Repères pour le professeur
Objectifs et capacités
Objectifs
- Construire la parabole de la fonction carré et donner son tableau de variations
- Déduire l'allure de x ↦ kx² et de x ↦ f(x) + k
- Résoudre graphiquement ou algébriquement f(x) = c pour une fonction x ↦ kx²
Capacités travaillées (BO)
- S'approprier : rechercher, extraire et organiser l'information
- Analyser, raisonner : émettre une conjecture, choisir une méthode
- Réaliser : calculer, représenter, utiliser un outil numérique
- Valider : contrôler la vraisemblance, argumenter
- Communiquer : rendre compte d'une démarche à l'écrit et à l'oral
Notions et définitions
Repères historiques
- Galilée, loi de la chute des corps (1638)
- Apollonius, *Les Coniques* (vers 200 av. J.‑C.)
- Code de la route : distances d'arrêt enseignées en formation
Ressources de la séquence
Ancrage dans le programme, notions, repères, débats, bibliographie et différenciation, communs à toutes les séances.
Ancrage dans le programme officiel
Fonction carré : « Ils découvrent la fonction carré comme nouvelle fonction de référence et déduisent de sa courbe représentative, l'allure de celle de la fonction qui à x associe kx2, où k est un réel »
Situations : « Les situations choisies permettent d'approcher les grands débats de société, par exemple autour du développement durable, et de traiter des problématiques parfaitement identifiées. »
Compétences : « valider : critiquer un résultat, argumenter ; contrôler la vraisemblance d'une conjecture ; mener un raisonnement logique et établir une conclusion »
Certification (arrêté du 17 juin 2020, annexe III) : en contrôle en cours de formation, deux situations d'évaluation en première et terminale : « Ces situations d'évaluation ont chacune une durée de quarante-cinq minutes environ et sont notées sur 10 points. » « Un exercice au moins comporte une ou deux questions dont la résolution se fait en présence de l'examinateur. » Pour les candidats hors CCF : « L'épreuve, d'une durée d'une heure, est une évaluation écrite et pratique, notée sur 20 points se déroule en fin de cursus de formation. »
Notions : définitions rigoureuses
- Fonction carré
- f(x) = x², définie sur ℝ, toujours positive ou nulle.
- Parabole
- Courbe de la fonction carré, symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, de sommet O(0 ; 0).
- Variations
- Décroissante sur ]−∞ ; 0], croissante sur [0 ; +∞[ ; minimum 0 en x = 0.
- Fonction kx²
- Si k > 0, même allure que x² (plus « fermée » si k > 1) ; si k < 0, parabole tournée vers le bas.
- Fonction f(x) + k
- Sa courbe se déduit de celle de f par une translation verticale de k.
- Équation kx² = c
- Si c/k > 0, deux solutions √(c/k) et −√(c/k) ; dans un contexte, on garde la solution positive.
Repères
| Date | Événement |
|---|---|
| vers 200 av. J.‑C. | Apollonius étudie la parabole comme section d'un cône. |
| 1638 | Galilée montre que la distance de chute est proportionnelle au carré du temps. |
| 1687 | Newton explique ces lois par la gravitation. |
| 1921 | Le premier code de la route français moderne est publié. |
Les historiens en débat
La parabole, étudiée par les Grecs comme courbe géométrique, devient avec Galilée la loi des mouvements accélérés : distance de chute, trajectoire d'un projectile, distance de freinage. Comprendre qu'une grandeur proportionnelle au carré de la vitesse est multipliée par 4 quand la vitesse double est un enjeu de sécurité routière. Synthèse du professeur.
Pour aller plus loin
Sources et bibliographie
- Ian Stewart, 17 Equations That Changed the World, Profile Books, 2012.
- Hervé Lehning, Toutes les mathématiques du monde, Flammarion, 2017.
- Stella Baruk, Dictionnaire de mathématiques élémentaires, Seuil, 1992.
Différenciation : un rythme de travail différent
- Pour les élèves qui ont besoin de plus de temps : énoncé découpé en petites questions, rappel de cours en marge, calculatrice ou tableur autorisés pendant l'entraînement, correction pas à pas en vidéo ou en classe virtuelle.
- Pour les élèves qui avancent vite : question d'approfondissement (démonstration, généralisation, programme Python à écrire), problème ouvert à rédiger et à présenter à l'oral.
Déroulé d'ensemble
| Séance | Titre | Durée | Objectif |
|---|---|---|---|
| Séance 1 | La fonction carré | 65 min | construire la parabole et étudier ses variations |
| Séance 2 | Les fonctions kx² et f(x) + k | 65 min | modéliser par x ↦ kx² et résoudre kx² = c |
| Évaluation | Évaluation de fin de séquence (/20) | 55 min | Vérifier les acquis : connaissances, capacités, rédaction |
Chaque séance dure environ 55 minutes à distance : lancement en classe virtuelle ou par message sur l'ENT, recherche du problème (calculatrice, tableur, GeoGebra ou Python dans le navigateur), mise en commun, cours et trace écrite. Les élèves renvoient la fiche à trous et leur production par l'ENT ou en photo.
