Bonjour !
Dans cette séquence de mathématiques, tu vas chercher à répondre à la grande question écrite en haut de la page. Elle se fait en 2 séances. Pour chaque séance : lis la consigne, étudie les documents, réponds aux questions sur ta feuille ou sur l'ENT, puis recopie l'essentiel dans ton cahier. Tu peux imprimer cette page avec le bouton « Imprimer ».
À la fin, je serai capable de :
- Utiliser le vocabulaire des probabilités et calculer une probabilité avec un tableau à double entrée ou un arbre
- Simuler des échantillons au tableur ou en Python et observer la fluctuation des fréquences
- Estimer une probabilité par une fréquence observée sur un grand nombre d'expériences
Les mots importants
Ressources de la séquence
Les notions, les repères et les pistes pour aller plus loin, utiles pour toutes les séances.
Les notions à maîtriser
- Expérience aléatoire
- Expérience dont on connaît les issues possibles sans savoir laquelle se produira.
- Évènement
- Ensemble d'issues ; il est réalisé si l'issue obtenue en fait partie.
- Probabilité
- Nombre entre 0 et 1 ; en cas d'équiprobabilité, nombre d'issues favorables divisé par le nombre d'issues.
- Évènement contraire
- Ā est réalisé quand A ne l'est pas ; P(Ā) = 1 − P(A).
- Échantillon
- Liste de n résultats obtenus en répétant n fois la même expérience (tirage avec remise).
- Fluctuation
- Variation de la fréquence d'un échantillon à l'autre ; elle diminue quand n augmente.
Repères
| Date | Événement |
|---|---|
| 1654 | Pascal et Fermat posent les bases du calcul des probabilités. |
| 1713 | Jacques Bernoulli énonce la loi des grands nombres. |
| 1777 | Buffon publie l'expérience de l'aiguille, qui relie hasard et π. |
| 1946 | Les premiers ordinateurs servent à simuler le hasard (méthode de Monte‑Carlo). |
Pour aller plus loin
Sources et bibliographie
- Nicolas Gauvrit, Vous avez dit hasard ?, Belin, 2009.
- Hans Rosling, Factfulness, Flammarion, 2019.
- Darrell Huff, How to Lie with Statistics, W. W. Norton, 1954.
Mon parcours : je choisis mon rythme
- Pour les élèves qui ont besoin de plus de temps : énoncé découpé en petites questions, rappel de cours en marge, calculatrice ou tableur autorisés pendant l'entraînement, correction pas à pas en vidéo ou en classe virtuelle.
- Pour les élèves qui avancent vite : question d'approfondissement (démonstration, généralisation, programme Python à écrire), problème ouvert à rédiger et à présenter à l'oral.
Séance 1 · Calculer des probabilités
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes avec coups de pouce.
La question du jour
Quelle est la somme la plus probable avec deux dés ?
Mon plan de travail
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Je suis le lancement (ou j'écoute la capsule) et je recopie la problématique.
- 12 min → Travail autonome : Je fais l'activité 1 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 18 min → Travail autonome : Je fais l'activité 2 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 15 min → Travail à rendre : Je fais l'activité 3 et je la dépose sur l'ENT (ou j'envoie une photo) dans les trois jours.
- 10 min → Mise en commun : Je corrige avec une autre couleur et je complète la trace écrite.
Le cours à lire · Vocabulaire et calculs
Une expérience aléatoire a plusieurs issues possibles ; leur ensemble est l'univers. Un évènement est un ensemble d'issues. Une probabilité est un nombre entre 0 et 1 (0 : impossible ; 1 : certain). En cas d'équiprobabilité, P(A) = nombre d'issues favorables / nombre total d'issues. L'évènement contraire Ā a pour probabilité 1 − P(A). Pour une expérience à deux épreuves, on dénombre les issues avec un tableau à double entrée ou un arbre.
Document 1 · Le jeu de la kermesse
Situation-problème.
Pour la kermesse du lycée, des élèves proposent un jeu : on lance deux dés et on gagne si la somme vaut 7. Un autre élève propose plutôt de faire gagner la somme 12, « parce que c'est le plus grand nombre ».
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · S'approprier
12 minSupports : Document 1
Dénombrez.
- Combien d'issues pour le lancer de deux dés ?
- Combien donnent une somme de 7 ? de 12 ?
- Probabilités correspondantes ?
Ce qui est attendu (6 pts) : S'approprier, réaliser
Activité 2 · Réaliser
18 minSupports : Cours
Calculez.
- Probabilité d'une somme paire ?
- Probabilité de ne pas obtenir de double ?
- Probabilité d'une somme supérieure ou égale à 10 ?
