Bonjour !
Dans cette séquence de mathématiques, tu vas chercher à répondre à la grande question écrite en haut de la page. Elle se fait en 2 séances. Pour chaque séance : lis la consigne, étudie les documents, réponds aux questions sur ta feuille ou sur l'ENT, puis recopie l'essentiel dans ton cahier. Tu peux imprimer cette page avec le bouton « Imprimer ».
À la fin, je serai capable de :
- Représenter une fonction affine, interpréter coefficient directeur et ordonnée à l'origine
- Déterminer l'expression d'une fonction affine à partir de deux nombres et de leurs images
- Résoudre graphiquement ou avec un outil numérique un système de deux équations
Les mots importants
Ressources de la séquence
Les notions, les repères et les pistes pour aller plus loin, utiles pour toutes les séances.
Les notions à maîtriser
- Fonction linéaire
- f(x) = ax ; elle modélise une situation de proportionnalité ; sa droite passe par l'origine.
- Fonction affine
- f(x) = ax + b ; sa représentation est une droite.
- Coefficient directeur
- a : variation de f(x) quand x augmente de 1 ; a = (f(x₂) − f(x₁))/(x₂ − x₁).
- Ordonnée à l'origine
- b = f(0) ; la droite coupe l'axe des ordonnées au point (0 ; b).
- Sens de variation
- Croissante si a > 0, décroissante si a < 0, constante si a = 0.
- Système
- Deux équations à deux inconnues ; graphiquement, sa solution est le point d'intersection des deux droites.
Repères
| Date | Événement |
|---|---|
| vers 1350 | Nicole Oresme représente graphiquement des grandeurs variables. |
| 1637 | Descartes relie équations et droites. |
| 1809 | Gauss utilise la méthode d'élimination pour résoudre des systèmes. |
| 1979 | Le tableur VisiCalc rend les calculs de tarifs accessibles sur micro‑ordinateur. |
Pour aller plus loin
Sources et bibliographie
- Stella Baruk, Dictionnaire de mathématiques élémentaires, Seuil, 1992.
- Hans Rosling, Factfulness, Flammarion, 2019.
- Mickaël Launay, Le Grand Roman des maths, Flammarion, 2016.
Mon parcours : je choisis mon rythme
- Pour les élèves qui ont besoin de plus de temps : énoncé découpé en petites questions, rappel de cours en marge, calculatrice ou tableur autorisés pendant l'entraînement, correction pas à pas en vidéo ou en classe virtuelle.
- Pour les élèves qui avancent vite : question d'approfondissement (démonstration, généralisation, programme Python à écrire), problème ouvert à rédiger et à présenter à l'oral.
Séance 1 · Fonctions affines
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes avec coups de pouce.
La question du jour
Comment calculer le prix d'une course de taxi ?
Mon plan de travail
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Je suis le lancement (ou j'écoute la capsule) et je recopie la problématique.
- 12 min → Travail autonome : Je fais l'activité 1 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 18 min → Travail autonome : Je fais l'activité 2 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 15 min → Travail à rendre : Je fais l'activité 3 et je la dépose sur l'ENT (ou j'envoie une photo) dans les trois jours.
- 10 min → Mise en commun : Je corrige avec une autre couleur et je complète la trace écrite.
Le cours à lire · Fonction affine
Une fonction affine s'écrit f(x) = ax + b. Si b = 0, elle est linéaire et traduit une situation de proportionnalité. Sa représentation graphique est une droite : b est l'ordonnée à l'origine (f(0) = b), a est le coefficient directeur (quand x augmente de 1, f(x) augmente de a). Pour tracer la droite, deux points suffisent. Pour trouver a et b à partir de deux nombres et de leurs images : a = (f(x₂) − f(x₁))/(x₂ − x₁), puis b = f(x₁) − a x₁. Si a > 0, f est croissante ; si a < 0, décroissante.
Document 1 · Le taxi
Situation-problème.
Un taxi facture une prise en charge fixe et un prix par kilomètre. Une course de 10 km coûte 21 € et une course de 20 km coûte 39 €.
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · S'approprier
12 minSupports : Document 1
Analysez les données.
- Le prix est‑il proportionnel à la distance ?
- De combien augmente le prix pour 10 km de plus ?
- Prise en charge ?
Ce qui est attendu (6 pts) : S'approprier, réaliser
Activité 2 · Réaliser
18 minSupports : Cours
Modélisez.
