Probabilités et fluctuation : simuler pour décider · version prof

Repères pour le professeur

Voie · niveauLycée professionnel (Bac Pro) · Seconde

DisciplineMathématiques

Programme officielProgramme de mathématiques de 2de professionnelle, BO spécial n°5 du 11 avril 2019 : statistique et probabilités, algèbre et analyse, géométrie, algorithmique et programmation, automatismes.

Place dans le programmeProgramme de mathématiques de seconde professionnelle (BO spécial n°5 du 11 avril 2019), domaine « Statistique et probabilités », module « Fluctuations d'une fréquence selon les échantillons, probabilités »

Durée totale2 séances + 1 évaluation ≈ 3 h 05

ModalitéEnseignement à distance : classe virtuelle + travail autonome + rendu sur l'ENT

Objectifs et capacités

Objectifs

Utiliser le vocabulaire des probabilités et calculer une probabilité avec un tableau à double entrée ou un arbre
Simuler des échantillons au tableur ou en Python et observer la fluctuation des fréquences
Estimer une probabilité par une fréquence observée sur un grand nombre d'expériences

Capacités travaillées (BO)

S'approprier : rechercher, extraire et organiser l'information
Analyser, raisonner : émettre une conjecture, choisir une méthode
Réaliser : calculer, représenter, utiliser un outil numérique
Valider : contrôler la vraisemblance, argumenter
Communiquer : rendre compte d'une démarche à l'écrit et à l'oral

Notions et définitions

expérience aléatoire, issue, univers, évènementprobabilité, évènement contraireéchantillon aléatoire de taille nfluctuation des fréquencesstabilisation des fréquences (loi des grands nombres)

Repères historiques

Pascal et Fermat, correspondance sur le hasard (1654)
Buffon, l'expérience de l'aiguille (1777)
Premiers générateurs de nombres aléatoires sur ordinateur (années 1940)

Ressources de la séquence

Ancrage dans le programme, notions, repères, débats, bibliographie et différenciation, communs à toutes les séances.

Ancrage dans le programme officiel

Objectif du module : « L'objectif de ce module est de formaliser les notions élémentaires de probabilités abordées au cycle 4 et de faire percevoir la loi des grands nombres de manière expérimentale. »

Démarche : « La compréhension et l'acquisition des concepts sont facilitées par l'expérimentation réalisée à l'aide de simulations informatiques. »

Compétences : « valider : critiquer un résultat, argumenter ; contrôler la vraisemblance d'une conjecture ; mener un raisonnement logique et établir une conclusion »

Certification (arrêté du 17 juin 2020, annexe III) : en contrôle en cours de formation, deux situations d'évaluation en première et terminale : « Ces situations d'évaluation ont chacune une durée de quarante-cinq minutes environ et sont notées sur 10 points. » « Un exercice au moins comporte une ou deux questions dont la résolution se fait en présence de l'examinateur. » Pour les candidats hors CCF : « L'épreuve, d'une durée d'une heure, est une évaluation écrite et pratique, notée sur 20 points se déroule en fin de cursus de formation. »

Notions : définitions rigoureuses

Expérience aléatoire: Expérience dont on connaît les issues possibles sans savoir laquelle se produira.
Évènement: Ensemble d'issues ; il est réalisé si l'issue obtenue en fait partie.
Probabilité: Nombre entre 0 et 1 ; en cas d'équiprobabilité, nombre d'issues favorables divisé par le nombre d'issues.
Évènement contraire: Ā est réalisé quand A ne l'est pas ; P(Ā) = 1 − P(A).
Échantillon: Liste de n résultats obtenus en répétant n fois la même expérience (tirage avec remise).
Fluctuation: Variation de la fréquence d'un échantillon à l'autre ; elle diminue quand n augmente.

Repères

Date	Événement
1654	Pascal et Fermat posent les bases du calcul des probabilités.
1713	Jacques Bernoulli énonce la loi des grands nombres.
1777	Buffon publie l'expérience de l'aiguille, qui relie hasard et π.
1946	Les premiers ordinateurs servent à simuler le hasard (méthode de Monte‑Carlo).

