Résolution d'un problème du premier degré : équations et inéquations · version prof

Repères pour le professeur

Voie · niveauLycée professionnel (Bac Pro) · Seconde

DisciplineMathématiques

Programme officielProgramme de mathématiques de 2de professionnelle, BO spécial n°5 du 11 avril 2019 : statistique et probabilités, algèbre et analyse, géométrie, algorithmique et programmation, automatismes.

Place dans le programmeProgramme de mathématiques de seconde professionnelle (BO spécial n°5 du 11 avril 2019), domaine « Algèbre-Analyse », module « Résolution d'un problème du premier degré »

Durée totale2 séances + 1 évaluation ≈ 3 h 05

ModalitéEnseignement à distance : classe virtuelle + travail autonome + rendu sur l'ENT

Objectifs et capacités

Objectifs

Traduire un problème par une équation ou une inéquation du premier degré
Résoudre algébriquement, graphiquement ou avec un outil numérique
Contrôler la vraisemblance du résultat et rédiger une réponse au problème

Capacités travaillées (BO)

S'approprier : rechercher, extraire et organiser l'information
Analyser, raisonner : émettre une conjecture, choisir une méthode
Réaliser : calculer, représenter, utiliser un outil numérique
Valider : contrôler la vraisemblance, argumenter
Communiquer : rendre compte d'une démarche à l'écrit et à l'oral

Notions et définitions

inconnue, équation du premier degrésolution, vérificationinéquation, ensemble des solutionsintervalleméthode algébrique, graphique, numérique

Repères historiques

Papyrus Rhind : méthode de « fausse position » (vers 1650 av. J.‑C.)
Al‑Khwarizmi, *Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison* (vers 820)
Robert Recorde invente le signe = (1557)

Ressources de la séquence

Ancrage dans le programme, notions, repères, débats, bibliographie et différenciation, communs à toutes les séances.

Ancrage dans le programme officiel

Objectif du module : « L'objectif principal de ce module est de traduire un problème par une équation ou une inéquation du premier degré »

Méthode : « Aucune virtuosité calculatoire n'est attendue pour la méthode algébrique. »

Compétences : « valider : critiquer un résultat, argumenter ; contrôler la vraisemblance d'une conjecture ; mener un raisonnement logique et établir une conclusion »

Certification (arrêté du 17 juin 2020, annexe III) : en contrôle en cours de formation, deux situations d'évaluation en première et terminale : « Ces situations d'évaluation ont chacune une durée de quarante-cinq minutes environ et sont notées sur 10 points. » « Un exercice au moins comporte une ou deux questions dont la résolution se fait en présence de l'examinateur. » Pour les candidats hors CCF : « L'épreuve, d'une durée d'une heure, est une évaluation écrite et pratique, notée sur 20 points se déroule en fin de cursus de formation. »

Notions : définitions rigoureuses

Équation: Égalité contenant une inconnue ; la résoudre, c'est trouver la ou les valeurs qui la rendent vraie.
Règles: On peut ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres, multiplier ou diviser par un même nombre non nul.
Inéquation: Inégalité contenant une inconnue ; ses solutions forment souvent un intervalle.
Changement de sens: Multiplier ou diviser par un nombre négatif change le sens de l'inégalité.
Vérification: On remplace la solution dans l'énoncé pour contrôler le résultat.
Méthode graphique: On lit l'abscisse du point d'intersection de deux droites.

Repères

Date	Événement
vers 1650 av. J.‑C.	Le papyrus Rhind résout des problèmes par la méthode de fausse position.
vers 820	Al‑Khwarizmi donne son nom à l'algèbre (al‑jabr).
1557	Robert Recorde introduit le signe = dans The Whetstone of Witte.
1637	Descartes note les inconnues x, y, z.

Les historiens en débat

Résoudre une équation est l'un des plus vieux gestes mathématiques : les scribes égyptiens procédaient par essais corrigés, Al‑Khwarizmi par transformations des deux membres. Les symboles (=, x) sont apparus bien plus tard. En Bac Pro, l'enjeu est de traduire une situation du métier, de résoudre avec l'outil le plus adapté et de valider le résultat. Synthèse du professeur.

Pour aller plus loin

Lire · programmes de mathématiques de la voie professionnelle (éduscol).
Outil · calculatrice graphique GeoGebra.

Sources et bibliographie

George Pólya, Comment poser et résoudre un problème, Dunod, 1965.
Ahmed Djebbar, Une histoire de la science arabe, Seuil, 2001.
Stella Baruk, Dictionnaire de mathématiques élémentaires, Seuil, 1992.

Différenciation : un rythme de travail différent

Pour les élèves qui ont besoin de plus de temps : énoncé découpé en petites questions, rappel de cours en marge, calculatrice ou tableur autorisés pendant l'entraînement, correction pas à pas en vidéo ou en classe virtuelle.
Pour les élèves qui avancent vite : question d'approfondissement (démonstration, généralisation, programme Python à écrire), problème ouvert à rédiger et à présenter à l'oral.

