Géométrie dans le plan et l'espace : Pythagore, Thalès, aires et volumes · version prof

Repères pour le professeur

Voie · niveauLycée professionnel (Bac Pro) · Seconde

DisciplineMathématiques

Programme officielProgramme de mathématiques de 2de professionnelle, BO spécial n°5 du 11 avril 2019 : statistique et probabilités, algèbre et analyse, géométrie, algorithmique et programmation, automatismes.

Place dans le programmeProgramme de mathématiques de seconde professionnelle (BO spécial n°5 du 11 avril 2019), domaine « Géométrie »

Durée totale2 séances + 1 évaluation ≈ 3 h 05

ModalitéEnseignement à distance : classe virtuelle + travail autonome + rendu sur l'ENT

Objectifs et capacités

Objectifs

Reconnaître et nommer les solides usuels et leurs faces
Utiliser le théorème de Pythagore, sa réciproque et le théorème de Thalès pour calculer des longueurs
Calculer aires et volumes et déterminer l'effet d'un agrandissement ou d'une réduction

Capacités travaillées (BO)

S'approprier : rechercher, extraire et organiser l'information
Analyser, raisonner : émettre une conjecture, choisir une méthode
Réaliser : calculer, représenter, utiliser un outil numérique
Valider : contrôler la vraisemblance, argumenter
Communiquer : rendre compte d'une démarche à l'écrit et à l'oral

Notions et définitions

solides usuels : pavé, cylindre, pyramide, cône, boulethéorème de Pythagore et réciproquethéorème de Thalèsaires et volumes, unitésagrandissement, réduction, coefficient k

Repères historiques

Tablette Plimpton 322 : triplets pythagoriciens (vers 1800 av. J.‑C.)
Thalès et la hauteur des pyramides (VIe siècle av. J.‑C., selon la tradition)
Archimède, *De la sphère et du cylindre* (IIIe siècle av. J.‑C.)

Ressources de la séquence

Ancrage dans le programme, notions, repères, débats, bibliographie et différenciation, communs à toutes les séances.

Ancrage dans le programme officiel

Objectif du domaine : « Ce domaine vise à mobiliser les configurations du plan et les connaissances sur les solides de l'espace déjà étudiés au collège dans le but de résoudre des problèmes, de développer la vision dans l'espace et de réactiver les propriétés de géométrie plane. »

Compétences : « valider : critiquer un résultat, argumenter ; contrôler la vraisemblance d'une conjecture ; mener un raisonnement logique et établir une conclusion »

Certification (arrêté du 17 juin 2020, annexe III) : en contrôle en cours de formation, deux situations d'évaluation en première et terminale : « Ces situations d'évaluation ont chacune une durée de quarante-cinq minutes environ et sont notées sur 10 points. » « Un exercice au moins comporte une ou deux questions dont la résolution se fait en présence de l'examinateur. » Pour les candidats hors CCF : « L'épreuve, d'une durée d'une heure, est une évaluation écrite et pratique, notée sur 20 points se déroule en fin de cursus de formation. »

Notions : définitions rigoureuses

Solides usuels: Cube, pavé droit, prisme, cylindre, pyramide, cône, boule.
Pythagore: Si ABC est rectangle en A, alors BC² = AB² + AC² ; la réciproque permet de prouver qu'un triangle est rectangle.
Thalès: Si (MN) est parallèle à (BC) avec M sur (AB) et N sur (AC), alors AM/AB = AN/AC = MN/BC.
Volumes: Pavé : L × ℓ × h ; cylindre : πr²h ; pyramide et cône : (aire de base × h)/3 ; boule : (4/3)πr³.
Agrandissement: Longueurs × k, aires × k², volumes × k³.
Unités: 1 m³ = 1 000 dm³ = 1 000 L ; 1 m² = 10 000 cm².

Repères

Date	Événement
vers 1800 av. J.‑C.	La tablette babylonienne Plimpton 322 contient des triplets pythagoriciens.
VIe siècle av. J.‑C.	La tradition attribue à Thalès la mesure de la hauteur d'une pyramide par son ombre.
vers 300 av. J.‑C.	Euclide démontre le théorème de Pythagore (Éléments, I, 47).
IIIe siècle av. J.‑C.	Archimède établit le volume de la boule.

