Repères pour le professeur
Objectifs et capacités
Objectifs
- Passer d'un mode de représentation d'une fonction à un autre (expression, tableau de valeurs, courbe)
- Utiliser des fonctions affines pour comparer deux situations
- Lire un tableau de variations et rechercher un extremum par balayage
Capacités travaillées (BO)
- S'approprier : rechercher, extraire et organiser l'information
- Analyser, raisonner : émettre une conjecture, choisir une méthode
- Réaliser : calculer, représenter, utiliser un outil numérique
- Valider : contrôler la vraisemblance, argumenter
- Communiquer : rendre compte d'une démarche à l'écrit et à l'oral
Notions et définitions
Repères historiques
- Descartes, *La Géométrie* (1637) : courbes et équations
- Euler (1748) : la notation f(x)
- Tableur : premiers logiciels grand public (1979)
Ressources de la séquence
Ancrage dans le programme, notions, repères, débats, bibliographie et différenciation, communs à toutes les séances.
Ancrage dans le programme officiel
Ce que dit le programme (objectifs du module) : « introduire l'étude des variations d'une fonction et les notions liées aux extremums ; »
Domaine Algèbre et analyse : « Les situations choisies permettent d'approcher les grands débats de société, par exemple autour du développement durable, et de traiter des problématiques parfaitement identifiées. »
Exemple d'activité numérique : « Rechercher un extremum par balayage sur un intervalle donné. »
Certification (arrêté du 17 juin 2020, annexe III) : en contrôle en cours de formation, deux situations d'évaluation en première et terminale : « Ces situations d'évaluation ont chacune une durée de quarante-cinq minutes environ et sont notées sur 10 points. » « Un exercice au moins comporte une ou deux questions dont la résolution se fait en présence de l'examinateur. » Pour les candidats hors CCF : « L'épreuve, d'une durée d'une heure, est une évaluation écrite et pratique, notée sur 20 points se déroule en fin de cursus de formation. »
Notions : définitions rigoureuses
- Fonction
- Processus qui associe à chaque nombre x (la variable) un unique nombre f(x), son image.
- Fonction affine
- f(x) = ax + b : sa courbe est une droite de coefficient directeur a et d'ordonnée à l'origine b.
- Coefficient directeur
- Variation de f(x) quand x augmente de 1 ; il s'interprète comme un taux (prix au kilomètre).
- Sens de variation
- Une fonction est croissante si f(x) augmente quand x augmente, décroissante sinon.
- Extremum
- Plus grande (maximum) ou plus petite (minimum) valeur prise par la fonction sur un intervalle.
- Balayage
- Méthode numérique : on calcule f sur une grille de valeurs, puis on affine le pas autour du meilleur résultat.
Repères
| Date | Événement |
|---|---|
| 1637 | Descartes relie courbes et équations. |
| 1748 | Euler fait de la fonction un objet central de l'analyse. |
| 1837 | Dirichlet donne la définition moderne de la fonction. |
| 1979 | VisiCalc, premier tableur pour ordinateur personnel. |
Les historiens en débat
La notion de fonction s'est construite lentement, de la représentation des mouvements au Moyen Âge jusqu'à la définition de Dirichlet au XIXe siècle. Elle est aujourd'hui l'outil de base de la modélisation dans tous les métiers (tarifs, consommation, production) ; le tableur et les logiciels de géométrie dynamique permettent d'explorer les variations sans calcul compliqué. Synthèse du professeur.
Pour aller plus loin
Sources et bibliographie
- Jean Dieudonné (dir.), Abrégé d'histoire des mathématiques, Hermann, 1978.
- Denis Guedj, Le Théorème du perroquet, Seuil, 1998 (roman d'histoire des mathématiques).
- Ressources d'accompagnement de seconde professionnelle sur la page éduscol des programmes.