Déroulé d'ensemble

Séance	Titre	Durée	Objectif
Séance 1	Mettre en équation et résoudre	65 min	traduire une facture par une équation
Séance 2	Inéquations et seuils	65 min	modéliser une condition de rentabilité par une inéquation
Évaluation	Évaluation de fin de séquence (/20)	55 min	Vérifier les acquis : connaissances, capacités, rédaction

Chaque séance dure environ 55 minutes à distance : lancement en classe virtuelle ou par message sur l'ENT, recherche du problème (calculatrice, tableur, GeoGebra ou Python dans le navigateur), mise en commun, cours et trace écrite. Les élèves renvoient la fiche à trous et leur production par l'ENT ou en photo.

Séance 1 · Mettre en équation et résoudre

65 min

Séance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.

Problématique de la séance

Combien d'heures ont été facturées ?

Déroulé minuté à distance

10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
12 min → Travail autonome : Activité 1 (S'approprier) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
18 min → Travail autonome : Activité 2 (Réaliser) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Communiquer) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.

Le cours développé (récit du professeur) · Équation du premier degré

Pour résoudre un problème : 1. choisir l'inconnue (avec son unité) ; 2. traduire l'énoncé par une équation ; 3. la résoudre ; 4. vérifier en remplaçant ; 5. rédiger une phrase réponse. Règles : on peut ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres, multiplier ou diviser par un même nombre non nul. Exemple : 45 + 38x = 216 ⟺ 38x = 171 ⟺ x = 4,5. On peut aussi résoudre graphiquement (abscisse du point d'intersection de deux droites) ou avec la calculatrice et le tableur (valeur cible).

Document 1 · La facture d'intervention

Situation-problème.

Une entreprise d'électricité facture 45 € de déplacement et 38 € par heure. Un client reçoit une facture de 216 € hors taxes et demande combien d'heures ont été comptées. Un second client, facturé 140 €, conteste : il estime que l'électricien est resté 3 heures.

Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).

Activité 1 · S'approprier

12 min

Essentiel

Supports : Document 1

Consigne :

Identifiez les données.

Quelle est l'inconnue ?
✔ Corrigé :
Le nombre d'heures x.
Quelle équation pour le premier client ?
✔ Corrigé :
45 + 38x = 216.
Et pour le second ?
✔ Corrigé :
45 + 38x = 140.

Critère de réussite	Points
S'approprier, réaliser	6
Total de l'activité	6

Activité 2 · Réaliser

18 min

Essentiel

Supports : Cours

Consigne :

Résolvez et vérifiez.

Premier client ?
✔ Corrigé :
x = 4,5 h, soit 4 h 30.
Second client ?
✔ Corrigé :
38x = 95, x = 2,5 h.
Vérifiez les deux résultats.
✔ Corrigé :
45 + 171 = 216 ; 45 + 95 = 140.

Critère de réussite	Points
Analyser, raisonner, réaliser	7
Total de l'activité	7

Activité 3 · Communiquer

15 min

Travail à rendre

Supports : Documents et cours

Consigne :

Rédigez la réponse au second client (6 à 8 lignes) : sa contestation est‑elle fondée ? Pour bien commencer : La facture se calcule ainsi : … · En résolvant l'équation, on trouve… · Pour 3 heures, la facture aurait été…

✔ Corrigé rédigé :

Équation et solution 2,5 h ; facture de 3 h : 159 € ; le client a payé moins que pour 3 h ; réponse polie et argumentée.

Critère de réussite	Points
Valider	5
Communiquer	2
Total de l'activité	7

Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)

Pour résoudre un problème, on choisit l'inconnue, on écrit l'équation, on la résout puis on vérifie. On peut ajouter un même nombre aux deux membres. On termine par une phrase réponse.

Barème récapitulatif des activités notées

Activité	Points
Activité 1 · S'approprier	6
Activité 2 · Réaliser	7
Activité 3 · Communiquer	7
Total	20 / 20

Séance 2 · Inéquations et seuils

65 min

Séance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.

Problématique de la séance

Combien de prestations pour couvrir ses frais ?

Déroulé minuté à distance

10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
12 min → Travail autonome : Activité 1 (S'approprier) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
18 min → Travail autonome : Activité 2 (Réaliser) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Valider, communiquer) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.

Le cours développé (récit du professeur) · Inéquation du premier degré

Une inéquation traduit une condition : « au moins » (≥), « au plus » (≤), « plus de » (>), « moins de » (<). On la résout comme une équation, mais multiplier ou diviser par un nombre négatif change le sens de l'inégalité. L'ensemble des solutions est un intervalle : x ≥ 95,45 s'écrit [95,45 ; +∞[. Dans un problème, on interprète : si x est un nombre entier (pièces, coupes, jours), on arrondit dans le bon sens.

Document 1 · Le fauteuil de coiffure

Situation-problème.

Une coiffeuse indépendante loue un fauteuil dans un salon 600 € par mois. Elle gagne en moyenne 22 € net par coupe. Elle veut que ses gains, location déduite, atteignent au moins 1 500 € par mois.

Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).

