Repères pour le professeur
Objectifs et capacités
Objectifs
- Associer une évolution à taux fixe à une suite géométrique et à son coefficient multiplicateur
- Calculer un terme de rang donné, une somme de termes, un rang de seuil
- Comparer une évolution arithmétique et une évolution géométrique pour décider
Capacités travaillées (BO)
- S'approprier : rechercher, extraire et organiser l'information
- Analyser, raisonner : émettre une conjecture, choisir une méthode
- Réaliser : calculer, représenter, utiliser un outil numérique
- Valider : contrôler la vraisemblance, argumenter
- Communiquer : rendre compte d'une démarche à l'écrit et à l'oral
Notions et définitions
Repères historiques
- Légende de l'échiquier et des grains de blé (rapportée par Ibn Khallikan, XIIIe siècle)
- Malthus, *Essai sur le principe de population* (1798) : progression géométrique contre progression arithmétique
- Amortissement dégressif en comptabilité : une suite géométrique
Ressources de la séquence
Ancrage dans le programme, notions, repères, débats, bibliographie et différenciation, communs à toutes les séances.
Ancrage dans le programme officiel
Ce que dit le programme (objectif du module) : « L'objectif de ce module est d'apprendre à résoudre des problèmes concernant des phénomènes discrets modélisés par une suite numérique et plus particulièrement par une suite géométrique. »
Commentaires du programme : « Pour illustrer l'utilisation d'une suite géométrique, des exemples de modélisation d'une évolution à taux fixe peuvent être proposés. » « Le lien entre les suites géométriques et les fonctions exponentielles est établi. »
Certification (arrêté du 17 juin 2020, annexe III) : en contrôle en cours de formation, deux situations d'évaluation en première et terminale : « Ces situations d'évaluation ont chacune une durée de quarante-cinq minutes environ et sont notées sur 10 points. » « Un exercice au moins comporte une ou deux questions dont la résolution se fait en présence de l'examinateur. » Pour les candidats hors CCF : « L'épreuve, d'une durée d'une heure, est une évaluation écrite et pratique, notée sur 20 points se déroule en fin de cursus de formation. »
Notions : définitions rigoureuses
- Coefficient multiplicateur
- Une hausse de t % correspond à une multiplication par 1 + t/100 ; une baisse de t %, par 1 − t/100.
- Suite géométrique
- Chaque terme s'obtient en multipliant le précédent par un même nombre q > 0, la raison : uₙ₊₁ = uₙ × q.
- Terme de rang n
- Si le premier terme est u₁ : uₙ = u₁ × qⁿ⁻¹.
- Sens de variation
- Pour u₁ > 0 : croissante si q > 1, décroissante si q est entre 0 et 1, constante si q = 1.
- Somme de termes
- Calculée au tableur ou avec Python ; la formule n'est pas exigée.
- Comparaison
- Une suite arithmétique ajoute une quantité fixe ; une suite géométrique ajoute un pourcentage fixe d'une quantité qui change.
Repères
| Date | Événement |
|---|---|
| XIIIe s. | Ibn Khallikan rapporte la légende de l'échiquier. |
| 1798 | Malthus oppose progression géométrique et arithmétique. |
| 1979 | Tableur VisiCalc : les calculs d'intérêts deviennent instantanés. |
| aujourd'hui | Amortissements, intérêts composés, inflation : les suites géométriques au quotidien. |
Les historiens en débat
La croissance géométrique surprend toujours l'intuition : la légende des grains de blé sur l'échiquier en est l'illustration la plus ancienne. Malthus en a tiré une théorie de la population aujourd'hui largement réfutée, mais l'opposition entre croissance arithmétique et géométrique reste un outil d'analyse essentiel en économie, en biologie et en gestion. Synthèse du professeur.
Pour aller plus loin
Sources et bibliographie
- Jean Dieudonné (dir.), Abrégé d'histoire des mathématiques, Hermann, 1978.
- Thomas Robert Malthus, Essai sur le principe de population, 1798 (extraits).
