Bonjour !
Dans cette séquence de mathématiques, tu vas chercher à répondre à la grande question écrite en haut de la page. Elle se fait en 2 séances. Pour chaque séance : lis la consigne, étudie les documents, réponds aux questions sur ta feuille ou sur l'ENT, puis recopie l'essentiel dans ton cahier. Tu peux imprimer cette page avec le bouton « Imprimer ».
À la fin, je serai capable de :
- Lire et représenter un vecteur par ses coordonnées dans un repère orthonormé
- Calculer la norme d'un vecteur et les coordonnées d'une somme
- Reconnaître des vecteurs colinéaires à l'aide du produit par un réel
Les mots importants
Ressources de la séquence
Les notions, les repères et les pistes pour aller plus loin, utiles pour toutes les séances.
Les notions à maîtriser
- Vecteur
- Objet défini par une direction, un sens et une norme ; représenté par une flèche.
- Coordonnées
- AB(xB − xA ; yB − yA).
- Norme
- ‖u‖ = √(x² + y²) dans un repère orthonormé.
- Somme
- u + v a pour coordonnées (x + x′ ; y + y′) ; relation de Chasles AB + BC = AC.
- Produit par un réel
- k u a pour coordonnées (kx ; ky).
- Colinéarité
- u et v sont colinéaires s'il existe k tel que v = k u.
Repères
| Date | Événement |
|---|---|
| 1586 | Simon Stevin étudie l'équilibre des forces sur un plan incliné. |
| 1687 | Newton énonce la règle du parallélogramme des forces. |
| Années 1880 | Gibbs et Heaviside créent le calcul vectoriel moderne. |
| Aujourd'hui | Les vecteurs servent en mécanique, en navigation et en infographie. |
Pour aller plus loin
Sources et bibliographie
- Ian Stewart, 17 équations qui ont changé le monde, Robert Laffont, 2014.
- Richard Courant et Herbert Robbins, Qu'est‑ce que les mathématiques ?, Cassini, 2015.
- Steven Strogatz, The Joy of x, Houghton Mifflin Harcourt, 2012.
Mon parcours : je choisis mon rythme
- Pour les élèves qui ont besoin de plus de temps : énoncé découpé en petites questions, rappel de cours en marge, calculatrice ou tableur autorisés pendant l'entraînement, correction pas à pas en vidéo ou en classe virtuelle.
- Pour les élèves qui avancent vite : question d'approfondissement (démonstration, généralisation, programme Python à écrire), problème ouvert à rédiger et à présenter à l'oral.
Séance 1 · Coordonnées et norme
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes avec coups de pouce.
La question du jour
Comment décrire précisément un déplacement ?
Mon plan de travail
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Je suis le lancement (ou j'écoute la capsule) et je recopie la problématique.
- 12 min → Travail autonome : Je fais l'activité 1 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 18 min → Travail autonome : Je fais l'activité 2 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 15 min → Travail à rendre : Je fais l'activité 3 et je la dépose sur l'ENT (ou j'envoie une photo) dans les trois jours.
- 10 min → Mise en commun : Je corrige avec une autre couleur et je complète la trace écrite.
Le cours à lire · Coordonnées d'un vecteur
Un vecteur est défini par une direction, un sens et une norme (longueur). Le vecteur AB va de A vers B. Dans un repère, ses coordonnées sont (xB − xA ; yB − yA) : le déplacement horizontal puis vertical. Deux vecteurs sont égaux s'ils ont les mêmes coordonnées ; opposés si leurs coordonnées sont opposées. Dans un repère orthonormé, la norme de u(x ; y) est √(x² + y²) (théorème de Pythagore).
Document 1 · Le robot d'entrepôt
Situation-problème.
Dans un entrepôt quadrillé (unité : 1 m), un robot part du point A(1 ; 2), va au point B(4 ; 6), puis au point C(10 ; 6).
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · S'approprier
12 minSupports : Document 1
Lisez les déplacements.
- Coordonnées de AB ?
- Coordonnées de BC ?
- Coordonnées de BA ?
Ce qui est attendu (6 pts) : S'approprier, réaliser
Activité 2 · Réaliser
18 minSupports : Cours
Calculez les normes.
- Norme de AB ?
- Norme de BC ?
- Distance AC en ligne droite ?
