Calculs commerciaux et financiers : TVA, remises, intérêts simples · version prof

Repères pour le professeur

Voie · niveauLycée professionnel (Bac Pro) · Seconde

DisciplineMathématiques

Programme officielProgramme de mathématiques de 2de professionnelle, BO spécial n°5 du 11 avril 2019 : statistique et probabilités, algèbre et analyse, géométrie, algorithmique et programmation, automatismes.

Place dans le programmeProgramme de mathématiques de seconde professionnelle (BO spécial n°5 du 11 avril 2019), domaine « Algèbre-Analyse », module « Calculs commerciaux et financiers » (spécialités de baccalauréat professionnel sans enseignement de physique-chimie)

Durée totale2 séances + 1 évaluation ≈ 3 h 05

ModalitéEnseignement à distance : classe virtuelle + travail autonome + rendu sur l'ENT

Objectifs et capacités

Objectifs

Calculer un prix hors taxes, toutes taxes comprises et un montant de TVA
Appliquer des remises successives et calculer un net à payer
Calculer un intérêt simple et une valeur acquise

Capacités travaillées (BO)

S'approprier : rechercher, extraire et organiser l'information
Analyser, raisonner : émettre une conjecture, choisir une méthode
Réaliser : calculer, représenter, utiliser un outil numérique
Valider : contrôler la vraisemblance, argumenter
Communiquer : rendre compte d'une démarche à l'écrit et à l'oral

Notions et définitions

prix HT, TVA, prix TTCcoefficient multiplicateurremise, rabais, net à payercapital, taux, duréeintérêt simple, valeur acquise

Repères historiques

Fibonacci, *Liber abaci* (1202) : calculs marchands
Luca Pacioli, *Summa de arithmetica* (1494) : comptabilité en partie double
Création de la TVA par Maurice Lauré (1954)

Ressources de la séquence

Ancrage dans le programme, notions, repères, débats, bibliographie et différenciation, communs à toutes les séances.

Ancrage dans le programme officiel

Objectif du module : « Ce module permet de renforcer la maîtrise des pourcentages communément utilisés dans les organisations (entreprises commerciales, associations, établissements publics) lors de l'établissement ou de l'utilisation de divers documents (factures, bulletins de paye, documents financiers…). »

Mise en oeuvre : « Ce module se prête à des séances de co-intervention »

Compétences : « valider : critiquer un résultat, argumenter ; contrôler la vraisemblance d'une conjecture ; mener un raisonnement logique et établir une conclusion »

Certification (arrêté du 17 juin 2020, annexe III) : en contrôle en cours de formation, deux situations d'évaluation en première et terminale : « Ces situations d'évaluation ont chacune une durée de quarante-cinq minutes environ et sont notées sur 10 points. » « Un exercice au moins comporte une ou deux questions dont la résolution se fait en présence de l'examinateur. » Pour les candidats hors CCF : « L'épreuve, d'une durée d'une heure, est une évaluation écrite et pratique, notée sur 20 points se déroule en fin de cursus de formation. »

Notions : définitions rigoureuses

Prix HT et TTC: TTC = HT × (1 + t) où t est le taux de TVA ; HT = TTC/(1 + t).
TVA: Taxe sur la valeur ajoutée : 20 % (taux normal), 10 % et 5,5 % (taux réduits) en France.
Remise: Réduction en pourcentage sur le prix ; une remise de r % correspond au coefficient 1 − r/100.
Escompte: Réduction accordée pour paiement anticipé, calculée sur le net commercial.
Intérêt simple: I = C × t × n, avec C le capital, t le taux annuel et n la durée en années.
Valeur acquise: Capital augmenté des intérêts : C + I.

Repères

Date	Événement
1202	Fibonacci diffuse en Europe les chiffres indo‑arabes pour le commerce.
1494	Pacioli décrit la comptabilité en partie double.
1954	La TVA est créée en France sur une idée de Maurice Lauré.
1968	La TVA est généralisée au commerce de détail en France.