- Insee, page « Inflation » (définitions, convertisseur franc-euro).
Différenciation : un rythme de travail différent
- Pour les élèves qui ont besoin de plus de temps : énoncé découpé en petites questions, rappel de cours en marge, calculatrice ou tableur autorisés pendant l'entraînement, correction pas à pas en vidéo ou en classe virtuelle.
- Pour les élèves qui avancent vite : question d'approfondissement (démonstration, généralisation, programme Python à écrire), problème ouvert à rédiger et à présenter à l'oral.
Déroulé d'ensemble
| Séance | Titre | Durée | Objectif |
|---|---|---|---|
| Séance 1 | Taux fixe et suite géométrique : la dépréciation d'une machine | 65 min | modéliser une baisse à taux fixe par une suite géométrique |
| Séance 2 | Arithmétique ou géométrique ? Choisir une offre salariale | 65 min | comparer deux évolutions et calculer des sommes |
| Évaluation | Évaluation de fin de séquence (/20) | 55 min | Vérifier les acquis : connaissances, capacités, rédaction |
Chaque séance dure environ 55 minutes à distance : lancement en classe virtuelle ou par message sur l'ENT, recherche du problème (calculatrice, tableur, GeoGebra ou Python dans le navigateur), mise en commun, cours et trace écrite. Les élèves renvoient la fiche à trous et leur production par l'ENT ou en photo.
Séance 1 · Taux fixe et suite géométrique : la dépréciation d'une machine
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.
Problématique de la séance
Quand la machine vaudra-t-elle moins de 5 000 € ?
Déroulé minuté à distance
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
- 12 min → Travail autonome : Activité 1 (S'approprier) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 18 min → Travail autonome : Activité 2 (Réaliser) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Valider) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
- 10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.
Le cours développé (récit du professeur) · Suites géométriques
Baisser une valeur de t % revient à la multiplier par 1 − t/100 (le coefficient multiplicateur) ; l'augmenter de t %, à la multiplier par 1 + t/100. Une suite est géométrique si l'on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre q > 0, la raison : uₙ₊₁ = uₙ × q. Alors uₙ = u₁ × qⁿ⁻¹. Pour u₁ > 0, la suite est croissante si q > 1 et décroissante si 0 < q < 1. Le nuage de points (n ; uₙ) n'est pas aligné : il se courbe. On trouve un rang de seuil au tableur ou avec une boucle while.
Document 1 · Valeur d'une machine-outil
Situation professionnelle.
Une entreprise achète une machine 20 000 €. Sa valeur diminue de 15 % par an. On note vₙ sa valeur au début de l'année n (v₁ = 20 000 €).
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · S'approprier
12 minSupports : Document 1
Calculez les premières valeurs.
- Coefficient multiplicateur ?✔ Corrigé :
1 − 0,15 = 0,85.
- v₂ et v₃ ?✔ Corrigé :
17 000 € et 14 450 €.
- La baisse en euros est-elle la même chaque année ?✔ Corrigé :
Non : 3 000 € puis 2 550 € ; c'est le pourcentage qui est fixe.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Calculs | 6 |
| Total de l'activité | 6 |
Activité 2 · Réaliser
18 minSupports : Document 1, cours
Utilisez la formule et le tableur.
- Expression de vₙ ?✔ Corrigé :
vₙ = 20 000 × 0,85ⁿ⁻¹.
- v₅ (arrondie à l'euro) ?✔ Corrigé :
Environ 10 440 €.