Séance 1 · La fonction carré
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.
Problématique de la séance
À quoi ressemble la courbe de x² ?
Déroulé minuté à distance
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
- 12 min → Travail autonome : Activité 1 (S'approprier) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 18 min → Travail autonome : Activité 2 (Réaliser) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Communiquer) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
- 10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.
Le cours développé (récit du professeur) · Fonction carré
La fonction carré f(x) = x² est définie pour tout réel x ; x² est toujours positif ou nul, et (−x)² = x². Sa courbe est une parabole de sommet O, symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Elle est décroissante sur ]−∞ ; 0] et croissante sur [0 ; +∞[ ; son minimum est 0, atteint en 0. Pour la tracer, on fait un tableau de valeurs puis on relie les points par une courbe (pas des segments). L'équation x² = c a deux solutions √c et −√c si c > 0, une seule (0) si c = 0, aucune si c < 0.
Document 1 · Le carrelage
Situation-problème.
Un carreleur vend des dalles carrées. Le prix d'une dalle est proportionnel à sa surface. Il veut afficher la surface d'une dalle en fonction de la longueur x de son côté (en dm), pour x entre 0 et 6.
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · S'approprier
12 minSupports : Document 1
Calculez.
- Surface pour x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ?✔ Corrigé :
1 ; 4 ; 9 ; 16 ; 25 ; 36 dm².
- La surface est‑elle proportionnelle au côté ?✔ Corrigé :
Non : quand le côté double, la surface est multipliée par 4.
- Quelle fonction modélise la surface ?✔ Corrigé :
S(x) = x².
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| S'approprier, réaliser | 6 |
| Total de l'activité | 6 |
Activité 2 · Réaliser
18 minSupports : Cours
Étudiez la fonction carré sur [−4 ; 4].
- Tableau de valeurs pour x = −4, −2, −1, 0, 1, 2, 4.✔ Corrigé :
16 ; 4 ; 1 ; 0 ; 1 ; 4 ; 16.
- Tableau de variations ?✔ Corrigé :
Décroissante sur [−4 ; 0], croissante sur [0 ; 4], minimum 0.
- Résolvez x² = 20 ; quel côté pour une dalle de 20 dm² ?✔ Corrigé :
x = √20 ≈ 4,47 ou −4,47 ; côté ≈ 4,47 dm.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Analyser, raisonner, réaliser | 7 |
| Total de l'activité | 7 |
Activité 3 · Communiquer
15 minSupports : Documents et cours
Rédigez une explication pour l'affichage du carreleur (6 lignes) : pourquoi une dalle de côté double coûte‑t‑elle 4 fois plus cher ? Pour bien commencer : La surface d'une dalle est… · Si le côté double, … · Le prix étant proportionnel à la surface, …
S = x² ; (2x)² = 4x² ; prix multiplié par 4 ; exemple numérique ; phrases claires.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Valider | 5 |
| Communiquer | 2 |
| Total de l'activité | 7 |
Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)
La courbe de la fonction carré est une parabole. Le carré d'un nombre est toujours positif ou nul. La fonction carré a pour minimum 0. L'équation x² = 25 a pour solutions 5 et −5.
Barème récapitulatif des activités notées
| Activité | Points |
|---|---|
| Activité 1 · S'approprier | 6 |
| Activité 2 · Réaliser | 7 |
| Activité 3 · Communiquer | 7 |
| Total | 20 / 20 |
Séance 2 · Les fonctions kx² et f(x) + k
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.
Problématique de la séance
Quelle distance pour freiner à 90 km/h ?
Déroulé minuté à distance
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
- 12 min → Travail autonome : Activité 1 (S'approprier) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 18 min → Travail autonome : Activité 2 (Analyser, raisonner) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Valider, communiquer) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
- 10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.
Le cours développé (récit du professeur) · Famille de paraboles
Pour k > 0, la courbe de x ↦ kx² a la même allure que la parabole de x² : elle est plus resserrée si k > 1, plus ouverte si 0 < k < 1 ; ses variations sont les mêmes que celles de x² (si k < 0, elles sont inversées et la parabole est tournée vers le bas). La courbe de x ↦ f(x) + k se déduit de celle de f par une translation verticale de k ; les variations sont les mêmes. Pour résoudre kx² = c : x² = c/k, puis x = √(c/k) ou −√(c/k) ; dans un problème, on garde la solution qui a du sens (vitesse positive).
Document 1 · Le freinage
Situation-problème.
En formation à la sécurité routière, on modélise la distance de freinage sur route sèche par d(v) = 0,006v² et sur route mouillée par d(v) = 0,009v² (d en m, v en km/h). La distance de réaction, parcourue pendant une seconde, vaut environ v/3,6 mètres.
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · S'approprier
12 minSupports : Document 1
Calculez.
- Distance de freinage à 90 km/h sur route sèche et mouillée ?✔ Corrigé :
48,6 m ; 72,9 m.
- Comparez les deux courbes sur GeoGebra.✔ Corrigé :
Même allure ; la seconde est au‑dessus (k plus grand).