Ce qui est attendu (7 pts) : Analyser, raisonner, réaliser
Activité 3 · Communiquer
15 minSupports : Documents et cours
Rédigez la suite d'instructions du robot (6 lignes) avec les vecteurs, et comparez la longueur du trajet A, B, C avec la distance AC. Pour bien commencer : Le robot se déplace d'abord de… · Le trajet total mesure… · En ligne droite, il parcourrait…
Ce qui est attendu (7 pts) : Valider · Communiquer
Trace écrite · document à compléter (papier ou ENT)
Complète la trace écrite avec les mots de la banque, puis recopie-la dans ton cahier.
Le vecteur AB a pour coordonnées (xB − xA ; _______). La norme de u(x ; y) est √(x² + ______). Deux vecteurs égaux ont les mêmes ___________. Un vecteur a une direction, un sens et une ______.
Séance 2 · Somme et colinéarité
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes avec coups de pouce.
La question du jour
Quelle est la force totale exercée par deux câbles ?
Mon plan de travail
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Je suis le lancement (ou j'écoute la capsule) et je recopie la problématique.
- 12 min → Travail autonome : Je fais l'activité 1 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 18 min → Travail autonome : Je fais l'activité 2 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 15 min → Travail à rendre : Je fais l'activité 3 et je la dépose sur l'ENT (ou j'envoie une photo) dans les trois jours.
- 10 min → Mise en commun : Je corrige avec une autre couleur et je complète la trace écrite.
Le cours à lire · Somme de vecteurs
La somme de u(x ; y) et v(x′ ; y′) a pour coordonnées (x + x′ ; y + y′). Géométriquement : on met les vecteurs bout à bout (relation de Chasles AB + BC = AC) ou on construit un parallélogramme. Attention : la norme d'une somme n'est pas la somme des normes, sauf si les vecteurs ont même direction et même sens. Le produit k u a pour coordonnées (kx ; ky). Deux vecteurs sont colinéaires s'il existe un réel k tel que v = k u : ils ont la même direction.
Document 1 · Le levage d'un bloc
Situation-problème.
Sur un chantier, deux câbles tirent un bloc de béton. Les forces, en kilonewtons, ont pour coordonnées F1(3 ; 4) et F2(1 ; −2).
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · S'approprier
12 minSupports : Document 1
Additionnez.
- Coordonnées de F1 + F2 ?
- Norme de F1 + F2 ?
- Somme des normes de F1 et F2 ?
Ce qui est attendu (6 pts) : S'approprier, réaliser
Activité 2 · Analyser, raisonner
18 minSupports : Cours
Étudiez la colinéarité.
- u(2 ; 3) et v(6 ; 9) ?
- u(2 ; 3) et w(4 ; 5) ?
- Quelle force F4 annule F1 ?
Ce qui est attendu (7 pts) : Analyser, raisonner, réaliser
Activité 3 · Valider, communiquer
15 minSupports : Documents et cours
Rédigez une note de sécurité (6 à 8 lignes) : un technicien pense que deux câbles de 5 kN donnent toujours 10 kN. Utilisez F1(3 ; 4) et F3(4 ; −3) pour le corriger. Pour bien commencer : Les deux forces ont chacune une norme de… · Leur somme vaut… · Il faut donc retenir que…
Ce qui est attendu (7 pts) : Valider · Communiquer
Trace écrite · document à compléter (papier ou ENT)
Complète la trace écrite avec les mots de la banque, puis recopie-la dans ton cahier.
La somme de u(x ; y) et v(x′ ; y′) a pour coordonnées (x + x′ ; ______). La norme d'une somme n'est pas en général la somme des ______. k u a pour coordonnées (______ ; ky). v = k u signifie que u et v sont ___________.
Fiche à trous · je complète
Complète le texte avec les mots de la banque (sur papier ou dans le document de l'ENT).
Un vecteur est défini par une direction, un sens et une ______.
Le vecteur AB a pour coordonnées (xB − xA ; _______).
La norme de u(x ; y) est la racine carrée de _______.
Deux vecteurs sont ___________ si l'un est le produit de l'autre par un réel.
Ce que j'ai appris
- Lire et représenter un vecteur par ses coordonnées dans un repère orthonormé
- Calculer la norme d'un vecteur et les coordonnées d'une somme
- Reconnaître des vecteurs colinéaires à l'aide du produit par un réel