- À partir de quelle année la valeur passe-t-elle sous 5 000 € ?✔ Corrigé :
v₉ ≈ 5 450 € ; v₁₀ ≈ 4 632 € : la 10e année.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Formule et seuil | 7 |
| Total de l'activité | 7 |
Activité 3 · Valider
15 minSupports : Documents et cours
Un collègue affirme : « 15 % par an, en 7 ans la machine ne vaut plus rien. » Réfutez cette affirmation en 5 à 8 lignes avec des calculs. Pour bien commencer : Chaque année, la valeur est multipliée par… · Après 7 ans, la machine vaut encore… · L'affirmation est donc fausse car…
7 × 15 % = 105 % est un raisonnement faux : les pourcentages ne s'additionnent pas ; v₈ ≈ 6 412 € ; une suite géométrique de raison positive ne s'annule jamais ; rédaction argumentée.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Validation | 5 |
| Communication | 2 |
| Total de l'activité | 7 |
Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)
Baisser de t % revient à multiplier par 1 − t/100. Une suite est géométrique si l'on multiplie toujours par la même raison q. Les pourcentages successifs ne s'additionnent pas.
Barème récapitulatif des activités notées
| Activité | Points |
|---|---|
| Activité 1 · S'approprier | 6 |
| Activité 2 · Réaliser | 7 |
| Activité 3 · Valider | 7 |
| Total | 20 / 20 |
Séance 2 · Arithmétique ou géométrique ? Choisir une offre salariale
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.
Problématique de la séance
Quelle proposition de salaire est la plus avantageuse ?
Déroulé minuté à distance
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
- 12 min → Travail autonome : Activité 1 (Analyser, raisonner) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 18 min → Travail autonome : Activité 2 (Réaliser) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Communiquer) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
- 10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.
Le cours développé (récit du professeur) · Comparer deux modèles
Une suite arithmétique augmente d'une quantité fixe (on ajoute r) ; une suite géométrique augmente d'un pourcentage fixe (on multiplie par q). Au début, l'écart dépend des premiers termes ; mais une suite géométrique de raison q > 1 finit toujours par dépasser une suite arithmétique, car le pourcentage porte sur une base qui grandit. Pour comparer deux offres, il faut regarder chaque terme (salaire d'une année) et aussi la somme cumulée (total perçu), calculée au tableur.
Document 1 · Deux offres d'embauche
Situation professionnelle.
Offre A : 21 600 € la première année, puis augmentation de 600 € par an. Offre B : 21 000 € la première année, puis augmentation de 3 % par an. On note aₙ et bₙ les salaires annuels bruts de l'année n.
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · Analyser, raisonner
12 minSupports : Document 1
Identifiez les modèles.
- Nature de chaque suite ?✔ Corrigé :
aₙ arithmétique de raison 600 ; bₙ géométrique de raison 1,03.
- Expressions ?✔ Corrigé :
aₙ = 21 600 + 600(n − 1) ; bₙ = 21 000 × 1,03ⁿ⁻¹.
- Salaires de l'année 2 ?✔ Corrigé :
a₂ = 22 200 € ; b₂ = 21 630 €.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Modélisation | 6 |
| Total de l'activité | 6 |
Activité 2 · Réaliser
18 minSupports : Document 1, cours
Comparez au tableur sur 10 ans.
- Année 7 ?✔ Corrigé :
a₇ = 25 200 € ; b₇ ≈ 25 075 €.
- À partir de quelle année l'offre B est-elle meilleure ?✔ Corrigé :
Année 8 : b₈ ≈ 25 827 € contre a₈ = 25 800 €.
- Totaux sur 10 ans ?✔ Corrigé :
A : 243 000 € ; B : environ 240 741 €.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Comparaison | 7 |
| Total de l'activité | 7 |
Activité 3 · Communiquer
15 minSupports : Documents et cours
Conseillez un ami (8 à 10 lignes) : quelle offre choisir s'il pense rester 5 ans ? 10 ans ? 20 ans ? Justifiez avec les calculs. Pour bien commencer : Sur 5 ans, l'offre… rapporte… · Sur 10 ans et 20 ans, … · Je te conseille donc…
5 ans : A (total 114 000 € contre environ 111 492 €) ; 10 ans : A reste devant en total (243 000 contre 240 741) malgré B devant chaque année dès la 8e ; 20 ans : B l'emporte largement (b₂₀ ≈ 36 824 € contre a₂₀ = 33 000 € ; total sur 20 ans : environ 564 278 € contre 546 000 €) ; nuances (inflation, évolution de carrière).