Les historiens en débat

Le hasard a d'abord été étudié à partir des jeux, puis des assurances et des sciences. La loi des grands nombres explique pourquoi une fréquence observée sur beaucoup d'expériences permet d'estimer une probabilité. Le programme demande de la faire percevoir par la simulation, outil aujourd'hui courant dans l'industrie (contrôle qualité) et la recherche. Synthèse du professeur.

Pour aller plus loin

Lire · programmes de mathématiques de la voie professionnelle (éduscol).
Outil · calculatrice graphique GeoGebra.

Sources et bibliographie

Nicolas Gauvrit, Vous avez dit hasard ?, Belin, 2009.
Hans Rosling, Factfulness, Flammarion, 2019.
Darrell Huff, How to Lie with Statistics, W. W. Norton, 1954.

Différenciation : un rythme de travail différent

Pour les élèves qui ont besoin de plus de temps : énoncé découpé en petites questions, rappel de cours en marge, calculatrice ou tableur autorisés pendant l'entraînement, correction pas à pas en vidéo ou en classe virtuelle.
Pour les élèves qui avancent vite : question d'approfondissement (démonstration, généralisation, programme Python à écrire), problème ouvert à rédiger et à présenter à l'oral.

Déroulé d'ensemble

Séance	Titre	Durée	Objectif
Séance 1	Calculer des probabilités	65 min	utiliser le vocabulaire des probabilités, un tableau ou un arbre
Séance 2	Simuler et observer la fluctuation	65 min	simuler des échantillons et estimer une probabilité
Évaluation	Évaluation de fin de séquence (/20)	55 min	Vérifier les acquis : connaissances, capacités, rédaction

Chaque séance dure environ 55 minutes à distance : lancement en classe virtuelle ou par message sur l'ENT, recherche du problème (calculatrice, tableur, GeoGebra ou Python dans le navigateur), mise en commun, cours et trace écrite. Les élèves renvoient la fiche à trous et leur production par l'ENT ou en photo.

Séance 1 · Calculer des probabilités

65 min

Séance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.

Problématique de la séance

Quelle est la somme la plus probable avec deux dés ?

Déroulé minuté à distance

10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
12 min → Travail autonome : Activité 1 (S'approprier) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
18 min → Travail autonome : Activité 2 (Réaliser) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Communiquer) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.

Le cours développé (récit du professeur) · Vocabulaire et calculs

Une expérience aléatoire a plusieurs issues possibles ; leur ensemble est l'univers. Un évènement est un ensemble d'issues. Une probabilité est un nombre entre 0 et 1 (0 : impossible ; 1 : certain). En cas d'équiprobabilité, P(A) = nombre d'issues favorables / nombre total d'issues. L'évènement contraire Ā a pour probabilité 1 − P(A). Pour une expérience à deux épreuves, on dénombre les issues avec un tableau à double entrée ou un arbre.

Document 1 · Le jeu de la kermesse

Situation-problème.

Pour la kermesse du lycée, des élèves proposent un jeu : on lance deux dés et on gagne si la somme vaut 7. Un autre élève propose plutôt de faire gagner la somme 12, « parce que c'est le plus grand nombre ».

Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).

Activité 1 · S'approprier

12 min

Essentiel

Supports : Document 1

Consigne :

Dénombrez.

Combien d'issues pour le lancer de deux dés ?
✔ Corrigé :
6 × 6 = 36.
Combien donnent une somme de 7 ? de 12 ?
✔ Corrigé :
6 (1+6, 2+5, …) ; 1 (6+6).
Probabilités correspondantes ?
✔ Corrigé :
1/6 ≈ 0,17 ; 1/36 ≈ 0,03.

Critère de réussite	Points
S'approprier, réaliser	6
Total de l'activité	6

Activité 2 · Réaliser

18 min

Essentiel

Supports : Cours

Consigne :

Calculez.

Probabilité d'une somme paire ?
✔ Corrigé :
18/36 = 1/2.
Probabilité de ne pas obtenir de double ?
✔ Corrigé :
1 − 6/36 = 5/6.
Probabilité d'une somme supérieure ou égale à 10 ?
✔ Corrigé :
6/36 = 1/6.