Les historiens en débat

Pythagore et Thalès sont des noms attachés à des résultats bien plus anciens ou postérieurs : les scribes babyloniens connaissaient des triplets pythagoriciens, et la démonstration écrite est celle d'Euclide. Ces théorèmes restent des outils quotidiens des métiers du bâtiment, de la menuiserie ou de la mécanique (équerrage d'un mur, pente d'un toit, contenance d'une cuve). Synthèse du professeur.

Pour aller plus loin

Lire · programmes de mathématiques de la voie professionnelle (éduscol).
Outil · calculatrice graphique GeoGebra.

Sources et bibliographie

Euclide, Les Éléments, traduction de Bernard Vitrac, PUF, 1990‑2001.
Denis Guedj, Le Théorème du perroquet, Seuil, 1998.
Mickaël Launay, Le Grand Roman des maths, Flammarion, 2016.

Différenciation : un rythme de travail différent

Pour les élèves qui ont besoin de plus de temps : énoncé découpé en petites questions, rappel de cours en marge, calculatrice ou tableur autorisés pendant l'entraînement, correction pas à pas en vidéo ou en classe virtuelle.
Pour les élèves qui avancent vite : question d'approfondissement (démonstration, généralisation, programme Python à écrire), problème ouvert à rédiger et à présenter à l'oral.

Déroulé d'ensemble

Séance	Titre	Durée	Objectif
Séance 1	Pythagore et Thalès au service du métier	65 min	calculer des longueurs et vérifier un angle droit
Séance 2	Aires, volumes et agrandissements	65 min	calculer une contenance et passer d'une maquette à l'objet réel
Évaluation	Évaluation de fin de séquence (/20)	55 min	Vérifier les acquis : connaissances, capacités, rédaction

Chaque séance dure environ 55 minutes à distance : lancement en classe virtuelle ou par message sur l'ENT, recherche du problème (calculatrice, tableur, GeoGebra ou Python dans le navigateur), mise en commun, cours et trace écrite. Les élèves renvoient la fiche à trous et leur production par l'ENT ou en photo.

Séance 1 · Pythagore et Thalès au service du métier

65 min

Séance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.

Problématique de la séance

Comment vérifier qu'un mur est d'équerre ?

Déroulé minuté à distance

10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
12 min → Travail autonome : Activité 1 (S'approprier) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
18 min → Travail autonome : Activité 2 (Réaliser) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Valider, communiquer) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.

Le cours développé (récit du professeur) · Théorèmes de Pythagore et de Thalès

Théorème de Pythagore : si un triangle est rectangle, le carré de l'hypoténuse (côté opposé à l'angle droit) est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Réciproque : si BC² = AB² + AC², le triangle est rectangle en A. C'est la « règle du 3, 4, 5 » des maçons : un triangle de côtés 3, 4 et 5 est rectangle. Théorème de Thalès : si deux droites (MN) et (BC) sont parallèles, avec M sur (AB) et N sur (AC), les longueurs sont proportionnelles : AM/AB = AN/AC = MN/BC. On l'utilise pour calculer une hauteur par l'ombre ou une longueur sur un plan.

Document 1 · Le chantier

Situation-problème.

Un maçon trace les fondations d'un abri rectangulaire de 4 m sur 3 m. Pour vérifier l'angle droit, il mesure la diagonale : il trouve 5,08 m. Plus loin, un poteau de 2 m projette une ombre de 1,6 m pendant qu'un arbre projette une ombre de 9,6 m.

Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).

Activité 1 · S'approprier

12 min

Essentiel

Supports : Document 1

Consigne :

Analysez les mesures.

Quelle diagonale faudrait‑il pour un angle droit ?
✔ Corrigé :
√(16 + 9) = 5 m.
L'angle est‑il droit ?
✔ Corrigé :
Non : 5,08² = 25,81 ≠ 25 ; l'angle est un peu plus grand que 90°.
Quel théorème pour la hauteur de l'arbre ?
✔ Corrigé :
Thalès (rayons du soleil parallèles).