Différenciation : un rythme de travail différent
- Pour les élèves qui ont besoin de plus de temps : énoncé découpé en petites questions, rappel de cours en marge, calculatrice ou tableur autorisés pendant l'entraînement, correction pas à pas en vidéo ou en classe virtuelle.
- Pour les élèves qui avancent vite : question d'approfondissement (démonstration, généralisation, programme Python à écrire), problème ouvert à rédiger et à présenter à l'oral.
Déroulé d'ensemble
| Séance | Titre | Durée | Objectif |
|---|---|---|---|
| Séance 1 | Comparer deux tarifs avec des fonctions affines | 65 min | modéliser par des fonctions affines et comparer graphiquement |
| Séance 2 | Variations, extremums et balayage : l'enclos le plus grand | 65 min | lire des variations et rechercher un maximum par balayage |
| Évaluation | Évaluation de fin de séquence (/20) | 55 min | Vérifier les acquis : connaissances, capacités, rédaction |
Chaque séance dure environ 55 minutes à distance : lancement en classe virtuelle ou par message sur l'ENT, recherche du problème (calculatrice, tableur, GeoGebra ou Python dans le navigateur), mise en commun, cours et trace écrite. Les élèves renvoient la fiche à trous et leur production par l'ENT ou en photo.
Séance 1 · Comparer deux tarifs avec des fonctions affines
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.
Problématique de la séance
Quel tarif de transport choisir selon la distance ?
Déroulé minuté à distance
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
- 12 min → Travail autonome : Activité 1 (S'approprier) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 18 min → Travail autonome : Activité 2 (Réaliser) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Communiquer) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
- 10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.
Le cours développé (récit du professeur) · Fonctions affines
Une fonction affine s'écrit f(x) = ax + b. Sa courbe représentative est une droite : b est l'ordonnée à l'origine (valeur pour x = 0, par exemple un forfait) et a le coefficient directeur (augmentation de f(x) quand x augmente de 1, par exemple un prix au kilomètre). Si a > 0, f est croissante ; si a < 0, décroissante. Si b = 0, la fonction est linéaire (situation de proportionnalité). Pour comparer deux tarifs, on trace les deux droites : l'abscisse du point d'intersection donne la valeur où les tarifs sont égaux, puis on lit quelle droite est en dessous de part et d'autre.
Document 1 · Deux tarifs de livraison
Situation professionnelle.
Une entreprise de livraison propose deux tarifs. Tarif A : 5 € de prise en charge plus 2 € par kilomètre. Tarif B : 3 € par kilomètre, sans prise en charge. On note x la distance en kilomètres.
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · S'approprier
12 minSupports : Document 1
Modélisez.
- Expression des fonctions A et B ?✔ Corrigé :
A(x) = 2x + 5 ; B(x) = 3x.
- Laquelle est linéaire ? Pourquoi ?✔ Corrigé :
B : pas de forfait, le prix est proportionnel à la distance.
- Prix de 4 km et de 8 km avec chaque tarif ?✔ Corrigé :
4 km : A = 13 €, B = 12 € ; 8 km : A = 21 €, B = 24 €.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Modélisation | 6 |
| Total de l'activité | 6 |
Activité 2 · Réaliser
18 minSupports : Document 1, cours
Tracez les deux droites (GeoGebra ou papier, x de 0 à 10).
- Coordonnées du point d'intersection ?✔ Corrigé :
(5 ; 15) : pour 5 km, les deux tarifs coûtent 15 €.
- Résolvez 2x + 5 = 3x par le calcul.✔ Corrigé :
x = 5.