Critère de réussite	Points
Analyser, raisonner, réaliser	7
Total de l'activité	7

Activité 3 · Communiquer

15 min

Travail à rendre

Supports : Documents et cours

Consigne :

Rédigez une réponse aux organisateurs (6 à 8 lignes) : quelle règle choisir pour que le jeu soit attractif sans faire perdre d'argent ? Pour bien commencer : Avec la somme 7, la probabilité de gagner est… · Avec la somme 12, … · Je propose donc…

✔ Corrigé rédigé :

Probabilités justes ; comparaison ; argument (7 fait gagner souvent, 12 rarement) ; proposition cohérente avec le prix des lots ; phrases claires.

Critère de réussite	Points
Valider	5
Communiquer	2
Total de l'activité	7

Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)

Une probabilité est un nombre compris entre 0 et 1. En cas d'équiprobabilité, on divise le nombre d'issues favorables par le nombre total d'issues. La probabilité de l'évènement contraire vaut 1 − P(A). Un tableau à double entrée permet de dénombrer.

Barème récapitulatif des activités notées

Activité	Points
Activité 1 · S'approprier	6
Activité 2 · Réaliser	7
Activité 3 · Communiquer	7
Total	20 / 20

Séance 2 · Simuler et observer la fluctuation

65 min

Séance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.

Problématique de la séance

Une pièce de monnaie est‑elle truquée ?

Déroulé minuté à distance

10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
12 min → Travail autonome : Activité 1 (S'approprier) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
18 min → Travail autonome : Activité 2 (Analyser, raisonner) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Communiquer) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.

Le cours développé (récit du professeur) · Fluctuation et stabilisation

Un échantillon de taille n est obtenu en répétant n fois la même expérience. La fréquence d'un évènement dans un échantillon varie d'un échantillon à l'autre : c'est la fluctuation d'échantillonnage. Quand n augmente, l'étendue des fréquences observées diminue et les fréquences se stabilisent autour de la probabilité : « lorsque n est grand, sauf exception, la fréquence observée est proche de la probabilité ». On peut donc estimer une probabilité inconnue par une fréquence observée sur un grand échantillon. Au tableur, ALEA.ENTRE.BORNES(0;1) simule une pièce ; en Python, random.randint(0, 1).

Document 1 · La pièce suspecte

Situation-problème.

Un élève affirme que sa pièce est truquée : sur 20 lancers, il a obtenu 14 fois pile. Le professeur dépose sur l'ENT un tableur qui simule 200 échantillons de 20 lancers d'une pièce équilibrée, puis 200 échantillons de 1 000 lancers.

Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).

Activité 1 · S'approprier

12 min

Essentiel

Supports : Document 1

Consigne :

Lisez la simulation.

Fréquence de pile observée par l'élève ?
✔ Corrigé :
14/20 = 0,7.
Étendue des fréquences simulées pour n = 20 (de 0,25 à 0,8 par exemple) : 0,7 est‑il exceptionnel ?
✔ Corrigé :
Non, il est dans l'étendue.
Étendue pour n = 1 000 (de 0,46 à 0,54 par exemple) ?
✔ Corrigé :
Beaucoup plus resserrée.

Critère de réussite	Points
S'approprier, réaliser	6
Total de l'activité	6

Activité 2 · Analyser, raisonner

18 min

Essentiel

Supports : Cours

Consigne :

Interprétez.

Pourquoi l'étendue diminue‑t‑elle ?
✔ Corrigé :
La fluctuation diminue quand la taille de l'échantillon augmente.
Que faudrait‑il faire pour tester la pièce ?
✔ Corrigé :
La lancer un grand nombre de fois, par exemple 1 000.
Si on obtient 700 piles sur 1 000, que conclure ?
✔ Corrigé :
0,7 est loin de l'étendue 0,46 à 0,54 : la pièce est probablement truquée.

Critère de réussite	Points
Analyser, raisonner, réaliser	7
Total de l'activité	7

Activité 3 · Communiquer

15 min

Travail à rendre

Supports : Documents et cours

Consigne :

Répondez à l'élève (6 à 8 lignes) : son expérience prouve‑t‑elle que la pièce est truquée ? Proposez une méthode plus fiable. Pour bien commencer : Sur 20 lancers, la fréquence obtenue est… · La simulation montre que… · Pour conclure, il faudrait…

✔ Corrigé rédigé :

Fréquence 0,7 ; comparaison avec l'étendue simulée ; idée de fluctuation ; proposition d'un grand échantillon ; prudence de la conclusion.

