Repères pour le professeur
Objectifs et capacités
Objectifs
- Prolonger une suite géométrique par une fonction exponentielle x ↦ qˣ et utiliser ses propriétés
- Définir le logarithme décimal comme solution de 10ˣ = b et utiliser ses propriétés
- Résoudre qˣ = a et qˣ ≥ a, et interpréter pH et décibels
Capacités travaillées (BO)
- S'approprier : rechercher, extraire et organiser l'information
- Analyser, raisonner : émettre une conjecture, choisir une méthode
- Réaliser : calculer, représenter, utiliser un outil numérique
- Valider : contrôler la vraisemblance, argumenter
- Communiquer : rendre compte d'une démarche à l'écrit et à l'oral
Notions et définitions
Repères historiques
- Napier invente les logarithmes (1614)
- Briggs publie les logarithmes décimaux (1617 et 1624)
- Sørensen définit le pH (1909)
- Le bel, unité nommée en hommage à Graham Bell (années 1920)
Ressources de la séquence
Ancrage dans le programme, notions, repères, débats, bibliographie et différenciation, communs à toutes les séances.
Ancrage dans le programme officiel
Ce que dit le programme (objectif du module) : « L'objectif de ce module est d'apprendre à résoudre des problèmes concernant des phénomènes modélisables par la fonction logarithme décimal ou par une fonction exponentielle. » « Les modélisations discrètes de phénomènes d'évolution sont l'occasion d'établir des liens avec les suites géométriques. »
Bivalence : « Ce module est mis en œuvre dans les domaines Chimie et Signaux du programme de physique-chimie. » La séance 2 croise donc pH (chimie) et décibels (signaux) ; les seuils de bruit au travail sont ceux de l'article R. 4431-2 du Code du travail (Code du travail numérique).
Certification (arrêté du 17 juin 2020, annexe III) : en contrôle en cours de formation, deux situations d'évaluation en première et terminale : « Ces situations d'évaluation ont chacune une durée de quarante-cinq minutes environ et sont notées sur 10 points. » « Un exercice au moins comporte une ou deux questions dont la résolution se fait en présence de l'examinateur. » Pour les candidats hors CCF : « L'épreuve, d'une durée d'une heure, est une évaluation écrite et pratique, notée sur 20 points se déroule en fin de cursus de formation. »
Notions : définitions rigoureuses
- Fonction exponentielle de base q
- x ↦ qˣ (q > 0, q ≠ 1) : prolongement aux réels de la suite géométrique 1, q, q², … ; croissante si q > 1, décroissante si q < 1.
- Propriétés opératoires
- qᵃ⁺ᵇ = qᵃ × qᵇ ; (qᵃ)ᵇ = qᵃᵇ.
- Logarithme décimal
- Pour b > 0, log(b) est l'unique solution de 10ˣ = b ; log(10ˣ) = x ; log 1 = 0 ; log 10 = 1.
- Propriétés du logarithme
- log(ab) = log a + log b ; log(a/b) = log a − log b ; log(aⁿ) = n log a ; la fonction log est croissante.
- Résoudre qˣ = a
- x = log a / log q (calcul), ou graphiquement, ou par balayage.
- pH et décibels
- pH = −log[H3O+] ; L = 10 log(I/I₀) : des échelles logarithmiques pour des grandeurs qui varient sur plusieurs puissances de 10.
Repères
| Date | Événement |
|---|---|
| 1614 | Napier, Mirifici logarithmorum canonis descriptio. |
| 1624 | Briggs, Arithmetica logarithmica : tables décimales. |
| 1909 | Sørensen définit le pH. |
| années 1920 | Les laboratoires Bell introduisent le bel et le décibel. |
Les historiens en débat
Les logarithmes ont été inventés pour simplifier les calculs des astronomes et des navigateurs : ils transforment les multiplications en additions. Les tables de Briggs puis la règle à calcul ont servi aux ingénieurs jusqu'aux années 1970. Aujourd'hui, ils restent indispensables pour lire des échelles (pH, décibels, magnitude des séismes). Synthèse du professeur.
Pour aller plus loin
- Lire · programmes de mathématiques de la voie professionnelle (éduscol).
- Santé au travail · article R. 4431-2 du Code du travail (Code du travail numérique).