Les historiens en débat

Les mathématiques commerciales sont parmi les plus anciennes : les traités d'abaque italiens enseignaient règle de trois, intérêts et changes. La TVA, invention française de 1954, est aujourd'hui utilisée dans de nombreux pays. Ces calculs sont au quotidien de nombreux métiers et se prêtent à la co‑intervention avec l'enseignement professionnel. Synthèse du professeur.

Pour aller plus loin

Lire · programmes de mathématiques de la voie professionnelle (éduscol).
Outil · calculatrice graphique GeoGebra.

Sources et bibliographie

Hervé Lehning, Toutes les mathématiques du monde, Flammarion, 2017.
Georges Ifrah, Histoire universelle des chiffres, Robert Laffont, 1994.
Insee, Tableaux de l'économie française (données en ligne).

Différenciation : un rythme de travail différent

Pour les élèves qui ont besoin de plus de temps : énoncé découpé en petites questions, rappel de cours en marge, calculatrice ou tableur autorisés pendant l'entraînement, correction pas à pas en vidéo ou en classe virtuelle.
Pour les élèves qui avancent vite : question d'approfondissement (démonstration, généralisation, programme Python à écrire), problème ouvert à rédiger et à présenter à l'oral.

Déroulé d'ensemble

Séance	Titre	Durée	Objectif
Séance 1	TVA, remises et facture	65 min	calculer et vérifier une facture
Séance 2	Intérêts simples	65 min	calculer un intérêt et une valeur acquise
Évaluation	Évaluation de fin de séquence (/20)	55 min	Vérifier les acquis : connaissances, capacités, rédaction

Chaque séance dure environ 55 minutes à distance : lancement en classe virtuelle ou par message sur l'ENT, recherche du problème (calculatrice, tableur, GeoGebra ou Python dans le navigateur), mise en commun, cours et trace écrite. Les élèves renvoient la fiche à trous et leur production par l'ENT ou en photo.

Séance 1 · TVA, remises et facture

65 min

Séance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.

Problématique de la séance

Cette facture est‑elle juste ?

Déroulé minuté à distance

10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
12 min → Travail autonome : Activité 1 (S'approprier) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
18 min → Travail autonome : Activité 2 (Réaliser) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Communiquer) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.

Le cours développé (récit du professeur) · Pourcentages commerciaux

Le prix toutes taxes comprises s'obtient à partir du prix hors taxes : TTC = HT × (1 + t), avec t le taux de TVA (0,2 pour 20 %). Inversement, HT = TTC/(1 + t). Une remise de r % se traduit par le coefficient multiplicateur 1 − r/100 : −15 % donne × 0,85. Pour des réductions successives (remise, puis escompte), on multiplie les coefficients : on n'additionne pas les pourcentages. Ordre d'une facture : prix brut, remise, net commercial, escompte, net financier, TVA, net à payer TTC.

Document 1 · La facture du fournisseur

Situation-problème.

Un atelier commande 20 outils à 45 € HT l'unité. Le fournisseur accorde une remise de 10 % puis un escompte de 2 % pour paiement comptant. La TVA est à 20 %. La facture reçue indique un net à payer de 950,40 € TTC.

Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).

Activité 1 · S'approprier

12 min

Essentiel

Supports : Document 1

Consigne :

Calculez étape par étape.

Prix brut HT ?
✔ Corrigé :
20 × 45 = 900 €.
Net commercial ?
✔ Corrigé :
900 × 0,9 = 810 €.
Net financier ?
✔ Corrigé :
810 × 0,98 = 793,80 €.

Critère de réussite	Points
S'approprier, réaliser	6
Total de l'activité	6

Activité 2 · Réaliser

18 min

Essentiel

Supports : Cours

Consigne :

Terminez et vérifiez.

