7 |
| Total de l'activité | 7 |
Activité 3 · Valider, communiquer
15 minSupports : Documents et cours
Le grain pèse environ 0,75 t par m³ et seul le cylindre est rempli. Rédigez un message au responsable (6 à 8 lignes) : quelle masse stockée, combien de camions de 25 t pour la transporter ? Pour bien commencer : Le volume rempli est… · La masse correspondante est… · Il faut donc… camions
Volume 226,2 m³ ; masse ≈ 169,6 t ; 7 camions (6,8 arrondi à l'entier supérieur) ; justification de l'arrondi ; clarté.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Valider | 5 |
| Communiquer | 2 |
| Total de l'activité | 7 |
Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)
Le volume d'un cylindre est π × r² × h. Le volume d'un cône est le tiers de celui du cylindre de même base et même hauteur. 1 m³ = 1000 L. Un solide composé se découpe en solides usuels.
Barème récapitulatif des activités notées
| Activité | Points |
|---|---|
| Activité 1 · S'approprier | 6 |
| Activité 2 · Analyser, raisonner | 7 |
| Activité 3 · Valider, communiquer | 7 |
| Total | 20 / 20 |
Fiche à trous · corrigé
La section d'un cylindre par un plan parallèle à sa base est un disque.
Le volume d'un cylindre est V = π × r² × h.
Le volume d'un cône est le tiers de celui du cylindre de même base et même hauteur.
1 m³ = 1000 L.
La version élève contient la même fiche avec une banque de mots (papier ou ENT).
Évaluation de fin de séquence (/20) · barème et corrigé
Évaluation sur 20 à faire en temps limité sur l'ENT ou sur papier, puis à renvoyer en photo ; le corrigé et le barème servent aussi à l'autoévaluation. En Bac Pro, elle est construite comme une situation de contrôle en cours de formation (problème contextualisé, compétences évaluées) ; en 1re générale, elle prépare à l'épreuve anticipée (automatismes sans calculatrice et exercices) ; en Terminale générale, aux exercices indépendants de l'épreuve de spécialité.
| N° | Question | Barème | Corrigé et critères |
|---|---|---|---|
| 1 | Donnez la nature de la section d'un pavé droit par un plan parallèle à une face, et celle d'une boule par un plan. | 4 pts | Un rectangle de mêmes dimensions que la face ; un disque. 2 points chacun. |
| 2 | Un silo est formé d'un cylindre de rayon 3 m et de hauteur 8 m, surmonté d'un cône de même rayon et de hauteur 2 m. Calculez le volume total, valeur exacte puis arrondie au m³. | 8 pts | Cylindre : π × 9 × 8 = 72π ; cône : (1/3) × π × 9 × 2 = 6π ; total 78π ≈ 245 m³. Cylindre (3 pts), cône (3 pts), total (2 pts). |
| 3 | Le grain a une masse volumique d'environ 0,75 tonne par m³. Le silo est rempli aux trois quarts du cylindre seulement. Un camion transporte 25 tonnes. Combien de camions faut‑il pour vider le silo ? Justifiez. Pour bien commencer : *Le volume de grain est…* · *Sa masse est donc…* · *Il faut au moins… camions car…* | 8 pts | Volume : 0,75 × 72π ≈ 169,6 m³ ; masse ≈ 127,2 t ; 127,2 / 25 ≈ 5,1 : il faut 6 camions. Volume (3 pts), masse (2 pts), conclusion arrondie à l'entier supérieur (3 pts). |
| Total | 20 pts | ||
Pistes pour un rythme de travail différent
- Laisser deux jours de plus aux élèves qui ont peu de connexion et accepter un rendu sur papier photographié.
- Proposer la fiche à trous, un énoncé découpé en petites questions et une vidéo de correction pas à pas.
- Pour les élèves rapides : une démonstration, un programme Python à écrire ou un problème ouvert à présenter à l'oral.
- Automatismes : aires du disque et du rectangle, conversions d'unités, valeurs approchées.
- Pour aller plus loin : explorer les sections d'un cube avec un logiciel de géométrie dynamique 3D gratuit.