- Explorer · calculatrice graphique GeoGebra.
Sources et bibliographie
- Jean Dieudonné (dir.), Abrégé d'histoire des mathématiques, Hermann, 1978.
- INRS, dossier « Bruit » (inrs.fr).
- Denis Guedj, Le Théorème du perroquet, Seuil, 1998.
Différenciation : un rythme de travail différent
- Pour les élèves qui ont besoin de plus de temps : énoncé découpé en petites questions, rappel de cours en marge, calculatrice ou tableur autorisés pendant l'entraînement, correction pas à pas en vidéo ou en classe virtuelle.
- Pour les élèves qui avancent vite : question d'approfondissement (démonstration, généralisation, programme Python à écrire), problème ouvert à rédiger et à présenter à l'oral.
Déroulé d'ensemble
| Séance | Titre | Durée | Objectif |
|---|---|---|---|
| Séance 1 | De la suite géométrique à la fonction exponentielle : la croissance bactérienne | 65 min | utiliser une fonction exponentielle et résoudre qˣ = a |
| Séance 2 | Le logarithme décimal : pH et décibels | 65 min | utiliser le logarithme décimal pour lire et calculer sur des échelles |
| Évaluation | Évaluation de fin de séquence (/20) | 55 min | Vérifier les acquis : connaissances, capacités, rédaction |
Chaque séance dure environ 55 minutes à distance : lancement en classe virtuelle ou par message sur l'ENT, recherche du problème (calculatrice, tableur, GeoGebra ou Python dans le navigateur), mise en commun, cours et trace écrite. Les élèves renvoient la fiche à trous et leur production par l'ENT ou en photo.
Séance 1 · De la suite géométrique à la fonction exponentielle : la croissance bactérienne
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.
Problématique de la séance
Au bout de combien de temps une culture de bactéries atteint-elle 10 000 individus ?
Déroulé minuté à distance
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
- 12 min → Travail autonome : Activité 1 (S'approprier) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 18 min → Travail autonome : Activité 2 (Réaliser) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Valider) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
- 10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.
Le cours développé (récit du professeur) · Fonctions exponentielles
Si une population double chaque heure, ses valeurs aux heures entières forment une suite géométrique de raison 2. La fonction exponentielle de base q (q > 0, q ≠ 1), x ↦ qˣ, prolonge cette suite à tous les réels positifs : elle donne la valeur au bout de 1,5 h, par exemple. Elle est croissante si q > 1, décroissante si 0 < q < 1. Propriétés (admises après conjecture) : qᵃ⁺ᵇ = qᵃ × qᵇ. Pour résoudre qˣ = a, on lit la courbe, on fait un balayage, ou on calcule x = log a / log q (séance 2).
Document 1 · Une culture de bactéries en laboratoire
Situation professionnelle (laboratoire, agroalimentaire).
Une culture contient 1 000 bactéries à l'instant t = 0 ; leur nombre double toutes les heures, dans des conditions idéales. On modélise par N(t) = 1 000 × 2ᵗ (t en heures).
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · S'approprier
12 minSupports : Document 1
Lien avec les suites.
- N(1), N(2), N(3) ?✔ Corrigé :
2 000 ; 4 000 ; 8 000.
- Quelle suite reconnaissez-vous ?✔ Corrigé :
Géométrique de raison 2 et de premier terme 1 000.
- N(1,5) ?✔ Corrigé :
Environ 2 828 bactéries (2¹,5 ≈ 2,83).
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Calculs | 6 |
| Total de l'activité | 6 |
Activité 2 · Réaliser
18 minSupports : Document 1, cours
Tracez N dans GeoGebra de 0 à 5.
- Sens de variation ?✔ Corrigé :
Croissante (base 2 > 1).
- Résolvez 2ᵗ = 8.✔ Corrigé :
t = 3 (2³ = 8).