Critère de réussite	Points
S'approprier, réaliser	6
Total de l'activité	6

Activité 2 · Réaliser

18 min

Essentiel

Supports : Cours

Consigne :

Calculez.

Hauteur de l'arbre ?
✔ Corrigé :
h/2 = 9,6/1,6, h = 12 m.
Diagonale d'un écran de 1,2 m sur 0,7 m ?
✔ Corrigé :
√(1,44 + 0,49) ≈ 1,39 m.
Un triangle de côtés 7, 24 et 25 est‑il rectangle ?
✔ Corrigé :
49 + 576 = 625 = 25² : oui.

Critère de réussite	Points
Analyser, raisonner, réaliser	7
Total de l'activité	7

Activité 3 · Valider, communiquer

15 min

Travail à rendre

Supports : Documents et cours

Consigne :

Rédigez la consigne du chef de chantier au maçon (6 à 8 lignes) : faut‑il reprendre le tracé ? Comment vérifier rapidement un angle droit sur le terrain ? Pour bien commencer : La diagonale mesurée est…, alors que… · L'angle n'est donc pas… · Pour vérifier, il suffit de…

✔ Corrigé rédigé :

Calcul de la diagonale attendue ; réciproque de Pythagore ; décision ; méthode 3, 4, 5 ou 6, 8, 10 ; consigne claire.

Critère de réussite	Points
Valider	5
Communiquer	2
Total de l'activité	7

Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)

Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. La réciproque du théorème permet de prouver qu'un triangle est rectangle. Avec le théorème de Thalès, les longueurs sont proportionnelles. Un triangle de côtés 3, 4 et 5 est rectangle.

Barème récapitulatif des activités notées

Activité	Points
Activité 1 · S'approprier	6
Activité 2 · Réaliser	7
Activité 3 · Valider, communiquer	7
Total	20 / 20

Séance 2 · Aires, volumes et agrandissements

65 min

Séance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.

Problématique de la séance

Combien de litres contient la cuve ?

Déroulé minuté à distance

10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
12 min → Travail autonome : Activité 1 (S'approprier) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
18 min → Travail autonome : Activité 2 (Réaliser) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Valider, communiquer) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.

Le cours développé (récit du professeur) · Volumes et échelles

Volumes : pavé droit L × ℓ × h ; cylindre πr²h ; pyramide et cône (aire de la base × hauteur)/3 ; boule (4/3)πr³. Conversions : 1 m³ = 1 000 dm³ et 1 dm³ = 1 L. Dans un agrandissement ou une réduction de coefficient k (échelle), les longueurs sont multipliées par k, les aires par k² et les volumes par k³. Une maquette à l'échelle 1/20 correspond à k = 20 pour passer à l'objet réel.

Document 1 · La cuve de récupération d'eau

Situation-problème.

Un lycée installe une cuve cylindrique de récupération d'eau de pluie : diamètre 1,2 m, hauteur 1,5 m. Le service technique a fabriqué une maquette à l'échelle 1/10 pour une exposition sur le développement durable.

Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).

Activité 1 · S'approprier

12 min

Essentiel

Supports : Document 1

Consigne :

Calculez.

Rayon et volume de la cuve en m³ ?
✔ Corrigé :
r = 0,6 m ; V ≈ 1,696 m³.
Contenance en litres ?
✔ Corrigé :
≈ 1 696 L.
Combien de jours d'arrosage si l'on utilise 80 L par jour ?
✔ Corrigé :
≈ 21 jours.

Critère de réussite	Points
S'approprier, réaliser	6
Total de l'activité	6

Activité 2 · Réaliser

18 min

Essentiel

Supports : Cours

Consigne :

Passez à la maquette.

Dimensions de la maquette ?
✔ Corrigé :
Diamètre 12 cm, hauteur 15 cm.
Volume de la maquette en cm³ ?
✔ Corrigé :
π × 6² × 15 ≈ 1 696 cm³ (le volume réel divisé par 1 000).
Pourquoi divise‑t‑on par 1 000 et non par 10 ?
✔ Corrigé :
Les volumes sont multipliés par k³ = 10³.

