Bonjour !
Dans cette séquence de mathématiques, tu vas chercher à répondre à la grande question écrite en haut de la page. Elle se fait en 2 séances. Pour chaque séance : lis la consigne, étudie les documents, réponds aux questions sur ta feuille ou sur l'ENT, puis recopie l'essentiel dans ton cahier. Tu peux imprimer cette page avec le bouton « Imprimer ».
À la fin, je serai capable de :
- Reconnaître et nommer les solides usuels et leurs faces
- Utiliser le théorème de Pythagore, sa réciproque et le théorème de Thalès pour calculer des longueurs
- Calculer aires et volumes et déterminer l'effet d'un agrandissement ou d'une réduction
Les mots importants
Ressources de la séquence
Les notions, les repères et les pistes pour aller plus loin, utiles pour toutes les séances.
Les notions à maîtriser
- Solides usuels
- Cube, pavé droit, prisme, cylindre, pyramide, cône, boule.
- Pythagore
- Si ABC est rectangle en A, alors BC² = AB² + AC² ; la réciproque permet de prouver qu'un triangle est rectangle.
- Thalès
- Si (MN) est parallèle à (BC) avec M sur (AB) et N sur (AC), alors AM/AB = AN/AC = MN/BC.
- Volumes
- Pavé : L × ℓ × h ; cylindre : πr²h ; pyramide et cône : (aire de base × h)/3 ; boule : (4/3)πr³.
- Agrandissement
- Longueurs × k, aires × k², volumes × k³.
- Unités
- 1 m³ = 1 000 dm³ = 1 000 L ; 1 m² = 10 000 cm².
Repères
| Date | Événement |
|---|---|
| vers 1800 av. J.‑C. | La tablette babylonienne Plimpton 322 contient des triplets pythagoriciens. |
| VIe siècle av. J.‑C. | La tradition attribue à Thalès la mesure de la hauteur d'une pyramide par son ombre. |
| vers 300 av. J.‑C. | Euclide démontre le théorème de Pythagore (Éléments, I, 47). |
| IIIe siècle av. J.‑C. | Archimède établit le volume de la boule. |
Pour aller plus loin
Sources et bibliographie
- Euclide, Les Éléments, traduction de Bernard Vitrac, PUF, 1990‑2001.
- Denis Guedj, Le Théorème du perroquet, Seuil, 1998.
- Mickaël Launay, Le Grand Roman des maths, Flammarion, 2016.
Mon parcours : je choisis mon rythme
- Pour les élèves qui ont besoin de plus de temps : énoncé découpé en petites questions, rappel de cours en marge, calculatrice ou tableur autorisés pendant l'entraînement, correction pas à pas en vidéo ou en classe virtuelle.
- Pour les élèves qui avancent vite : question d'approfondissement (démonstration, généralisation, programme Python à écrire), problème ouvert à rédiger et à présenter à l'oral.
Séance 1 · Pythagore et Thalès au service du métier
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes avec coups de pouce.
La question du jour
Comment vérifier qu'un mur est d'équerre ?
Mon plan de travail
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Je suis le lancement (ou j'écoute la capsule) et je recopie la problématique.
- 12 min → Travail autonome : Je fais l'activité 1 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 18 min → Travail autonome : Je fais l'activité 2 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 15 min → Travail à rendre : Je fais l'activité 3 et je la dépose sur l'ENT (ou j'envoie une photo) dans les trois jours.
- 10 min → Mise en commun : Je corrige avec une autre couleur et je complète la trace écrite.
Le cours à lire · Théorèmes de Pythagore et de Thalès
Théorème de Pythagore : si un triangle est rectangle, le carré de l'hypoténuse (côté opposé à l'angle droit) est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Réciproque : si BC² = AB² + AC², le triangle est rectangle en A. C'est la « règle du 3, 4, 5 » des maçons : un triangle de côtés 3, 4 et 5 est rectangle. Théorème de Thalès : si deux droites (MN) et (BC) sont parallèles, avec M sur (AB) et N sur (AC), les longueurs sont proportionnelles : AM/AB = AN/AC = MN/BC. On l'utilise pour calculer une hauteur par l'ombre ou une longueur sur un plan.
Document 1 · Le chantier
Situation-problème.
Un maçon trace les fondations d'un abri rectangulaire de 4 m sur 3 m. Pour vérifier l'angle droit, il mesure la diagonale : il trouve 5,08 m. Plus loin, un poteau de 2 m projette une ombre de 1,6 m pendant qu'un arbre projette une ombre de 9,6 m.
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · S'approprier
12 minSupports : Document 1
Analysez les mesures.
- Quelle diagonale faudrait‑il pour un angle droit ?
- L'angle est‑il droit ?
- Quel théorème pour la hauteur de l'arbre ?