- Par balayage, quand atteint-on 10 000 bactéries ?✔ Corrigé :
Entre 3,3 et 3,4 h : 2ᵗ = 10 pour t ≈ 3,32 h, soit environ 3 h 19 min.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Graphique et résolution | 7 |
| Total de l'activité | 7 |
Activité 3 · Valider
15 minSupports : Documents et cours
Le modèle prévoit environ 17 milliards de bactéries en 24 heures (1 000 × 2²⁴ ≈ 1,7 × 10¹⁰). Expliquez en 5 à 8 lignes pourquoi ce modèle ne peut pas rester valable longtemps. Pour bien commencer : Le modèle suppose que la population double… · En réalité, la nourriture et l'espace… · Le modèle n'est donc valable que…
Calcul : 2²⁴ ≈ 16,8 millions, donc environ 1,7 × 10¹⁰ bactéries ; nutriments et espace limités : la croissance ralentit ; un modèle n'est valable que sur un intervalle ; rédaction argumentée.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Validation | 5 |
| Communication | 2 |
| Total de l'activité | 7 |
Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)
La fonction x ↦ qˣ prolonge la suite géométrique de raison q. Si q > 1, elle est croissante. On résout qˣ = a graphiquement, par balayage ou par le calcul.
Barème récapitulatif des activités notées
| Activité | Points |
|---|---|
| Activité 1 · S'approprier | 6 |
| Activité 2 · Réaliser | 7 |
| Activité 3 · Valider | 7 |
| Total | 20 / 20 |
Séance 2 · Le logarithme décimal : pH et décibels
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.
Problématique de la séance
Pourquoi le pH et les décibels utilisent-ils une échelle logarithmique ?
Déroulé minuté à distance
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
- 15 min → Travail autonome : Activité 1 (Réaliser) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 15 min → Travail autonome : Activité 2 (Analyser, raisonner) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Communiquer) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
- 10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.
Le cours développé (récit du professeur) · Logarithme décimal
La fonction x ↦ 10ˣ est croissante et prend toutes les valeurs strictement positives. Pour b > 0, le logarithme décimal de b, noté log(b), est l'unique solution de l'équation 10ˣ = b. Donc log(10ˣ) = x : log 1000 = 3, log 0,01 = −2. Propriétés : log(ab) = log a + log b, log(aⁿ) = n log a. Elles permettent de résoudre qˣ = a : x log q = log a. En chimie, pH = −log[H3O+] ; en acoustique, L = 10 log(I/I₀) en décibels. Une multiplication de la grandeur devient une addition sur l'échelle.
Document 1 · Bruit et acidité au travail
Données scientifiques et réglementaires.
pH = −log[H3O+], avec [H3O+] en mol/L. Niveau sonore : L = 10 log(I/I₀), avec I₀ = 10⁻¹² W/m². Au travail, une exposition quotidienne de 80 dB(A) déclenche des premières mesures de prévention, 85 dB(A) impose un programme de réduction du bruit et le port des protections, 87 dB(A) est la valeur limite.
Source : Formules du programme de physique-chimie ; seuils : article R. 4431-2 du Code du travail.
Activité 1 · Réaliser
15 minSupports : Document 1, cours
Calculez des pH.
- pH si [H3O+] = 10⁻³ ?✔ Corrigé :
3.
- pH si [H3O+] = 2,5 × 10⁻⁴ ?✔ Corrigé :
Environ 3,60.
- [H3O+] si pH = 2,5 ?✔ Corrigé :
10 puissance (−2,5) ≈ 3,2 × 10⁻³ mol/L.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Calculs de pH | 7 |
| Total de l'activité | 7 |
Activité 2 · Analyser, raisonner
15 minSupports : Document 1, cours
Étudiez les décibels.
- Si l'intensité est multipliée par 2, de combien augmente L ?✔ Corrigé :
10 log 2 ≈ 3 dB.
- Si elle est multipliée par 10 ?✔ Corrigé :
De 10 dB.
- Pourquoi une échelle logarithmique ?✔ Corrigé :
Les intensités audibles vont de 10⁻¹² à environ 1 W/m² : le log ramène ces valeurs entre 0 et 120 dB.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Raisonnement | 6 |
| Total de l'activité | 6 |
Activité 3 · Communiquer
15 minSupports : Documents et cours
Un atelier mesure 82 dB(A). Un salarié propose d'ajouter une seconde machine identique « puisque ça ne fera que 84 dB ». Répondez-lui en 6 à 8 lignes avec un calcul et la réglementation. Pour bien commencer : Doubler l'intensité sonore ajoute environ… dB · Avec deux machines, le niveau devient… · La réglementation impose…
Deux sources identiques : 82 + 3 ≈ 85 dB et non 84 ; on atteint le seuil de 85 dB(A) qui impose réduction du bruit et port des protections ; à 82 dB, les premières mesures sont déjà dues (80 dB) ; ton professionnel.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Argumentation | 5 |
| Communication | 2 |
| Total de l'activité | 7 |
Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)
log(b) est la solution de 10ˣ = b. Le logarithme transforme un produit en somme. Doubler l'intensité sonore ajoute environ 3 décibels.