- Expression de f(x) ?
- Prix pour 7 km ? Distance pour 30 € ?
- Tracez la droite sur [0 ; 30] (points (0 ; 3) et (30 ; 57)).
Ce qui est attendu (7 pts) : Analyser, raisonner, réaliser
Activité 3 · Communiquer
15 minSupports : Documents et cours
Rédigez un affichage clair pour la station de taxis (6 lignes) expliquant le calcul du prix, avec un exemple et la lecture graphique. Pour bien commencer : Le prix d'une course se calcule… · Par exemple, pour… km, … · Sur le graphique, on lit…
Ce qui est attendu (7 pts) : Valider · Communiquer
Trace écrite · document à compléter (papier ou ENT)
Complète la trace écrite avec les mots de la banque, puis recopie-la dans ton cahier.
La représentation d'une fonction affine est une ______. b est l'ordonnée à l'_______. a est le coefficient _________. Une fonction ________ traduit une situation de proportionnalité.
Séance 2 · Comparer deux offres : systèmes
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes avec coups de pouce.
La question du jour
Quel imprimeur choisir ?
Mon plan de travail
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Je suis le lancement (ou j'écoute la capsule) et je recopie la problématique.
- 12 min → Travail autonome : Je fais l'activité 1 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 18 min → Travail autonome : Je fais l'activité 2 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 15 min → Travail à rendre : Je fais l'activité 3 et je la dépose sur l'ENT (ou j'envoie une photo) dans les trois jours.
- 10 min → Mise en commun : Je corrige avec une autre couleur et je complète la trace écrite.
Le cours à lire · Systèmes de deux équations
Deux offres affines se comparent sur un même graphique. Le point d'intersection des deux droites donne la quantité pour laquelle les prix sont égaux : ses coordonnées sont la solution du système formé par les deux équations. Avant ce point, l'offre dont la droite est en dessous est la moins chère ; après, l'autre. On résout graphiquement (GeoGebra : commande Intersection) ou avec la calculatrice ou le tableur. Deux droites de même coefficient directeur sont parallèles : le système n'a pas de solution et une offre est toujours moins chère.
Document 1 · Les flyers de l'association
Situation-problème.
Une association doit faire imprimer des flyers. Imprimerie A : 0,12 € le flyer. Imprimerie B : 30 € de frais fixes et 0,07 € le flyer. L'association hésite entre 400 et 1 000 flyers.
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · S'approprier
12 minSupports : Document 1
Modélisez.
- Fonctions A(x) et B(x) ?
- Prix pour 400 flyers ?
- Pour 1 000 flyers ?
Ce qui est attendu (6 pts) : S'approprier, réaliser
Activité 2 · Réaliser
18 minSupports : Cours
Résolvez le système.
- Tracez les deux droites sur [0 ; 1 200] avec GeoGebra.
- Coordonnées du point d'intersection ?
- Vérifiez par le calcul.
Ce qui est attendu (7 pts) : Analyser, raisonner, réaliser
Activité 3 · Valider, communiquer
15 minSupports : Documents et cours
Rédigez un message au trésorier (6 à 8 lignes) : quelle imprimerie choisir selon le nombre de flyers ? Pour bien commencer : Les deux tarifs sont égaux pour… · En dessous de 600 flyers, … · Je recommande donc…
Ce qui est attendu (7 pts) : Valider · Communiquer
Trace écrite · document à compléter (papier ou ENT)
Complète la trace écrite avec les mots de la banque, puis recopie-la dans ton cahier.
Le point d'____________ des deux droites donne la quantité pour laquelle les prix sont égaux. Avant ce point, l'offre dont la droite est en _______ est la moins chère. Deux droites de même coefficient directeur sont __________. On résout un système _____________ ou avec un outil numérique.
Fiche à trous · je complète
Complète le texte avec les mots de la banque (sur papier ou dans le document de l'ENT).
La courbe d'une fonction affine f(x) = ax + b est une ______.
b est l'____________________ de la droite.
Si a > 0, la fonction affine est __________.
La solution d'un système de deux équations correspond au point d'____________ des deux droites.
Ce que j'ai appris
- Représenter une fonction affine, interpréter coefficient directeur et ordonnée à l'origine
- Déterminer l'expression d'une fonction affine à partir de deux nombres et de leurs images
- Résoudre graphiquement ou avec un outil numérique un système de deux équations