Version élève → Mathématiques · Lycée professionnel · 2de · Seconde

Séquence 2 · Fonctions : modéliser, comparer, optimiser

Comment une fonction permet-elle de comparer deux tarifs ou de trouver la meilleure solution à un problème ?

Bonjour !

Dans cette séquence de mathématiques, tu vas chercher à répondre à la grande question écrite en haut de la page. Elle se fait en 2 séances. Pour chaque séance : lis la consigne, étudie les documents, réponds aux questions sur ta feuille ou sur l'ENT, puis recopie l'essentiel dans ton cahier. Tu peux imprimer cette page avec le bouton « Imprimer ».

À la fin, je serai capable de :

Les mots importants

variable, image, antécédent, notation f(x)fonction affine, coefficient directeur, ordonnée à l'originecourbe représentativefonction croissante, décroissante, tableau de variationsmaximum, minimum, balayage

Ressources de la séquence

Les notions, les repères et les pistes pour aller plus loin, utiles pour toutes les séances.

Les notions à maîtriser

Fonction
Processus qui associe à chaque nombre x (la variable) un unique nombre f(x), son image.
Fonction affine
f(x) = ax + b : sa courbe est une droite de coefficient directeur a et d'ordonnée à l'origine b.
Coefficient directeur
Variation de f(x) quand x augmente de 1 ; il s'interprète comme un taux (prix au kilomètre).
Sens de variation
Une fonction est croissante si f(x) augmente quand x augmente, décroissante sinon.
Extremum
Plus grande (maximum) ou plus petite (minimum) valeur prise par la fonction sur un intervalle.
Balayage
Méthode numérique : on calcule f sur une grille de valeurs, puis on affine le pas autour du meilleur résultat.

Repères

DateÉvénement
1637Descartes relie courbes et équations.
1748Euler fait de la fonction un objet central de l'analyse.
1837Dirichlet donne la définition moderne de la fonction.
1979VisiCalc, premier tableur pour ordinateur personnel.

Pour aller plus loin

Sources et bibliographie

Mon parcours : je choisis mon rythme

Séance 1 · Comparer deux tarifs avec des fonctions affines

65 min

Séance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes avec coups de pouce.

La question du jour

Quel tarif de transport choisir selon la distance ?

Mon plan de travail

Le cours à lire · Fonctions affines

Une fonction affine s'écrit f(x) = ax + b. Sa courbe représentative est une droite : b est l'ordonnée à l'origine (valeur pour x = 0, par exemple un forfait) et a le coefficient directeur (augmentation de f(x) quand x augmente de 1, par exemple un prix au kilomètre). Si a > 0, f est croissante ; si a < 0, décroissante. Si b = 0, la fonction est linéaire (situation de proportionnalité). Pour comparer deux tarifs, on trace les deux droites : l'abscisse du point d'intersection donne la valeur où les tarifs sont égaux, puis on lit quelle droite est en dessous de part et d'autre.

Document 1 · Deux tarifs de livraison

Situation professionnelle.

Une entreprise de livraison propose deux tarifs. Tarif A : 5 € de prise en charge plus 2 € par kilomètre. Tarif B : 3 € par kilomètre, sans prise en charge. On note x la distance en kilomètres.

Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).

Activité 1 · S'approprier

12 min
Essentiel

Supports : Document 1

Consigne :

Modélisez.

  1. Expression des fonctions A et B ?
  2. Laquelle est linéaire ? Pourquoi ?
  3. Prix de 4 km et de 8 km avec chaque tarif ?

Ce qui est attendu (6 pts) : Modélisation

Activité 2 · Réaliser

18 min
Essentiel

Supports : Document 1, cours

Consigne :

Tracez les deux droites (GeoGebra ou papier, x de 0 à 10).

  1. Coordonnées du point d'intersection ?
  2. Résolvez 2x + 5 = 3x par le calcul.
  3. Quel tarif choisir selon la distance ?