- À quelle vitesse freine‑t‑on sur 54 m sur route sèche ?✔ Corrigé :
v² = 9 000, v ≈ 94,9 km/h.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| S'approprier, réaliser | 6 |
| Total de l'activité | 6 |
Activité 2 · Analyser, raisonner
18 minSupports : Cours
Exploitez le modèle.
- Si v passe de 50 à 100 km/h, comment évolue d(v) ?✔ Corrigé :
Multipliée par 4 : 15 m puis 60 m.
- Distance d'arrêt (réaction + freinage) à 90 km/h sur route sèche ?✔ Corrigé :
25 + 48,6 = 73,6 m.
- La fonction x ↦ 0,006x² + 25 a‑t‑elle les mêmes variations ?✔ Corrigé :
Oui : courbe translatée de 25 vers le haut.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Analyser, raisonner, réaliser | 7 |
| Total de l'activité | 7 |
Activité 3 · Valider, communiquer
15 minSupports : Documents et cours
Rédigez un paragraphe de prévention (8 lignes) destiné aux élèves qui passent le permis : pourquoi la pluie et la vitesse allongent‑elles autant la distance d'arrêt ? Pour bien commencer : Sur route mouillée, le coefficient passe de… à… · Quand la vitesse double, … · C'est pourquoi …
Coefficients 0,006 et 0,009 ; effet du carré ; exemples chiffrés ; distance de réaction ; message de prévention clair.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Valider | 5 |
| Communiquer | 2 |
| Total de l'activité | 7 |
Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)
La courbe de x ↦ kx² a la même allure que celle de x² si k est positif. La courbe de f(x) + k se déduit de celle de f par une translation verticale. Pour résoudre kx² = c, on calcule d'abord c/k. Dans un problème, on garde la solution qui a du sens.
Barème récapitulatif des activités notées
| Activité | Points |
|---|---|
| Activité 1 · S'approprier | 6 |
| Activité 2 · Analyser, raisonner | 7 |
| Activité 3 · Valider, communiquer | 7 |
| Total | 20 / 20 |
Fiche à trous · corrigé
La courbe de la fonction carré est une parabole.
La fonction carré est décroissante sur les négatifs et croissante sur les positifs.
Si k > 0, la courbe de x ↦ kx² a la même allure que celle de x ↦ x².
Si la vitesse est multipliée par 2, une grandeur proportionnelle à v² est multipliée par 4.
La version élève contient la même fiche avec une banque de mots (papier ou ENT).
Évaluation de fin de séquence (/20) · barème et corrigé
Évaluation sur 20 à faire en temps limité sur l'ENT ou sur papier, puis à renvoyer en photo ; le corrigé et le barème servent aussi à l'autoévaluation. En Bac Pro, elle est construite comme une situation de contrôle en cours de formation (problème contextualisé, compétences évaluées) ; en 1re générale, elle prépare à l'épreuve anticipée (automatismes sans calculatrice et exercices) ; en Terminale générale, aux exercices indépendants de l'épreuve de spécialité.
| N° | Question | Barème | Corrigé et critères |
|---|---|---|---|
| 1 | Complétez le tableau de valeurs de f(x) = x² pour x = −3, −1, 0, 2, 3, puis dressez le tableau de variations de f sur [−3 ; 3]. | 4 pts | 9 ; 1 ; 0 ; 4 ; 9 ; décroissante de 9 à 0 sur [−3 ; 0], croissante de 0 à 9 sur [0 ; 3]. Valeurs (2 pts), tableau (2 pts). |
| 2 | La distance de freinage d'une voiture sur route sèche est modélisée par d(v) = 0,006v² (d en m, v en km/h). Calculez d(50), d(90), d(130). Résolvez d(v) = 60 et interprétez. | 8 pts | 15 m ; 48,6 m ; 101,4 m. v² = 10 000, v = 100 km/h (v > 0). Calculs (4 pts), équation et interprétation (4 pts). |
| 3 | Un formateur affirme : « Si on roule deux fois plus vite, on freine sur une distance deux fois plus longue. » Vérifiez avec le modèle précédent en comparant 50 km/h et 100 km/h et rédigez une réponse argumentée. Pour bien commencer : *D'après le modèle, à 50 km/h, …* · *À 100 km/h, la distance devient…* · *L'affirmation est donc…, car…* | 8 pts | d(50) = 15 m et d(100) = 60 m : la distance est multipliée par 4, car (2v)² = 4v². L'affirmation est fausse. Calculs (3 pts), justification algébrique (3 pts), conclusion (2 pts). |
| Total | 20 pts | ||
Pistes pour un rythme de travail différent
- Laisser deux jours de plus aux élèves qui ont peu de connexion et accepter un rendu sur papier photographié.
- Proposer la fiche à trous, un énoncé découpé en petites questions et une vidéo de correction pas à pas.
- Pour les élèves rapides : une démonstration, un programme Python à écrire ou un problème ouvert à présenter à l'oral.
- Automatismes : calculer un carré, lire une image et un antécédent sur une courbe.
- Pour aller plus loin : comparer avec GeoGebra les courbes de x², 2x², 0,5x² et x² + 3.