Bonjour !
Dans cette séquence de mathématiques, tu vas chercher à répondre à la grande question écrite en haut de la page. Elle se fait en 2 séances. Pour chaque séance : lis la consigne, étudie les documents, réponds aux questions sur ta feuille ou sur l'ENT, puis recopie l'essentiel dans ton cahier. Tu peux imprimer cette page avec le bouton « Imprimer ».
À la fin, je serai capable de :
- Représenter une situation aléatoire par un arbre de probabilités pondéré
- Calculer la probabilité d'un chemin et appliquer la formule des probabilités totales
- Montrer que deux évènements sont indépendants ou non
Les mots importants
Ressources de la séquence
Les notions, les repères et les pistes pour aller plus loin, utiles pour toutes les séances.
Les notions à maîtriser
- Arbre pondéré
- Schéma de noeuds et de branches portant des probabilités ; les branches issues d'un noeud ont une somme égale à 1.
- Probabilité conditionnelle
- P_A(B) : probabilité de B sachant que A est réalisé ; elle se lit sur la branche de A vers B.
- Chemin
- P(A ∩ B) = P(A) × P_A(B).
- Probabilités totales
- P(B) = P(A ∩ B) + P(Ā ∩ B) : on additionne les chemins menant à B.
- Indépendance
- A et B sont indépendants si P(A ∩ B) = P(A) × P(B), c'est‑à‑dire si P_A(B) = P(B).
Repères
| Date | Événement |
|---|---|
| 1763 | Publication posthume de l'essai de Thomas Bayes sur la probabilité des causes. |
| 1814 | Laplace publie l'Essai philosophique sur les probabilités. |
| 1924 | Walter Shewhart invente la carte de contrôle pour surveiller la qualité industrielle. |
| Aujourd'hui | Les arbres de probabilités servent en contrôle qualité, en assurance et en santé. |
Pour aller plus loin
Sources et bibliographie
- Nicolas Gauvrit, Vous avez dit hasard ?, Belin, 2009.
- David Salsburg, The Lady Tasting Tea, W. H. Freeman, 2001.
- Ian Hacking, L'Émergence de la probabilité, Seuil, 2002.
Mon parcours : je choisis mon rythme
- Pour les élèves qui ont besoin de plus de temps : énoncé découpé en petites questions, rappel de cours en marge, calculatrice ou tableur autorisés pendant l'entraînement, correction pas à pas en vidéo ou en classe virtuelle.
- Pour les élèves qui avancent vite : question d'approfondissement (démonstration, généralisation, programme Python à écrire), problème ouvert à rédiger et à présenter à l'oral.
Séance 1 · Construire et lire un arbre
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes avec coups de pouce.
La question du jour
D'où viennent les pièces défectueuses ?
Mon plan de travail
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Je suis le lancement (ou j'écoute la capsule) et je recopie la problématique.
- 12 min → Travail autonome : Je fais l'activité 1 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 18 min → Travail autonome : Je fais l'activité 2 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 15 min → Travail à rendre : Je fais l'activité 3 et je la dépose sur l'ENT (ou j'envoie une photo) dans les trois jours.
- 10 min → Mise en commun : Je corrige avec une autre couleur et je complète la trace écrite.
Le cours à lire · Arbres pondérés
Un arbre pondéré représente une expérience en plusieurs étapes. Au premier niveau, on place les évènements A et Ā avec leurs probabilités ; au second, les évènements B et B̄ avec les probabilités conditionnelles P_A(B), P_A(B̄), etc. Règles : la somme des branches issues d'un même noeud vaut 1 ; la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités de ses branches : P(A ∩ B) = P(A) × P_A(B). On construit souvent l'arbre à partir d'un tableau croisé.
Document 1 · Le contrôle qualité
Situation-problème.
Une entreprise de décolletage produit des vis : 60 % sur la machine A, 40 % sur la machine B. 5 % des vis de A et 10 % des vis de B sont défectueuses. On prélève une vis au hasard ; D désigne « la vis est défectueuse ».
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · S'approprier
12 minSupports : Document 1
Construisez l'arbre.
- Branches du premier niveau ?
- Branches après A ?
- Branches après B ?
Ce qui est attendu (6 pts) : S'approprier, réaliser
Activité 2 · Réaliser
18 minSupports : Cours
Calculez les chemins.
- P(A ∩ D) ?
- P(B ∩ D) ?