Critère de réussite	Points
Analyser, raisonner, réaliser	7
Total de l'activité	7

Activité 3 · Valider, communiquer

15 min

Travail à rendre

Supports : Documents et cours

Consigne :

Rédigez le panneau explicatif de l'exposition (6 à 8 lignes) : contenance de la cuve, autonomie d'arrosage, et lien entre la maquette et la cuve réelle. Pour bien commencer : La cuve réelle contient… · Elle permet d'arroser pendant… · La maquette, à l'échelle 1/10, …

✔ Corrigé rédigé :

Volume et litres ; autonomie ; coefficient k³ ; unités justes ; message lisible pour le public.

Critère de réussite	Points
Valider	5
Communiquer	2
Total de l'activité	7

Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)

Le volume d'un cylindre vaut π × r² × h. 1 dm³ correspond à 1 litre. Dans un agrandissement de coefficient k, les volumes sont multipliés par k³. Les aires sont multipliées par k².

Barème récapitulatif des activités notées

Activité	Points
Activité 1 · S'approprier	6
Activité 2 · Réaliser	7
Activité 3 · Valider, communiquer	7
Total	20 / 20

Fiche à trous · corrigé

Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

Si AB² + AC² = BC², le triangle ABC est rectangle en A.

Dans un agrandissement de coefficient k, les aires sont multipliées par k².

Le volume d'un cylindre de rayon r et de hauteur h est πr²h.

La version élève contient la même fiche avec une banque de mots (papier ou ENT).

Évaluation de fin de séquence (/20) · barème et corrigé

Évaluation sur 20 à faire en temps limité sur l'ENT ou sur papier, puis à renvoyer en photo ; le corrigé et le barème servent aussi à l'autoévaluation. En Bac Pro, elle est construite comme une situation de contrôle en cours de formation (problème contextualisé, compétences évaluées) ; en 1re générale, elle prépare à l'épreuve anticipée (automatismes sans calculatrice et exercices) ; en Terminale générale, aux exercices indépendants de l'épreuve de spécialité.

N°	Question	Barème	Corrigé et critères
1	Une échelle de 5 m est posée contre un mur ; son pied est à 1,4 m du mur. À quelle hauteur arrive‑t‑elle ? Un triangle a pour côtés 6 cm, 8 cm et 10 cm : est‑il rectangle ?	4 pts	h² = 25 − 1,96 = 23,04, h = 4,8 m ; 36 + 64 = 100 = 10² : rectangle (réciproque de Pythagore). Deux points chacun.
2	Une cuve cylindrique a un diamètre de 1,2 m et une hauteur de 1,5 m. Calculez son volume en m³ puis en litres. On la remplit aux trois quarts : quel volume de liquide ?	8 pts	V = π × 0,6² × 1,5 ≈ 1,696 m³ ≈ 1 696 L ; trois quarts : ≈ 1 272 L. Formule (3 pts), conversion (3 pts), proportion (2 pts).
3	Une maquette d'un abri de jardin est réalisée à l'échelle 1/20. Sur la maquette, la surface du toit est de 150 cm² et le volume intérieur de 2 000 cm³. Calculez la surface du toit réel en m² et le volume réel en m³. Expliquez la démarche. Pour bien commencer : Le coefficient d'agrandissement vaut… · Les aires sont multipliées par…, les volumes par… · On obtient donc…	8 pts	k = 20 : surface × 400 = 60 000 cm² = 6 m² ; volume × 8 000 = 16 000 000 cm³ = 16 m³. Coefficients k² et k³ (4 pts), calculs et conversions (4 pts).
Total		20 pts

Pistes pour un rythme de travail différent

Laisser deux jours de plus aux élèves qui ont peu de connexion et accepter un rendu sur papier photographié.
Proposer la fiche à trous, un énoncé découpé en petites questions et une vidéo de correction pas à pas.
Pour les élèves rapides : une démonstration, un programme Python à écrire ou un problème ouvert à présenter à l'oral.
Automatismes : conversions d'unités de longueur, d'aire et de volume, 1 dm³ = 1 L.
Pour aller plus loin : chercher avec Python les triplets d'entiers pythagoriciens jusqu'à 100.