Net à payer TTC ?
✔ Corrigé :
793,80 × 1,2 = 952,56 €.
Écart avec la facture reçue ?
✔ Corrigé :
2,16 €.
Quelle erreur le fournisseur a‑t‑il pu commettre ?
✔ Corrigé :
900 × (1 − 0,12) × 1,2 = 950,40 € : il a additionné les deux réductions (12 %) au lieu de multiplier les coefficients.

Critère de réussite	Points
Analyser, raisonner, réaliser	7
Total de l'activité	7

Activité 3 · Communiquer

15 min

Travail à rendre

Supports : Documents et cours

Consigne :

Rédigez un courriel au fournisseur (6 à 8 lignes) signalant l'erreur, avec le détail du calcul correct. Pour bien commencer : Après vérification de votre facture, … · Le calcul correct est le suivant : … · Je vous remercie de…

✔ Corrigé rédigé :

Calcul détaillé ; identification de l'erreur (pourcentages additionnés) ; montant correct 952,56 € ; ton professionnel et courtois.

Critère de réussite	Points
Valider	5
Communiquer	2
Total de l'activité	7

Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)

Prix TTC = prix HT × (1 + t). Une remise de 10 % revient à multiplier par 0,9. Pour des réductions successives, on multiplie les coefficients. Le prix HT s'obtient en divisant le prix TTC par 1 + t.

Barème récapitulatif des activités notées

Activité	Points
Activité 1 · S'approprier	6
Activité 2 · Réaliser	7
Activité 3 · Communiquer	7
Total	20 / 20

Séance 2 · Intérêts simples

65 min

Séance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.

Problématique de la séance

Que rapporte un placement de trésorerie ?

Déroulé minuté à distance

10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
12 min → Travail autonome : Activité 1 (S'approprier) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
18 min → Travail autonome : Activité 2 (Réaliser) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Valider, communiquer) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.

Le cours développé (récit du professeur) · Capital, taux, durée

Quand on place un capital C au taux annuel t à intérêts simples pendant une durée n (en années), les intérêts sont calculés chaque fois sur le capital de départ : I = C × t × n. Si la durée est en mois, n = nombre de mois/12 ; en jours, on utilise souvent n = nombre de jours/360 (année commerciale). La valeur acquise est A = C + I = C(1 + tn). Les intérêts simples croissent de façon linéaire avec le temps : la valeur acquise est une fonction affine de la durée.

Document 1 · La trésorerie de l'association

Situation-problème.

Une association sportive dispose de 2 500 € qu'elle n'utilisera pas avant 18 mois. Sa banque propose un placement à intérêts simples au taux annuel de 3 %. Une autre banque propose 2,8 % avec une prime de 10 € à l'ouverture.

Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).

Activité 1 · S'approprier

12 min

Essentiel

Supports : Document 1

Consigne :

Calculez.

Durée en années ?
✔ Corrigé :
18/12 = 1,5 an.
Intérêts avec la première banque ?
✔ Corrigé :
2 500 × 0,03 × 1,5 = 112,50 €.
Valeur acquise ?
✔ Corrigé :
2 612,50 €.

Critère de réussite	Points
S'approprier, réaliser	6
Total de l'activité	6

Activité 2 · Réaliser

18 min

Essentiel

Supports : Cours

Consigne :

Comparez.

Gain avec la seconde banque ?
✔ Corrigé :
2 500 × 0,028 × 1,5 + 10 = 115 €.
Quelle offre est meilleure sur 18 mois ?
✔ Corrigé :
La seconde (115 € contre 112,50 €).
Et sur 3 ans ?
✔ Corrigé :
Première : 225 € ; seconde : 220 € : la première devient meilleure.