Barème récapitulatif des activités notées
| Activité | Points |
|---|---|
| Activité 1 · Réaliser | 7 |
| Activité 2 · Analyser, raisonner | 6 |
| Activité 3 · Communiquer | 7 |
| Total | 20 / 20 |
Fiche à trous · corrigé
Une fonction exponentielle de base q > 1 est croissante.
log(b) est l'unique solution de l'équation 10ˣ = b.
Le logarithme transforme un produit en somme : log(ab) = log a + log b.
Doubler l'intensité sonore ajoute environ 3 décibels.
La version élève contient la même fiche avec une banque de mots (papier ou ENT).
Évaluation de fin de séquence (/20) · barème et corrigé
Évaluation sur 20 à faire en temps limité sur l'ENT ou sur papier, puis à renvoyer en photo ; le corrigé et le barème servent aussi à l'autoévaluation. En Bac Pro, elle est construite comme une situation de contrôle en cours de formation (problème contextualisé, compétences évaluées) ; en 1re générale, elle prépare à l'épreuve anticipée (automatismes sans calculatrice et exercices) ; en Terminale générale, aux exercices indépendants de l'épreuve de spécialité.
| N° | Question | Barème | Corrigé et critères |
|---|---|---|---|
| 1 | Un capital placé à 5 % par an est multiplié par 1,05ˣ au bout de x années. Résolvez 1,05ˣ ≥ 2 par le calcul (logarithme) et interprétez. | 6 pts | x log(1,05) ≥ log 2, donc x ≥ log 2 / log 1,05 ≈ 14,2 ; le capital double au bout de 15 années entières (1,05¹⁴ ≈ 1,98 ;¹⁵ ≈ 2,08). |
| 2 | Le pH d'une solution est pH = −log[H3O+] (concentration en mol/L). Calculez le pH d'un jus de citron où [H3O+] = 6,3 × 10⁻³ mol/L, puis la concentration d'une eau de pH 7. Une solution de pH 3 est-elle deux fois ou dix fois plus acide qu'une solution de pH 4 ? | 6 pts | pH ≈ 2,2 ; [H3O+] = 10⁻⁷ mol/L ; pH 3 : 10⁻³ contre 10⁻⁴, donc concentration dix fois plus grande : une unité de pH correspond à un facteur 10. |
| 3 | Le niveau sonore est L = 10 log(I / I₀) avec I₀ = 10⁻¹² W/m². Une machine produit I = 10⁻⁵ W/m². Calculez L. Que devient L avec deux machines identiques ? Combien de machines identiques faut-il pour atteindre 85 dB, seuil qui impose des mesures de protection au travail ? Rédigez une conclusion pour le responsable sécurité. Pour bien commencer : *Une machine produit un niveau de… dB* · *Avec deux machines, …* · *Pour atteindre 85 dB, il faut… machines, donc…* | 8 pts | L = 10 log(10⁷) = 70 dB ; deux machines : 10 log(2 × 10⁷) ≈ 73 dB ; 85 dB correspond à 10¹,5 ≈ 31,6 fois l'intensité, donc 32 machines ; conclusion : les décibels ne s'additionnent pas, mais l'exposition se cumule avec la durée et 80 dB déclenche déjà des premières mesures. |
| Total | 20 pts | ||
Pistes pour un rythme de travail différent
- Laisser deux jours de plus aux élèves qui ont peu de connexion et accepter un rendu sur papier photographié.
- Proposer la fiche à trous, un énoncé découpé en petites questions et une vidéo de correction pas à pas.
- Pour les élèves rapides : une démonstration, un programme Python à écrire ou un problème ouvert à présenter à l'oral.
- Automatismes : puissances de 10, écriture scientifique, touche log de la calculatrice.
- Pour aller plus loin : papier semi-logarithmique et droite.