- Quel tarif choisir selon la distance ?✔ Corrigé :
Moins de 5 km : tarif B ; plus de 5 km : tarif A ; 5 km : égalité.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Graphique et résolution | 7 |
| Total de l'activité | 7 |
Activité 3 · Communiquer
15 minSupports : Documents et cours
Rédigez une réponse à un client (6 à 8 lignes) qui demande quel tarif choisir pour des livraisons de 3 km et de 12 km, avec les calculs. Pour bien commencer : Pour 3 km, le tarif A coûte… et le tarif B… · Pour 12 km, … · Je vous conseille donc…
3 km : A = 11 €, B = 9 €, donc B ; 12 km : A = 29 €, B = 36 €, donc A ; règle générale avec le seuil de 5 km ; ton professionnel.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Validation | 5 |
| Communication | 2 |
| Total de l'activité | 7 |
Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)
Une fonction affine s'écrit f(x) = ax + b ; sa courbe est une droite. a est le coefficient directeur, b l'ordonnée à l'origine. Le point d'intersection de deux droites donne la valeur où deux tarifs sont égaux.
Barème récapitulatif des activités notées
| Activité | Points |
|---|---|
| Activité 1 · S'approprier | 6 |
| Activité 2 · Réaliser | 7 |
| Activité 3 · Communiquer | 7 |
| Total | 20 / 20 |
Séance 2 · Variations, extremums et balayage : l'enclos le plus grand
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.
Problématique de la séance
Comment obtenir le plus grand enclos avec une longueur de grillage fixée ?
Déroulé minuté à distance
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
- 12 min → Travail autonome : Activité 1 (S'approprier) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 18 min → Travail autonome : Activité 2 (Réaliser) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Valider) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
- 10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.
Le cours développé (récit du professeur) · Variations et extremums
Une fonction est croissante sur un intervalle si ses valeurs augmentent quand x augmente, décroissante si elles diminuent. Le tableau de variations résume ces informations avec des flèches. Le maximum est la plus grande valeur atteinte, le minimum la plus petite. Quand on ne sait pas calculer exactement un extremum, on fait un balayage : on calcule f(x) avec un pas (par exemple 1), on repère la meilleure valeur, puis on recommence autour avec un pas plus petit (0,1). Le tableur ou un programme Python automatisent ces calculs. On vérifie toujours la vraisemblance du résultat dans la situation.
Document 1 · L'enclos du maraîcher
Situation professionnelle.
Un maraîcher dispose de 20 m de grillage pour fermer un enclos rectangulaire contre un mur (le mur forme un côté, le grillage les trois autres). On note x la largeur en mètres ; la longueur est alors 20 − 2x et l'aire A(x) = x(20 − 2x), pour x de 0 à 10.
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · S'approprier
12 minSupports : Document 1
Comprenez la situation.
- Si x = 3 m, quelle est la longueur ? l'aire ?✔ Corrigé :
Longueur 14 m ; aire 42 m².
- Pourquoi x est-il compris entre 0 et 10 ?✔ Corrigé :
La longueur 20 − 2x doit rester positive.
- Que valent A(0) et A(10) ?✔ Corrigé :
0 : l'enclos est réduit à rien.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Compréhension | 6 |
| Total de l'activité | 6 |
Activité 2 · Réaliser
18 minSupports : Document 1, cours
Faites un tableau de valeurs de pas 1 au tableur.
- Valeurs de A(x) pour x de 0 à 10 ?✔ Corrigé :
0 ; 18 ; 32 ; 42 ; 48 ; 50 ; 48 ; 42 ; 32 ; 18 ; 0.
- Tableau de variations ?✔ Corrigé :
A croissante de 0 à 5, décroissante de 5 à 10.
- Maximum et dimensions ?✔ Corrigé :
50 m² pour x = 5 m, soit un enclos de 5 m sur 10 m.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Tableau et lecture | 7 |
| Total de l'activité | 7 |
Activité 3 · Valider
15 minSupports : Documents et cours
Vérifiez avec un balayage de pas 0,1 entre 4 et 6 que le maximum est bien atteint pour x = 5, puis expliquez en 5 lignes pourquoi la courbe est symétrique autour de x = 5. Pour bien commencer : Le balayage donne les valeurs… · La plus grande valeur est atteinte pour… · La courbe est symétrique car…
A(4,9) = A(5,1) = 49,98 < 50 ; le maximum est bien en 5 ; symétrie : A(5 − h) = A(5 + h) = 50 − 2h² ; conclusion claire.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Validation | 5 |
| Communication | 2 |
| Total de l'activité | 7 |
Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)
Une fonction est croissante si ses valeurs augmentent quand x augmente. Le maximum est la plus grande valeur atteinte. Le balayage permet d'approcher un extremum avec un pas de plus en plus petit.