Ce qui est attendu (7 pts) : Analyser, raisonner, réaliser
Activité 3 · Communiquer
15 minSupports : Documents et cours
Rédigez une réponse aux organisateurs (6 à 8 lignes) : quelle règle choisir pour que le jeu soit attractif sans faire perdre d'argent ? Pour bien commencer : Avec la somme 7, la probabilité de gagner est… · Avec la somme 12, … · Je propose donc…
Ce qui est attendu (7 pts) : Valider · Communiquer
Trace écrite · document à compléter (papier ou ENT)
Complète la trace écrite avec les mots de la banque, puis recopie-la dans ton cahier.
Une probabilité est un nombre compris entre 0 et ______. En cas d'équiprobabilité, on divise le nombre d'issues __________ par le nombre total d'issues. La probabilité de l'évènement contraire vaut ________. Un tableau à double ______ permet de dénombrer.
Séance 2 · Simuler et observer la fluctuation
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes avec coups de pouce.
La question du jour
Une pièce de monnaie est‑elle truquée ?
Mon plan de travail
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Je suis le lancement (ou j'écoute la capsule) et je recopie la problématique.
- 12 min → Travail autonome : Je fais l'activité 1 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 18 min → Travail autonome : Je fais l'activité 2 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 15 min → Travail à rendre : Je fais l'activité 3 et je la dépose sur l'ENT (ou j'envoie une photo) dans les trois jours.
- 10 min → Mise en commun : Je corrige avec une autre couleur et je complète la trace écrite.
Le cours à lire · Fluctuation et stabilisation
Un échantillon de taille n est obtenu en répétant n fois la même expérience. La fréquence d'un évènement dans un échantillon varie d'un échantillon à l'autre : c'est la fluctuation d'échantillonnage. Quand n augmente, l'étendue des fréquences observées diminue et les fréquences se stabilisent autour de la probabilité : « lorsque n est grand, sauf exception, la fréquence observée est proche de la probabilité ». On peut donc estimer une probabilité inconnue par une fréquence observée sur un grand échantillon. Au tableur, ALEA.ENTRE.BORNES(0;1) simule une pièce ; en Python, random.randint(0, 1).
Document 1 · La pièce suspecte
Situation-problème.
Un élève affirme que sa pièce est truquée : sur 20 lancers, il a obtenu 14 fois pile. Le professeur dépose sur l'ENT un tableur qui simule 200 échantillons de 20 lancers d'une pièce équilibrée, puis 200 échantillons de 1 000 lancers.
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · S'approprier
12 minSupports : Document 1
Lisez la simulation.
- Fréquence de pile observée par l'élève ?
- Étendue des fréquences simulées pour n = 20 (de 0,25 à 0,8 par exemple) : 0,7 est‑il exceptionnel ?
- Étendue pour n = 1 000 (de 0,46 à 0,54 par exemple) ?
Ce qui est attendu (6 pts) : S'approprier, réaliser
Activité 2 · Analyser, raisonner
18 minSupports : Cours
Interprétez.
- Pourquoi l'étendue diminue‑t‑elle ?
- Que faudrait‑il faire pour tester la pièce ?
- Si on obtient 700 piles sur 1 000, que conclure ?
Ce qui est attendu (7 pts) : Analyser, raisonner, réaliser
Activité 3 · Communiquer
15 minSupports : Documents et cours
Répondez à l'élève (6 à 8 lignes) : son expérience prouve‑t‑elle que la pièce est truquée ? Proposez une méthode plus fiable. Pour bien commencer : Sur 20 lancers, la fréquence obtenue est… · La simulation montre que… · Pour conclure, il faudrait…
Ce qui est attendu (7 pts) : Valider · Communiquer
Trace écrite · document à compléter (papier ou ENT)
Complète la trace écrite avec les mots de la banque, puis recopie-la dans ton cahier.
La fréquence d'un évènement varie d'un échantillon à l'autre : c'est la ___________. Quand la taille de l'échantillon augmente, les fréquences se ___________. On peut _______ une probabilité par une fréquence observée. Un petit échantillon ne permet pas de ________ avec certitude.
Fiche à trous · je complète
Complète le texte avec les mots de la banque (sur papier ou dans le document de l'ENT).
Une probabilité est un nombre compris entre ______ et 1.
La probabilité de l'évènement contraire de A est ________.
D'un échantillon à l'autre, la fréquence observée _______.
Quand la taille de l'échantillon augmente, la fréquence se _________ autour de la probabilité.
Ce que j'ai appris
- Utiliser le vocabulaire des probabilités et calculer une probabilité avec un tableau à double entrée ou un arbre
- Simuler des échantillons au tableur ou en Python et observer la fluctuation des fréquences
- Estimer une probabilité par une fréquence observée sur un grand nombre d'expériences