- P(A ∩ non D) ?
Ce qui est attendu (7 pts) : Analyser, raisonner, réaliser
Activité 3 · Communiquer
15 minSupports : Documents et cours
Rédigez une fiche méthode (6 lignes) pour un apprenti : comment construire un arbre pondéré et calculer la probabilité d'un chemin ? Pour bien commencer : On commence par placer… · Sur chaque branche, on écrit… · Pour un chemin, on…
Ce qui est attendu (7 pts) : Valider · Communiquer
Trace écrite · document à compléter (papier ou ENT)
Complète la trace écrite avec les mots de la banque, puis recopie-la dans ton cahier.
Les branches issues d'un même noeud ont une somme égale à ______. La probabilité d'un chemin est le _______ de ses branches. P(A ∩ D) = 0,6 × 0,05 = ______. La branche de A vers D porte la probabilité ______________ P_A(D).
Séance 2 · Probabilités totales et indépendance
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes avec coups de pouce.
La question du jour
Quelle est la proportion totale de défauts ?
Mon plan de travail
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Je suis le lancement (ou j'écoute la capsule) et je recopie la problématique.
- 12 min → Travail autonome : Je fais l'activité 1 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 18 min → Travail autonome : Je fais l'activité 2 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 15 min → Travail à rendre : Je fais l'activité 3 et je la dépose sur l'ENT (ou j'envoie une photo) dans les trois jours.
- 10 min → Mise en commun : Je corrige avec une autre couleur et je complète la trace écrite.
Le cours à lire · Probabilités totales
Formule des probabilités totales : si A et Ā partagent l'univers, P(D) = P(A ∩ D) + P(Ā ∩ D) : on additionne les probabilités de tous les chemins qui mènent à D. Deux évènements A et D de probabilités non nulles sont indépendants si P(A ∩ D) = P(A) × P(D), autrement dit si la réalisation de A ne change pas la probabilité de D (P_A(D) = P(D)). Dans une expérience répétée dans les mêmes conditions (tirages avec remise, composants qui fonctionnent séparément), les épreuves sont indépendantes et on multiplie.
Document 1 · La ligne de production
Situation-problème.
On reprend l'entreprise de décolletage (A : 60 %, défauts 5 % ; B : 40 %, défauts 10 %). Une machine d'emballage comporte aussi deux capteurs indépendants qui fonctionnent avec les probabilités 0,9 et 0,95.
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · S'approprier
12 minSupports : Document 1
Calculez P(D).
- Chemins menant à D ?
- P(D) ?
- P(non D) ?
Ce qui est attendu (6 pts) : S'approprier, réaliser
Activité 2 · Analyser, raisonner
18 minSupports : Cours
Étudiez l'indépendance.
- P(A) × P(D) ?
- A et D sont‑ils indépendants ?
- Probabilité que les deux capteurs fonctionnent ?
Ce qui est attendu (7 pts) : Analyser, raisonner, réaliser
Activité 3 · Valider, communiquer
15 minSupports : Documents et cours
Rédigez une note au responsable qualité (6 à 8 lignes) : faut‑il arrêter la machine B, qui produit la majorité des défauts, ou la régler ? Chiffrez les deux options. Pour bien commencer : Actuellement, la proportion de défauts est… · Si l'on règle la machine B à 5 % de défauts, … · Je recommande…
Ce qui est attendu (7 pts) : Valider · Communiquer
Trace écrite · document à compléter (papier ou ENT)
Complète la trace écrite avec les mots de la banque, puis recopie-la dans ton cahier.
On additionne les probabilités des _______ qui mènent à D. La formule des probabilités _______ donne P(D) = 0,07. A et D sont indépendants si P(A ∩ D) = P(A) × ______. Pour des épreuves indépendantes, on _________ les probabilités.
Fiche à trous · je complète
Complète le texte avec les mots de la banque (sur papier ou dans le document de l'ENT).
La somme des probabilités des branches issues d'un même noeud vaut ______.
La probabilité d'un chemin est le _______ des probabilités de ses branches.
P(B) est la ______ des probabilités des chemins qui mènent à B.
A et B sont indépendants si P(A ∩ B) = P(A) × ______.
Ce que j'ai appris
- Représenter une situation aléatoire par un arbre de probabilités pondéré
- Calculer la probabilité d'un chemin et appliquer la formule des probabilités totales
- Montrer que deux évènements sont indépendants ou non