Barème récapitulatif des activités notées
| Activité | Points |
|---|---|
| Activité 1 · S'approprier | 6 |
| Activité 2 · Réaliser | 7 |
| Activité 3 · Valider | 7 |
| Total | 20 / 20 |
Fiche à trous · corrigé
Une fonction affine s'écrit f(x) = ax + b ; a est le coefficient directeur.
Si a > 0, la fonction affine est croissante.
Le tableau de variations résume où une fonction croît et décroît.
Le balayage consiste à calculer des valeurs avec un pas de plus en plus petit.
La version élève contient la même fiche avec une banque de mots (papier ou ENT).
Évaluation de fin de séquence (/20) · barème et corrigé
Évaluation sur 20 à faire en temps limité sur l'ENT ou sur papier, puis à renvoyer en photo ; le corrigé et le barème servent aussi à l'autoévaluation. En Bac Pro, elle est construite comme une situation de contrôle en cours de formation (problème contextualisé, compétences évaluées) ; en 1re générale, elle prépare à l'épreuve anticipée (automatismes sans calculatrice et exercices) ; en Terminale générale, aux exercices indépendants de l'épreuve de spécialité.
| N° | Question | Barème | Corrigé et critères |
|---|---|---|---|
| 1 | Une fonction affine f vérifie f(2) = 9 et f(6) = 17. Déterminez son expression. | 6 pts | a = (17 − 9)/(6 − 2) = 2 ; b = 9 − 2 × 2 = 5 ; f(x) = 2x + 5. Vérification avec f(6). |
| 2 | Une fonction f est définie de 0 à 10 : elle est croissante de 0 à 4, décroissante de 4 à 10, avec f(0) = 2, f(4) = 10 et f(10) = −1. Dressez son tableau de variations, donnez son maximum et son minimum, et le nombre de solutions de f(x) = 5. | 6 pts | Tableau avec flèche montante puis descendante ; maximum 10 atteint en 4 ; minimum −1 atteint en 10 ; f(x) = 5 a deux solutions (une sur chaque intervalle, car 5 est entre 2 et 10 puis entre 10 et −1). |
| 3 | Dans un carré de carton de 20 cm de côté, on découpe aux coins des carrés de côté x cm pour faire une boîte. Le volume est V(x) = x(20 − 2x)², pour x de 0 à 10. Avec le tableur, faites un balayage de pas 1, puis de pas 0,1, et donnez la valeur de x qui rend le volume maximal. | 8 pts | Pas 1 : V(3) = 588 cm³ est la plus grande valeur (V(2) = 512, V(4) = 576). Pas 0,1 entre 2 et 4 : V(3,3) ≈ 592,5 cm³ est la plus grande (V(3,2) ≈ 591,9 ; V(3,4) ≈ 592,4). Volume maximal pour x ≈ 3,3 cm. Démarche, tableau, conclusion. |
| Total | 20 pts | ||
Pistes pour un rythme de travail différent
- Laisser deux jours de plus aux élèves qui ont peu de connexion et accepter un rendu sur papier photographié.
- Proposer la fiche à trous, un énoncé découpé en petites questions et une vidéo de correction pas à pas.
- Pour les élèves rapides : une démonstration, un programme Python à écrire ou un problème ouvert à présenter à l'oral.
- Automatismes : calculer une image, lire un graphique, résoudre ax = b.
- Pour aller plus loin : traduire un programme de calcul en fonction Python.