Critère de réussite	Points
Valider	5
Communiquer	2
Total de l'activité	7

Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)

La fréquence d'un évènement varie d'un échantillon à l'autre : c'est la fluctuation. Quand la taille de l'échantillon augmente, les fréquences se stabilisent. On peut estimer une probabilité par une fréquence observée. Un petit échantillon ne permet pas de conclure avec certitude.

Barème récapitulatif des activités notées

Activité	Points
Activité 1 · S'approprier	6
Activité 2 · Analyser, raisonner	7
Activité 3 · Communiquer	7
Total	20 / 20

Fiche à trous · corrigé

Une probabilité est un nombre compris entre 0 et 1.

La probabilité de l'évènement contraire de A est 1 − P(A).

D'un échantillon à l'autre, la fréquence observée fluctue.

Quand la taille de l'échantillon augmente, la fréquence se stabilise autour de la probabilité.

La version élève contient la même fiche avec une banque de mots (papier ou ENT).

Évaluation de fin de séquence (/20) · barème et corrigé

Évaluation sur 20 à faire en temps limité sur l'ENT ou sur papier, puis à renvoyer en photo ; le corrigé et le barème servent aussi à l'autoévaluation. En Bac Pro, elle est construite comme une situation de contrôle en cours de formation (problème contextualisé, compétences évaluées) ; en 1re générale, elle prépare à l'épreuve anticipée (automatismes sans calculatrice et exercices) ; en Terminale générale, aux exercices indépendants de l'épreuve de spécialité.

N°	Question	Barème	Corrigé et critères
1	On lance deux dés équilibrés et on additionne les résultats. Complétez le tableau à double entrée, puis calculez la probabilité d'obtenir 7, d'obtenir au moins 10, et de ne pas obtenir 2.	4 pts	36 issues équiprobables ; P(7) = 6/36 = 1/6 ; P(au moins 10) = 6/36 = 1/6 ; P(pas 2) = 1 − 1/36 = 35/36. Tableau (1 pt), trois probabilités (3 pts).
2	Un atelier annonce 10 % de pièces défectueuses. On simule au tableur 100 échantillons de 50 pièces : les fréquences de défauts vont de 0,02 à 0,22. Un contrôleur trouve 9 défauts sur 50 pièces. Calculez sa fréquence et dites, en vous appuyant sur la simulation, si ce résultat est surprenant.	8 pts	9/50 = 0,18 : dans l'étendue des fréquences simulées (0,02 à 0,22), donc compatible avec 10 % ; il n'y a pas de raison forte de mettre en doute l'annonce, même si la valeur est élevée. Fréquence (2 pts), comparaison (3 pts), conclusion nuancée (3 pts).
3	Sur un parking, on a relevé que 1 200 voitures sur 4 000 sont blanches. Estimez la probabilité qu'une voiture choisie au hasard soit blanche. Expliquez pourquoi cette estimation est plus fiable que celle obtenue sur 40 voitures. Pour bien commencer : La fréquence observée vaut… · On peut l'utiliser comme estimation car… · Sur un petit échantillon, au contraire, …	8 pts	1 200/4 000 = 0,3. Plus l'échantillon est grand, plus la fréquence est proche de la probabilité (stabilisation) ; sur 40 voitures, la fluctuation est forte. Estimation (3 pts), argumentation (5 pts).
Total		20 pts

Pistes pour un rythme de travail différent

Laisser deux jours de plus aux élèves qui ont peu de connexion et accepter un rendu sur papier photographié.
Proposer la fiche à trous, un énoncé découpé en petites questions et une vidéo de correction pas à pas.
Pour les élèves rapides : une démonstration, un programme Python à écrire ou un problème ouvert à présenter à l'oral.
Automatismes : fractions et pourcentages simples, probabilité d'un évènement élémentaire.
Pour aller plus loin : modifier la simulation en augmentant la taille de l'échantillon et observer la réduction de l'étendue des fréquences.