Critère de réussite	Points
Analyser, raisonner, réaliser	7
Total de l'activité	7

Activité 3 · Valider, communiquer

15 min

Travail à rendre

Supports : Documents et cours

Consigne :

Rédigez une note au bureau de l'association (6 à 8 lignes) : quel placement choisir selon la durée ? Indiquez la durée à partir de laquelle la première offre devient plus avantageuse. Pour bien commencer : Sur 18 mois, … · Les gains sont égaux lorsque… · Je conseille donc…

✔ Corrigé rédigé :

Calculs justes ; équation 75n = 70n + 10, n = 2 ans ; conseil selon la durée ; ton adapté.

Critère de réussite	Points
Valider	5
Communiquer	2
Total de l'activité	7

Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)

Les intérêts simples se calculent avec la formule I = C × t × n. La valeur acquise est le capital augmenté des intérêts. Une durée de 18 mois correspond à 1,5 an. Avec des intérêts simples, la valeur acquise évolue de façon linéaire.

Barème récapitulatif des activités notées

Activité	Points
Activité 1 · S'approprier	6
Activité 2 · Réaliser	7
Activité 3 · Valider, communiquer	7
Total	20 / 20

Fiche à trous · corrigé

Prix TTC = prix HT × (1 + taux de TVA).

Une remise de 15 % revient à multiplier le prix par 0,85.

Des remises successives se calculent en multipliant les coefficients.

L'intérêt simple vaut I = C × t × n.

La version élève contient la même fiche avec une banque de mots (papier ou ENT).

Évaluation de fin de séquence (/20) · barème et corrigé

Évaluation sur 20 à faire en temps limité sur l'ENT ou sur papier, puis à renvoyer en photo ; le corrigé et le barème servent aussi à l'autoévaluation. En Bac Pro, elle est construite comme une situation de contrôle en cours de formation (problème contextualisé, compétences évaluées) ; en 1re générale, elle prépare à l'épreuve anticipée (automatismes sans calculatrice et exercices) ; en Terminale générale, aux exercices indépendants de l'épreuve de spécialité.

N°	Question	Barème	Corrigé et critères
1	Un article coûte 250 € HT avec une TVA à 20 %. Calculez le montant de la TVA et le prix TTC. Un autre article coûte 66 € TTC avec une TVA à 10 % : quel est son prix HT ?	4 pts	TVA 50 € ; 300 € TTC ; 66/1,1 = 60 € HT. Un point, un point, deux points.
2	Une facture de matériel s'élève à 1 200 € HT. Le fournisseur accorde une remise de 10 % puis un escompte de 2 % pour paiement comptant. Calculez le net commercial, le net financier, puis le montant TTC (TVA 20 %).	8 pts	1 200 × 0,9 = 1 080 € ; 1 080 × 0,98 = 1 058,40 € ; TTC : 1 270,08 €. Remise (2 pts), escompte (3 pts), TTC (3 pts).
3	Une association place 2 500 € à intérêts simples au taux annuel de 3 % pendant 18 mois. Calculez l'intérêt et la valeur acquise. Un bénévole dit qu'avec deux remises successives de 10 %, un prix baisse de 20 % : répondez‑lui. Pour bien commencer : L'intérêt simple se calcule… · La valeur acquise est donc… · Pour les remises, on multiplie…	8 pts	I = 2 500 × 0,03 × 1,5 = 112,50 € ; valeur acquise 2 612,50 €. Remises : 0,9 × 0,9 = 0,81, baisse de 19 % et non 20 %. Intérêts (4 pts), réponse argumentée (4 pts).
Total		20 pts

Pistes pour un rythme de travail différent

Laisser deux jours de plus aux élèves qui ont peu de connexion et accepter un rendu sur papier photographié.
Proposer la fiche à trous, un énoncé découpé en petites questions et une vidéo de correction pas à pas.
Pour les élèves rapides : une démonstration, un programme Python à écrire ou un problème ouvert à présenter à l'oral.
Automatismes : passer d'un pourcentage au coefficient multiplicateur, calcul mental de 10 %, 20 %, 5 %.
Pour aller plus loin : construire au tableur une facture automatique avec remise, escompte et TVA.