Ce qui est attendu (7 pts) : Graphique et résolution

Activité 3 · Communiquer

15 min
Travail à rendre

Supports : Documents et cours

Consigne :

Rédigez une réponse à un client (6 à 8 lignes) qui demande quel tarif choisir pour des livraisons de 3 km et de 12 km, avec les calculs. Pour bien commencer : Pour 3 km, le tarif A coûte… et le tarif B… · Pour 12 km, … · Je vous conseille donc…

Ce qui est attendu (7 pts) : Validation · Communication

Trace écrite · document à compléter (papier ou ENT)

Complète la trace écrite avec les mots de la banque, puis recopie-la dans ton cahier.

directeurdroiteintersection

Une fonction affine s'écrit f(x) = ax + b ; sa courbe est une ______. a est le coefficient _________, b l'ordonnée à l'origine. Le point d'____________ de deux droites donne la valeur où deux tarifs sont égaux.

Séance 2 · Variations, extremums et balayage : l'enclos le plus grand

65 min

Séance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes avec coups de pouce.

La question du jour

Comment obtenir le plus grand enclos avec une longueur de grillage fixée ?

Mon plan de travail

Le cours à lire · Variations et extremums

Une fonction est croissante sur un intervalle si ses valeurs augmentent quand x augmente, décroissante si elles diminuent. Le tableau de variations résume ces informations avec des flèches. Le maximum est la plus grande valeur atteinte, le minimum la plus petite. Quand on ne sait pas calculer exactement un extremum, on fait un balayage : on calcule f(x) avec un pas (par exemple 1), on repère la meilleure valeur, puis on recommence autour avec un pas plus petit (0,1). Le tableur ou un programme Python automatisent ces calculs. On vérifie toujours la vraisemblance du résultat dans la situation.

Document 1 · L'enclos du maraîcher

Situation professionnelle.

Un maraîcher dispose de 20 m de grillage pour fermer un enclos rectangulaire contre un mur (le mur forme un côté, le grillage les trois autres). On note x la largeur en mètres ; la longueur est alors 20 − 2x et l'aire A(x) = x(20 − 2x), pour x de 0 à 10.

Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).

Activité 1 · S'approprier

12 min
Essentiel

Supports : Document 1

Consigne :

Comprenez la situation.

  1. Si x = 3 m, quelle est la longueur ? l'aire ?
  2. Pourquoi x est-il compris entre 0 et 10 ?
  3. Que valent A(0) et A(10) ?

Ce qui est attendu (6 pts) : Compréhension

Activité 2 · Réaliser

18 min
Essentiel

Supports : Document 1, cours

Consigne :

Faites un tableau de valeurs de pas 1 au tableur.

  1. Valeurs de A(x) pour x de 0 à 10 ?
  2. Tableau de variations ?
  3. Maximum et dimensions ?

Ce qui est attendu (7 pts) : Tableau et lecture

Activité 3 · Valider

15 min
Travail à rendre

Supports : Documents et cours

Consigne :

Vérifiez avec un balayage de pas 0,1 entre 4 et 6 que le maximum est bien atteint pour x = 5, puis expliquez en 5 lignes pourquoi la courbe est symétrique autour de x = 5. Pour bien commencer : Le balayage donne les valeurs… · La plus grande valeur est atteinte pour… · La courbe est symétrique car…

Ce qui est attendu (7 pts) : Validation · Communication

Trace écrite · document à compléter (papier ou ENT)

Complète la trace écrite avec les mots de la banque, puis recopie-la dans ton cahier.

balayagecroissantemaximum

Une fonction est __________ si ses valeurs augmentent quand x augmente. Le _______ est la plus grande valeur atteinte. Le ________ permet d'approcher un extremum avec un pas de plus en plus petit.

Fiche à trous · je complète

Complète le texte avec les mots de la banque (sur papier ou dans le document de l'ENT).

croissantedirecteurpasvariations

Une fonction affine s'écrit f(x) = ax + b ; a est le coefficient _________.

Si a > 0, la fonction affine est __________.

Le tableau de __________ résume où une fonction croît et décroît.

Le balayage consiste à calculer des valeurs avec un ______ de plus en plus petit.

Ce que j'ai appris

Les 3 idées que je retiens :
Une méthode ou une formule que je veux retenir :
Ce qui reste difficile pour moi / ma question pour le professeur :