Ce qui est attendu (6 pts) : S'approprier, réaliser
Activité 2 · Réaliser
18 minSupports : Cours
Calculez.
- Hauteur de l'arbre ?
- Diagonale d'un écran de 1,2 m sur 0,7 m ?
- Un triangle de côtés 7, 24 et 25 est‑il rectangle ?
Ce qui est attendu (7 pts) : Analyser, raisonner, réaliser
Activité 3 · Valider, communiquer
15 minSupports : Documents et cours
Rédigez la consigne du chef de chantier au maçon (6 à 8 lignes) : faut‑il reprendre le tracé ? Comment vérifier rapidement un angle droit sur le terrain ? Pour bien commencer : La diagonale mesurée est…, alors que… · L'angle n'est donc pas… · Pour vérifier, il suffit de…
Ce qui est attendu (7 pts) : Valider · Communiquer
Trace écrite · document à compléter (papier ou ENT)
Complète la trace écrite avec les mots de la banque, puis recopie-la dans ton cahier.
Dans un triangle rectangle, le carré de l'__________ est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. La __________ du théorème permet de prouver qu'un triangle est rectangle. Avec le théorème de ______, les longueurs sont proportionnelles. Un triangle de côtés 3, 4 et 5 est _________.
Séance 2 · Aires, volumes et agrandissements
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes avec coups de pouce.
La question du jour
Combien de litres contient la cuve ?
Mon plan de travail
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Je suis le lancement (ou j'écoute la capsule) et je recopie la problématique.
- 12 min → Travail autonome : Je fais l'activité 1 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 18 min → Travail autonome : Je fais l'activité 2 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 15 min → Travail à rendre : Je fais l'activité 3 et je la dépose sur l'ENT (ou j'envoie une photo) dans les trois jours.
- 10 min → Mise en commun : Je corrige avec une autre couleur et je complète la trace écrite.
Le cours à lire · Volumes et échelles
Volumes : pavé droit L × ℓ × h ; cylindre πr²h ; pyramide et cône (aire de la base × hauteur)/3 ; boule (4/3)πr³. Conversions : 1 m³ = 1 000 dm³ et 1 dm³ = 1 L. Dans un agrandissement ou une réduction de coefficient k (échelle), les longueurs sont multipliées par k, les aires par k² et les volumes par k³. Une maquette à l'échelle 1/20 correspond à k = 20 pour passer à l'objet réel.
Document 1 · La cuve de récupération d'eau
Situation-problème.
Un lycée installe une cuve cylindrique de récupération d'eau de pluie : diamètre 1,2 m, hauteur 1,5 m. Le service technique a fabriqué une maquette à l'échelle 1/10 pour une exposition sur le développement durable.
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · S'approprier
12 minSupports : Document 1
Calculez.
- Rayon et volume de la cuve en m³ ?
- Contenance en litres ?
- Combien de jours d'arrosage si l'on utilise 80 L par jour ?
Ce qui est attendu (6 pts) : S'approprier, réaliser
Activité 2 · Réaliser
18 minSupports : Cours
Passez à la maquette.
- Dimensions de la maquette ?
- Volume de la maquette en cm³ ?
- Pourquoi divise‑t‑on par 1 000 et non par 10 ?
Ce qui est attendu (7 pts) : Analyser, raisonner, réaliser
Activité 3 · Valider, communiquer
15 minSupports : Documents et cours
Rédigez le panneau explicatif de l'exposition (6 à 8 lignes) : contenance de la cuve, autonomie d'arrosage, et lien entre la maquette et la cuve réelle. Pour bien commencer : La cuve réelle contient… · Elle permet d'arroser pendant… · La maquette, à l'échelle 1/10, …
Ce qui est attendu (7 pts) : Valider · Communiquer
Trace écrite · document à compléter (papier ou ENT)
Complète la trace écrite avec les mots de la banque, puis recopie-la dans ton cahier.
Le volume d'un cylindre vaut π × r² × ______. 1 dm³ correspond à ______ litre. Dans un agrandissement de coefficient k, les volumes sont multipliés par ______. Les aires sont multipliées par ______.
Fiche à trous · je complète
Complète le texte avec les mots de la banque (sur papier ou dans le document de l'ENT).
Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la ______ des carrés des deux autres côtés.
Si AB² + AC² = BC², le triangle ABC est _________ en A.
Dans un agrandissement de coefficient k, les aires sont multipliées par ______.
Le volume d'un cylindre de rayon r et de hauteur h est ______.
Ce que j'ai appris
- Reconnaître et nommer les solides usuels et leurs faces
- Utiliser le théorème de Pythagore, sa réciproque et le théorème de Thalès pour calculer des longueurs
- Calculer aires et volumes et déterminer l'effet d'un agrandissement ou d'une réduction