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Argumentation | 5 |
| Communication | 2 |
| Total de l'activité | 7 |
Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)
Une suite arithmétique ajoute une quantité fixe ; une suite géométrique augmente d'un pourcentage fixe. Pour comparer deux offres, on compare chaque année et le total cumulé.
Barème récapitulatif des activités notées
| Activité | Points |
|---|---|
| Activité 1 · Analyser, raisonner | 6 |
| Activité 2 · Réaliser | 7 |
| Activité 3 · Communiquer | 7 |
| Total | 20 / 20 |
Fiche à trous · corrigé
Augmenter de t % revient à multiplier par le coefficient multiplicateur 1 + t/100.
Une suite est géométrique si l'on multiplie toujours par le même nombre q, la raison.
Si q > 1 (et u₁ > 0), la suite est croissante ; si q est entre 0 et 1, elle est décroissante.
À long terme, une croissance géométrique finit par dépasser une croissance arithmétique.
La version élève contient la même fiche avec une banque de mots (papier ou ENT).
Évaluation de fin de séquence (/20) · barème et corrigé
Évaluation sur 20 à faire en temps limité sur l'ENT ou sur papier, puis à renvoyer en photo ; le corrigé et le barème servent aussi à l'autoévaluation. En Bac Pro, elle est construite comme une situation de contrôle en cours de formation (problème contextualisé, compétences évaluées) ; en 1re générale, elle prépare à l'épreuve anticipée (automatismes sans calculatrice et exercices) ; en Terminale générale, aux exercices indépendants de l'épreuve de spécialité.
| N° | Question | Barème | Corrigé et critères |
|---|---|---|---|
| 1 | Un service en ligne compte 5 000 abonnés la première année ; le nombre d'abonnés augmente de 4 % par an. On note uₙ le nombre d'abonnés l'année n. Justifiez que la suite est géométrique, donnez sa raison et l'expression de uₙ. | 6 pts | Augmenter de 4 % revient à multiplier par 1,04 : suite géométrique de premier terme u₁ = 5 000 et de raison 1,04 ; uₙ = 5 000 × 1,04ⁿ⁻¹. |
| 2 | Calculez u₁₀ (arrondi à l'unité) et déterminez, avec le tableur ou un algorithme, l'année à partir de laquelle le service dépasse 8 000 abonnés. | 6 pts | u₁₀ ≈ 7 117 ; u₁₂ ≈ 7 697 et u₁₃ ≈ 8 005 : le seuil est dépassé la 13e année. Méthode explicitée. |
| 3 | Un concurrent gagne 150 abonnés par an à partir de 5 500 la première année. Comparez les deux services sur 15 ans (tableur) et rédigez une analyse de 8 à 10 lignes : qui est devant, quand, et pourquoi ? Pour bien commencer : *Au départ, le service… est devant* · *Le tableur montre qu'à partir de l'année…* · *Cela s'explique par…* | 8 pts | Concurrent : vₙ = 5 500 + 150(n − 1), arithmétique ; il est devant les sept premières années (année 7 : 6 400 contre environ 6 327), puis le service géométrique passe devant dès la 8e année (environ 6 580 contre 6 550) et creuse l'écart (année 15 : environ 8 658 contre 7 600) ; explication : une hausse en pourcentage porte sur une base qui grandit, alors que le gain fixe de 150 représente un pourcentage de plus en plus faible. |
| Total | 20 pts | ||
Pistes pour un rythme de travail différent
- Laisser deux jours de plus aux élèves qui ont peu de connexion et accepter un rendu sur papier photographié.
- Proposer la fiche à trous, un énoncé découpé en petites questions et une vidéo de correction pas à pas.
- Pour les élèves rapides : une démonstration, un programme Python à écrire ou un problème ouvert à présenter à l'oral.
- Automatismes : coefficient multiplicateur, puissances à la calculatrice, pourcentages d'évolution.
- Pour aller plus loin : la légende de l'échiquier et la croissance exponentielle.