Activité 1 · S'approprier

12 min

Essentiel

Supports : Document 1

Consigne :

Traduisez.

Gain après location pour 80 coupes ? pour 100 ?
✔ Corrigé :
1 160 € ; 1 600 €.
Inéquation à résoudre ?
✔ Corrigé :
22x − 600 ≥ 1 500.
Que signifie x ?
✔ Corrigé :
Le nombre de coupes dans le mois.

Critère de réussite	Points
S'approprier, réaliser	6
Total de l'activité	6

Activité 2 · Réaliser

18 min

Essentiel

Supports : Cours

Consigne :

Résolvez.

Résolvez l'inéquation.
✔ Corrigé :
x ≥ 2 100/22 ≈ 95,45.
Combien de coupes au minimum ?
✔ Corrigé :
96 (arrondi à l'entier supérieur).
Résolvez −3x + 12 > 0.
✔ Corrigé :
x < 4.

Critère de réussite	Points
Analyser, raisonner, réaliser	7
Total de l'activité	7

Activité 3 · Valider, communiquer

15 min

Travail à rendre

Supports : Documents et cours

Consigne :

Rédigez un conseil (6 à 8 lignes) : avec 5 jours de travail par semaine et 4 semaines par mois, combien de coupes par jour faut‑il viser ? Pour bien commencer : Il faut au moins… coupes par mois… · Sur 20 jours de travail, … · Je conseille donc…

✔ Corrigé rédigé :

96 coupes ; 96/20 = 4,8, soit 5 coupes par jour ; contrôle de vraisemblance ; réponse claire.

Critère de réussite	Points
Valider	5
Communiquer	2
Total de l'activité	7

Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)

Multiplier une inéquation par un nombre négatif change le sens de l'inégalité. L'ensemble des solutions est un intervalle. Pour un nombre entier de pièces, on arrondit dans le bon sens. « Au moins » se traduit par le symbole ≥.

Barème récapitulatif des activités notées

Activité	Points
Activité 1 · S'approprier	6
Activité 2 · Réaliser	7
Activité 3 · Valider, communiquer	7
Total	20 / 20

Fiche à trous · corrigé

Une équation du premier degré se ramène à la forme ax = b.

Quand on multiplie ou divise une inéquation par un nombre négatif, on change le sens de l'inégalité.

Pour contrôler une solution, on la remplace dans l'équation de départ.

L'ensemble des solutions d'une inéquation s'écrit souvent avec un intervalle.

La version élève contient la même fiche avec une banque de mots (papier ou ENT).

Évaluation de fin de séquence (/20) · barème et corrigé

Évaluation sur 20 à faire en temps limité sur l'ENT ou sur papier, puis à renvoyer en photo ; le corrigé et le barème servent aussi à l'autoévaluation. En Bac Pro, elle est construite comme une situation de contrôle en cours de formation (problème contextualisé, compétences évaluées) ; en 1re générale, elle prépare à l'épreuve anticipée (automatismes sans calculatrice et exercices) ; en Terminale générale, aux exercices indépendants de l'épreuve de spécialité.

N°	Question	Barème	Corrigé et critères
1	Résolvez : 4x − 7 = 13 ; 3(x + 2) = 5x − 4 ; 2x + 5 ≤ 17.	4 pts	x = 5 ; 3x + 6 = 5x − 4, x = 5 ; x ≤ 6, soit ]−∞ ; 6]. Un point, un point et demi, un point et demi.
2	Un plombier facture 45 € de déplacement plus 38 € par heure de travail. Une facture s'élève à 216 €. Écrivez l'équation, résolvez‑la et vérifiez.	8 pts	45 + 38x = 216, 38x = 171, x = 4,5 h soit 4 h 30. Vérification : 45 + 38 × 4,5 = 216. Mise en équation (3 pts), résolution (3 pts), vérification et réponse (2 pts).
3	Un salon de coiffure loue un fauteuil 600 € par mois. Une coiffeuse indépendante gagne 22 € net par coupe. Combien de coupes doit‑elle faire chaque mois pour que ses gains dépassent la location de 1 500 € au moins ? Modélisez par une inéquation et rédigez la réponse. Pour bien commencer : Je note x le nombre de coupes… · Le gain après location s'écrit… · Elle doit donc réaliser au moins…	8 pts	22x − 600 ≥ 1 500, 22x ≥ 2 100, x ≥ 95,45… : au moins 96 coupes par mois. Inéquation (3 pts), résolution (3 pts), interprétation entière (2 pts).
Total		20 pts

Pistes pour un rythme de travail différent

Laisser deux jours de plus aux élèves qui ont peu de connexion et accepter un rendu sur papier photographié.
Proposer la fiche à trous, un énoncé découpé en petites questions et une vidéo de correction pas à pas.
Pour les élèves rapides : une démonstration, un programme Python à écrire ou un problème ouvert à présenter à l'oral.
Automatismes : opérations sur les relatifs, priorités opératoires, résoudre ax = b.
Pour aller plus loin : formaliser par un organigramme la résolution d'une inéquation du premier degré.